向量积的运算公式及度量公式.doc

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张喜林制
2.3.2 向量数量积的运算律
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

考点知识清单

1．向量数量积的运算律：
(1)交换律： (2)分配律：
(3)数乘向量结合律：
2．常用结论：

3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ), 则 a × b =

4．设 a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ).

如果 a ^ b, 则

如果 a1b1 + a2b2 = 0, 则

对于任意实数 k，向量 k (-b&2 , b1 ) 与向量 (b1 , b2 ) 垂直．

5．向量 a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ), 则 | a |= cos < a, b >=

6．若 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), 则 AB = (x2 - x1, y2 - y1 ),所以| AB |=
要点核心解读

1．向量数量积的运算律

(1)a × b = b × a （交换律） ；

(2)(la) × b = l(a × b) = a × (lb) （结合律） ；

(3)(a + b) × c = a × c + b × c （分配律） ．

2．向量数量积的运算律的证明
(1)a × b = b × a （交换律）

证明： a × b =| a || b | cos < a, b >=| b || a | cos < b, a >= b × a,

(2)l(a × b) = (la) × b = a × (lb) （结合律）

证明： ①l(a × b) = l | a || b | cos < a, b > .

当 l > 0 时， la 与 a 同向， < la, b >= (a, b),

当 l = 0 时， (la) × b = (0a) × b = 0 × b = 0,

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当l < 0时, la与b 反向， (la,b >= p - < a,b),

综合以上可得 (la) × b = l | a || b | cos < a, b > .

③由②同理可证得： a(lb) = l | a || b | cos < a, b > .

综合以上可得： l(a × b) = (la) × b = a × (lb) = l | a || b | . cos < a, b > .

(3)(a + b) × c = a × c + b × c （分配律）

证明：作轴 L 与向量 c 的单位向量 c0 平行．

如图 2-3 -2 -1，作 OA = a, AB = b, 则 OB = a + b.

设点 0、A、B 在轴 L 上的射影为 O、A、B / , 跟据向量的数量积的定义有 /

但对轴上任意三点 O、A/、B / , 都有 OB / = 0 A/ + A/ B / ,

即 ( a + b) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 ,

上式两边同乘以| c |, 由| c | c0 = c 得：
∴ 得证．
3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点
(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交
换律．
(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有
(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律

(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律， a. (b × c) = (a × b) × C 是错误的，这是因为

a × b与b × c 都是数量，所以 a × (b × c)与(a × b) × c 分别表示 a 的共线向量和 c 的共线向量，当然就不能相等．

(5)由 (a + b) × (c + d ) = a × c + a × d + b × c + b × d , 可得向量的三个运算公式：

4．向量内积的坐标运算

建立正交基底{e1, e2}. 已知 a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ) ，则

因为 e1 × e1 = e2 × e2 = 1, e1 × e2 = e2 × e1 = 0, 所以我们得到数量积的坐标表达式：
5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

设 a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ),

则 a ^ b Û a1b1 + a2b2 = 0.
6．向量的长度、距离和夹角公式

(1)如图 2-3 -2 -2，已知 a = a1, a2 ), 则 | a |2 = a × a = (a1, a2 ) × (a1, a2 ) = a12 + a 2 . （
2

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因此 ①
这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，
这个公式用语言可以表述为：
向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．

(2)如果 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), 则

AB = (x2 - x1, y2 - y1),从而

②

AB的长就是 A、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中

得到的两点距离公式完全一样．

(3)设 a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ),
则两个向量夹角余弦的坐标表达式
7．如何运用坐标来解决垂直问题

(1)设两非零向量 a = (x1, y1 ), b = (x2 , y2 ), 则 a ^ b Û x1x2 + y1 y2 = 0.
利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．
例如：已知： a = (cosa, sin a),b = (cos b , sin b ) < 0 < a < b < p ), 则 a + b 与 a - b 是否互相垂

直？并说明理由．
解：由已知 a = (cosa, sin a),b = (cos b , sin b ), 有 a + b = (cosa + cos b , sin a + sin b ),

又 (a + b). < a - b) = (cosa + cos b )(cosa - cos b ) + (sin a + sin b ). (sin a - sin b )

= cos 2 a - cos 2 b + sin 2 a - sin 2 b = 0.所以 (a + b) ^ (a - b).

(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意 a 与 b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用
坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：
8．利用数量积求两个向量的夹角
一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也
不能得到它们的夹角一定为钝角．

设 a，b 为非零向量，如果 a × b > 0, 那么 a，b 的夹角为锐角或 a，b 同向，反之也成立；如果 a × b < 0,

那么 a，b 的夹角为钝角或 a，b 反向，反之也成立，
典例分类剖析

考点 1 判断向量运算的正误

[例 1] 给出下列命题：①设 a、b、c 是非零向量，则 (a × b) × c 与 c 共线；②若 la = lb < l Î R,

且 l = 0), 则 a = b; ③a × b = 0 与 a⊥b 是等价命题；
/ ④若 a × c = b.c, 则 a = b; ⑤若 a 与 b 共线， a × b =| a | . 则

| b |; ⑥若 a × b < 0.则 (a, b) 是钝角．

其中真命题为 （填序号） ．