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九年级数学复习十四——二次函数
一、中考要求：
1．理解二次函数的概念；
2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3． 会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；
5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
二、知识要点：
1.二次函数的图象
在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.
2.理解二次函数的性质
抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= ;反之当a<0时,简记左增右减,当x= 时y最大值= .
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法
(1)一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;
(2)在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k）;
(3)在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.
4.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即
(1)当抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;
（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根.
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定
（1）a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口
当a<0时,抛物线开口 ;
（2）c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y轴于正半轴;
当c 0时,抛物线交y轴于负半轴;
（3）b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异.
三、典例剖析：
例1 （1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2(1)若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m的值必为 （ ）
A．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定
(2)已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
例3如图，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
O
x
y
A
B
C
D
②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， 且以四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点的坐标．
四、随堂练习：
1.已知函数．当m 时，函数的图象是直线；
当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．
2.对于y = ax 2（a≠0）的图象，下列叙述正确的是（ ）
A.a越大开口越大，a越小开口越小 B.a越大开口越小，a越小开口越大
C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大 D.| a |越大开口越大，| a |越小开口越小
3.抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平
移 个单位而得到．
4.若抛物线y=(m-1)x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.
5.已知二次函数有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（ ）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定
y
C
E
F
D
A
B
O
x
6.已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 ．
7.抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的 直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是 （ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线运动，
当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为
9.函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
10. （1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图 象,则 y2= ；
（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值 。
11.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图2
111111
B
C
O
(A)
D
E
M
y
x
图2
B
C
O
A
D
E
M
y
x
P
N
·
九年级数学复习十五——二次函数应用
一、中考要求：
会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题
二、知识要点：
二次函数应用
三、典例剖析：
例1.如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；
(2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；
(3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.
例2已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）
（2）如图，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。
②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。
四、随堂练习：
A
B
C
D
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
3.如图,在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MNKM运动，最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是（ ）。
4.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度为 米．
5.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么
8
x
y
24
20
(第7题图)
经过_____________秒，四边形的面积最小．
6.如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上， 点Ｄ在OA上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
7.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）．
A．x＝10，y＝14 B．x＝14，y＝10
C．x＝12，y＝15 D．x＝15，y＝12
8. 如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得ΔFMN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明ΔFMN∽ΔQWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，ΔPQW为直角三角形？当x在何范围时，ΔPQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
九年级数学复习十六——二次函数应用
一、中考要求：
1、能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式（图象）确定二次函数，并获得更多信息。
2、二次函数的应用题是综合运用方程、几何函数、运动型等知识解决问题。
二、知识要点：
函数应用
三、典例剖析：
例1如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
例2如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．
（1）求，，的值；
（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．
①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
(第2题图)
(第2题备用图)
四、随堂练习：
1.函数的图像与轴有且只有一个交点，那么的值是 ，与轴的交点坐标为 。x k b 1 . c o m
2.已知M、N两点关于轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上， 设点M（，），则抛物线的顶点坐标为 。
3.将抛物线绕顶点旋转1800，再沿对称轴平移，得到一条与直线交于点（2，）的新抛物线，新抛物线的解析式为 。
4.已知抛物线与轴交于A、B两点，顶点为C，连结AC、BC，点A1、A2、A3、…把AC等分，过各分点作轴的平行线，分别交BC于B1、B2、B3、…，线段A1B1、A2B2、A3B3、…、的和为 。（用含的式子表示）
5.已知二次函数y=3(x－1)2＋k的图象上有三个点A(、y1)、B(2，y2)、C(－，y3)，
则y1、y2、y3的大小关系为 ( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞yl＞y3 C．y3＞yl＞y2 D．y3＞y2＞yl
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
7.已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
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