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《平面向量的实际背景及基本概念》的教学设计
晋中市寿阳县第一中学校 李建军
一、教材分析
这节课的内容是人教A版数学必修4第二章《平面向量》的第一课时。我们知道向量是近代数学非常重要的发现，是数学中最基本的数学概念之一，是沟通代数、几何以及三角函数的桥梁，对更新和完善学生的数学知识结构起着非常重要的作用。向量知识集数和形于一体，有着极其丰富的实际应用背景：学生在物理中学习的力、速度、位移等就是既有大小又有方向的量，这就是是它的物理背景，三角函数线中的有向线段也是它的几何背景。向量就是从这些实际应用中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学方法，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是非常重要的。
《平面向量的实际背景及基本概念》是必修四第二章《平面向量》的第一课时，包括三个小节。虽是一节概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新概念的方法和基本思路，进而提高学生提出问题，解决问题的能力。
二、学情分析
在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：物理中学习的矢量、三角函数线（有向线段）、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、线段的平行与共线等。
三、 教学目标
根据以上的分析，我确定本节课的教学目标是：
1.知识目标
⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；
⑵ 学会平面向量的表示方法，理解向量形与数集于一身的基本特征；
⑶ 理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等概念的含义。
2.能力目标
⑴培养用联系的观点 ，类比的方法研究向量；
⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会学习概念的方法；
3.情感目标
⑴运用趣例、实例，激发学生兴趣；
⑵让学生经历概念的形成过程，体验学习概念的方法；
⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受成功的喜悦。
教学重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；
教学难点：让学生感受向量、平行或共线向量等相关概念形成过程；
四、教学策略：阅读文本，概括归纳，交流评价，反思建构。
五、教学过程设计：
1.章引言：
由传统的龟兔赛跑的故事引入话题。改编传统的龟兔赛跑故事：第一次龟兔赛跑以兔子的懊悔告终。比赛结束后，兔子不服气，约定时间要和乌龟再次比试。但第二次兔子虽然再没有大意睡觉，但依然输了，你知道为什么吗？出示PPT图片（跑错了方向）
意图：用这一学生熟悉问题的意外结局，让学生产生好奇心，有助于激发学习兴趣学生，感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容。
学生齐声阅读教材章引言部分，初步了解本章主要研究的内容和方法，感受学习向量概念的必要性。
2．向量概念的形成
（1）问题1 请同学们举出一些你认为既有大小又有方向的量。
意图：激活学生的已有的相关经验。
进一步直观演示，加深印象。
追问：生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。
意图：形成区别不同量的必要性。概念抽象需要典型丰富的实例，让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。
引导学生类比数的概念得出向量概念的定义（板书课题）。
（2） 向量的表示方法
问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它，怎样把你举例中的向量表示出来呢？
意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）
几何表示法：记作：;为向量的长度(又称模)。
字母表示法：a、b、c
（3） 相关概念的形成：单位向量、零向量、相等向量、平行(共线)向量。
阅读教材P75-P76思考以下问题：
问题3：以什么为依据定义单位向量和零向量的？平行向量和共线向量呢？相等向量呢？
意图：一方面培养学生阅读文本的能力，另一方面培养学生归纳概括的能力，第三是培养学生数学的交流和表达的能力。
学生阅读思考后在全班主动汇报自己对以上问题的理解。通过生生互动、师生互动，最后归纳小结：
①从向量“长度”角度看，有单位向量和零向量。长度为1的向量叫做单位向量，长度为零的向量叫做零向量。
②从“方向”角度看，有平行向量和共线向量。方向相同或相反的非零向量就是平行向量，记作：a ∥b ∥ c 。任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
规定： 0 与任一向量都平行或（共线）。
③既关注方向有又关注长度的就是相等向量。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作：a = b
问题4 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和大小确定。你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系？
意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。
3．课堂练习：
(1)概念辨析：
A:判断下列结论是否正确，并说明理由。
①单位向量都相等。
②相等向量的起点必定相同。
③平行向量就是共线向量。
④若与共线，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上。
⑤向量a 与 b 平行，则向量a 与 b 的方向相同或相反。
⑥物理学中的作用力和反作用力是一对共线向量。
⑦直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。
⑧方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量。
B:教材第78页，B组第一题
意图：通过概念辨析加深对概念本质的认识。
B
A
D
F
C
E
(2)教材例题
如图 D，E，F 依次等边三角形 ABC 的边AB，BC，AC 的中点．在以 A，B，C，D，E，F 为起点或终点的向量中，
（1） 找出与向量 相等的向量；
（2） 找出与向量共线的向量。
意图：进一步理解概念，能准确的辨认并正确的表示相应的向量。
4.课堂小结 （引导学生小结）
你通过本节课的学习学到了那些知识和方法？你能用第一人为向量自己做个自我介绍吗?
结束语：通过本节课的学习我们知道了物理中的矢量若让它的起点自由就是数学中我们研究的向量，它是集数与形为一体的，那么它能运算吗?下节课我们接着学习。
六、 教学反思
一、起始课应注意章引言的的作用和地位
本节是“平面向量”的第一课时，具有“统领全局”的作用。
因此，本课的目标应体现这一地位。具体有如下三个方面：
（1）引导学生阅读章引言，初步了解本章内容，形成整体意识。
（2）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的基本特征。
（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路。
二、概念课要让学生体验概念的产生过程，参与概念本质特征的概括。
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，让学生融入其中；另一方面让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与。其中概念辨析题组训练起到了较好的作用。
三、概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。
本课的教学，我们应力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。