《圆锥曲线新题型及定点问题分析》.doc

高三冲刺讲义：《圆锥曲线新题型及定点问题分析》

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题；
在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。
所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习，通常有两种处理方法:
①从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关.
②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).
而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法，其中又包括：
1、通过定义代入化简；2、通过平面几何知识或三角知识代入；3、通过韦达定理化简；
下面我们就来介绍这些题型：
题型一：通过代入化简得定值
例1：已知为椭圆上的一点，其中为椭圆的左右焦点；
求证：。
证明：
同理得证：

题型二：通过平面几何知识化简得到
例2：已知椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.
（1）若直线的倾斜角为，求直线的方程；x
y
F
Q
A
B
l
O

（2）求证：.

提示：用代入法转化AF，
AQ=；从而化简出是一个常值。
解]（1）设直线的方程为，则有，得
又切点在轴的右侧，所以，
所以直线的方程为
（2）因为为直角三角形，所以[来K]
又得
又得
所以，同理可得
所以
题型三：通过定义化简得到：
例3：某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：．
（3）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？
第(3)问提示：，；
想想BF和DF如何参加他们也可以写出来。
之后面积问题就转化为三角求最值问题了。
解析:（1） 由抛物线焦点得,抛物线方程为
（2） 设，则点
所以，，既
解得 ；
（3）同理： ， ，
“蝴蝶形图案”的面积
令,
则, 时,即“蝴蝶形图案”的面积为8
题型四：通过韦达化简得到
例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点．
（1）求的最大值；
（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补．
[解]（1）设椭圆的方程为
将代入椭圆的方程，得 ………2分
解得，所以椭圆的方程为 …………2分
设点的坐标为，则．
又是上的动点，所以，得，
代入上式得，
故时，．的最大值为．
（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为．
由 得
设、，则．
又
故．
又，所以上式分子 故．
所以直线与直线的倾斜角互补．

题型五、通过类比结论得到
例5：椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.
若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.
若直线的斜率之和为0，求证：为定值.
解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为
所以，
解得， ．故椭圆的方程为．
（方法2、待定系数法）
（2）设，，
由：，，
两式相减，得到
所以，即，
同理，
所以，又因为直线的斜率之和为0，
所以
方法2、(可参照方法1给分)
设直线：，代入椭圆，得到

，化简得 (以下略)
题型六：其他综合问题
例6：已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、．
（1）当直线过点时，证明为定值；
（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、．设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）．（3）存在直线，点，点到它们的距离相等．

例7：在平面直角坐标系中，方向向量为的直线经过椭圆的右焦点，:与椭圆相交于、两点
（1）若点在轴的上方，且，求直线的方程；
（2）若，且△的面积为，求的值；
（3）当（）变化时，是否存在一点，使得直线和的
斜率之和为,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）；（2）；（3）存在一点。
例8：动圆过定点且与直线相切，其中.设圆心的轨迹的方程为.
（1） 求；
（2） 曲线上的一定点方向向量的直线（不过点）与曲线
交于、两点，设直线、斜率分别为、，计算；
（3）曲线上的两个定点、分别过点、做倾斜角互补的两条直线、分别与曲线交于、两点，求证直线的斜率为定值.
答案：（1）；
（2）==
==0.
（3）
例:9： 已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
答案：（1） ；（2）

（定值）
（3） 存在点A()、B（），使得=（定值）
例10：设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若（为坐标原点），且点在抛物线上，求直线倾斜角；
（3）若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为．求证：当为定值时，也为定值．
答案：（1）．（2）直线的倾斜角为或．
（3），可得，
由（2）知又，
∴　

　　　，又为定值，
所以也为定值．　
例11：已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点)，
求证：为定值；
(3) 对于双曲线G:，为它的右顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，那么直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线及它的左顶点；
情形二：抛物线及它的顶点；
情形三：椭圆及它的顶点.
答案：（1）；（2）=0为定值；
（3）过定点(,0).
情形一：在双曲线G ：中，若为它的左顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，则直线过定点(,0).
情形二：在抛物线中，若为抛物线上的两点(都不同于原点)，且，则直线过定点.
情形三：（1）在椭圆中，若为它的右顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(,0)；
（2）在椭圆中，若为它的左顶点，为椭圆上的两点(都不同于点)，且，则直线过定点(,0) ；
（3）在椭圆中，若为它的上顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(0,)；
（4）在椭圆中，若为它的下顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(0,).
【课后作业】
1.A、B是抛物线（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；
（2）直线AB经过一个定点。
证明：（1）设A（）、B（），则，。
∵=，∴为定值，也为定值。
（2）∵，∵，∴
∴直线AB的方程为：
，∴直线AB过定点（2p，0）。
2.已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB的斜率为定值；
解析：（1）证明：把P(2，4)代入，得h=6。
所以抛物线方程为：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。
所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用－k代k，得，所以
=。
3、设抛物线（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点。
方法1：设直线方程为，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证。
x
y
F
B
A
C
D
O
图3
N
E
方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC连结AC与EF相交于点N，则，，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴.
4、已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．
（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；
（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，
是圆上另外一点，求实数的取值范围；
（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．
答案：（1）的坐标为或
（2） 当时， 或 ；当时，或
（3） 直线与轴的交点为定点
5、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
答案：（1）
（2）：直线过定点，定点坐标为

6、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为，且﹒
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒

答案：（1）；（2）所以；
7、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，且，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；
（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、
三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。

答案：（1）；（2）当时，有成立。

（3）在轴上存在定点，使得三点共线。