圆的相关性质.doc

课题
圆的基本性质
课型
复习课
学科
数学
授课人
肖倩
年级
九

教学目标
1、熟知圆的有关概念，进一步探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角，弧，弦之间的相等关系的定理，圆周角和圆心角的关系定理；
2、深入理解“转化”的数学思想，并培养自主探究积极参与的学习习惯；
3、在学习过程中去体会，试题强调基础，突出能力，源于教材。

教学重点
圆的相关概念
教学难点
垂径定理的内容及应用
教 学 过 程

一、考点聚焦
考点1 圆的有关概念
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．圆也可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合．连接圆上任意两点的_线段____叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
考点2　圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两个圆周角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
考点3　垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径________，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
总结：对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立．
考点4　确定圆的条件及相关概念
确定圆的条件：不共线的三个点确定一个圆
三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等.
三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边垂直平分线的交点，三角形的外心到三个顶点的距离相等.
考点5　圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
1．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的________．
2．圆周角定理推论：
(1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________；
(2)同弧或等弧所对的圆周角________，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________.
二、归类探究
探究一 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度：
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
例1 [2013·宜昌] 如图27－1，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，DB，则下列结论错误的是(　　)

图27－1
A.＝ B．AF＝BF
C．OF＝CF D．∠DBC＝90°
探究二 垂径定理及其推论
命题角度：
1．垂径定理的应用；
2．垂径定理的推论的应用
例2 [2014·南京] 如图27－2，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________ cm.

图27－2

方法点析：垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
探究三 圆周角定理及推论
命题角度：
1．利用圆心角与圆周角关系求圆周角或圆心角度数；
2．直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．
例3 [2014·重庆] 如图27－3，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是(　　)

图27－3
A．30° B．45° C．60° D．70°
方法点析：圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．
三、回归教材
⑴中考中的“圆周角定理”　　　　　
教材母题

中考预测
如图27－7，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝80°，为了避免触礁，轮船P与A，B的张角∠APB的最大值为________°.

图27－7
⑵中考中的“圆周角定理的推论”、 “垂径定理的推论”　　　　　
教材母题
[九上P124第13题] 已知：点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相较于点D.
求证：BD=ED；

中考预测1
如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E．
（1）写出图中与△CAE相似的所有三角形；
（2）求证：DI=DB；
（3）求证：DI2=DE•DA．

解析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，再由角平分线定义，则△DBE∽△ABC，△DAB∽△ABC；
（2）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；
（3）证△DBE∽△DAB，得DB2=DE•DA，再由（2）得DI2=DE•DA．

中考预测2
已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC=6，sin∠BAC=，求OE的长．

解析：
（1）连接BE．依据三角形的内心的性质以及圆周角定理证明∠DBE=∠DEB即可；
（2）连接OB．先证明圆周角定理和三角形的内心的性质可知∠BAC=∠BOF，依据锐角三角函数的定义可求得OB的长，然后依据勾股定理可求得OF的长于是得到DF的长，接下来，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，依据问题（1）的结论可得到DE的长，从而求得OE的长．

四、课堂小结

师生共同复习圆有关的考点

试题强调基础，突出能力，源于教材，知识重组，变中求新