宜春2017~2018学年第二学期期末统考.doc

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宜春市 2017 学年第二学期期末统考 ～2018
高二年级理科答案

一、选择题
1-5 ABBCC 6-10 DBACB
二、填空题(13-16每小题 5分, 20 )
小题, 共 分
4 1
13. 14. 15. 2 16.
3 4
三、解答题(1710 ,18,19,20,21,22 分)
题 分 题各 12 ; 70 分共
17. （本小题 10 分）已知函数 f (x) = x -1 + x + 2 .

（1 ）解不等式 f (x) ³ 4 ；

（2 ）任意 x Î R, f (x) ³ a 恒成立，求 a 的取值范围.

ì-2x -1, x £ -2

解:(1)x) = ï 3, -2 < x < 1 ,

f(
í
解集为 ìx x £ - 5 或x ³ 3 í
}¼¼¼¼ 5分

îï 2x +1, x ³ 1
î
2
2

（2 ）因为 |x-1|+|x+2| £ 3 。¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼
³3, a 所以 10 分
18 ．（本小题 12
分）已知函数 f (x)= x3 - 3x2 - 9x + a .

（1
）求函数 f (x)的单调区间；

（2 ）若 f (x)在区间 [-2,2]上的最大值为 8 ，求它在该区间上的最小值.

解：(1) 由题知： f ¢(x)= 3x2 - 6x - 9 = 3(x - 3)×(x +1)

令 f ¢(x)ñ0， x<-1
则 或 x>3;f ¢(x)á0， -1<x<3
令 则

所以减区间为（-13 ， ），增区间(-¥，)，， ¥).
-1 (3 + ¼¼¼¼¼¼¼¼分 6

(2) 知 f(x)，]上为增函数，在
由(1) 在[-2 -1 [-1，]上为减函数. 2

所以 f (x) = f (-1)= -1- 3+ 9 + a = 8 , 解得 a=3¼¼¼¼8分 ,
max
则 f (-2)= 1, f (2)= -19 , 所以 f(x) ，]上的最小值为 在[-2 2
-19. ¼¼¼¼¼¼¼ 12 分

1页

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19 ．（本小题 12
分）某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该
店 1月份中某 5天的日销售量 y （单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位：

°C ）的数据，如下表：

2 5 8 9 11

12 10 8 8 7

（1 ）根据表中数据，已经求得线性回归方程为 y = -0.56 x + a ，求 a ，并预测最 ˆ

低气温为 0°C 时的日销售量；

（2 ）设该地 1月份的日最低气温 X ~ N (m,s 2 )，其中 m 近似为样本平均数 x ，

s 2 =10 ，试求 P(3.8 < X < 16.6) .

附： 10 » 3.2 ，


3.2 » 1.8 ，若 X ~ N m,s 2 ，则 P(m - s < X < m + s) =0.6826

(
)
，

P(m - 2s < X < m + 2s ) = 0.9544 ， P(m - 3s < X < m + 3s ) = 0.9974 .

解：（1 ）由题意得 x = 1 (2 + 5 + 8 + 9 +11) = 7 ， y = 1 (12 +10 + 8 + 8 + 7) = 9 ，
5 5
a = y - bx = 9 + 0.56 ´ 7 = 12.92 ，故回归方程是 y = -0.56 x +12.92

ˆ
ˆ
ˆ

将 x = 0 代入回归方程可预测该店当日的销售量 y = 12.92 千克¼¼¼¼¼ 6分 ˆ

（2 ）由（1 ）知 m = x = 7 ，∴s = 10 = 3.2 ，

所以 P(3.8 < X < 16.6) = P(7 - 3.2 < X < 7 + 3´ 3.2) = P(m - s < X < m + 3s )

= P(m - s < X < m) + P(m £ X < m + 3s ) = 1 ´ 0.6826 + 1 ´ 0.9974 = 0.84 ，
2 2
即

P(3.8 < X < 16.6) = 0.84 .¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

12 分
20. （本小题 12


分）已知函数 fn (x) = 1 x3 - 1 (n +1)x2 + x (n Î N *)，数列{an}满

3
2

足 an+1 = fn¢(an )， a1 = 3. 1 （ ）求 a2 , a3, a4 的值;

（2 ）猜想数列 {an}的通项公式，并用数学归纳法证明 .

解：由 fn¢(x) = x2 - (n +1)x +1 n Î N*

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猜想 an = n + 2 . ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼6分
用数学归纳法证明
n =1 时显然成立.

②假设当 猜想成立，则

则当 n = k +1(k Î N * )时

ak+1 = ak2 - (k +1)ak +1 = (k + 2)2 - (k +1)(k + 2)+1= k + 3 = (k +1)+ 2

由①②可知对一切 Î N *, an = n + 2 成立¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ 分
n 12
21. （本小题 12 某次数学知识比赛中共有 6个不同的题目，每位同学从中随机抽取 分）
3个题目进行作答，若所抽取的 3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛．已知这 6个题
2

目中，甲只能正确作答其中的 4个，而乙正确作答每个题目的概率均为 ，且甲、乙两位
3
同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的．
（1 ）求甲、乙两位同学总共正确作答 3个题目的概率；
（2 ）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学中哪位同学进入下一轮比赛的可能性更
大？
解：（1 ）由题意可知，甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目包含：甲正确作
答 1 个、乙正确作答 2 个，甲正确作答 2 个、乙正确作答 1 个，甲正确作答 3
个、乙正确作答 0 个，
故所求概率

P = C4C2 ´ C32 ´ ( 2)2 ´ 1 + C4C2 ´ C1 ´ 2 ´ (1)2 + C43 ´ C30 ´ (1)3 = 31 ¼¼¼¼4分

12

C63
3
21

3 C63
3
33
3

C6
3
135

（2 ）设甲正确作答题目的个数为 X ，则 X 的所有可能取值为 1，2，3，

因为 P( X = 1) = C4C2 = 1 , P( X = 2) = C4 C2 = 3 , P( X = 3) = C4C2 = 1

12

C63
5
21

C63
5
30

C63
5

所以 的分布列为
1 2 3

故 E ( X ) = 1´ 1 + 2 ´ 3 + 3 ´ 1 = 2 ，
5 5 5
D( X ) = (1- 2)2 ´ 1 + (2 - 2)2 ´ 3 + (3 - 2)2 ´ 1 = 2 ¼¼¼ 7 分
5 5 55
设乙正确作答题目的个数为 Y ，则 Y ~ B(3, 2) ，
3
所以 E(Y ) = 3´ 2 = 2, D(Y ) = 3´ 2 ´ 1 = 2 ，¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ 10
3 333
分

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