圆周角(二)——圆周角定理导学案.doc

高二数学(文)选修4-1导学案 编写：王潇音

一、 圆周角定理导学案
【学习目标】
掌握圆周角定理及其证明；
掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论；能用定理和推论解决相关的几何问题。
【学习过程】
（一）、探究导入
一、旧知回顾
1、圆周角的定义：
2、圆心角的定义：
3、外角与两个不相邻内角的关系：
二、探究
阅读并结合课本P24-P25的内容，完成下列要求：
（1）：利用量角器测量如下三个图形中圆心角和圆周角的度数并填空
（2）：猜想圆心角和圆周角的关系：圆周角等于它所对圆心角的
(3)：用合理的方法自主证明如下图的三种情况

（1） (2) (3)
= = =
= = =
综上结论：=
证明：（2） （1） （3）

综上三种情况猜想：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的
（二）、新课传授
一、1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的
2.练习： 1、如图1，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）
A、50° B、80° C、90° D、100°
图1 图2
练习： 2、如图2，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °AB＝2，则⊙O的半径是 。

二、
1、思考
（1）如图3.弧AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？

图3 图4 图5
（2）如图4.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
（3）如图5.问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：∠C1、∠C2、∠C3的度数是
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是 。
2、圆心角定理：圆心角的度数 它所对弧的度数。
3、圆周角定理的推论
推论①：同弧或等弧所对的圆周角 ；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 。
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；
的圆周角所对的弦是
4.判断正误
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等（　　）
（2）相等的圆周角所对的弧相等（　　）
（3）90°角所对的弦是直径（　　）
（4）直径所对的角等于90°（　 　）
（5）长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）

1．如图一，在⊙O中，∠BAC＝60°，则∠BDC＝(　　)
A．30° B.45°　　　
C．60° D.75°

图一

三、学以致用
例1：如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：

练习：1

图2－1－5 2－1－10
2．如图2－1－10，A、B、C是⊙O的圆周上三点，若∠BOC＝3∠BOA，则∠CAB是∠ACB的________倍．

练习.2、如图所示，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦 AB相交于D，AO的延长线交⊙O于E 求证：D是AB的中点.

2、如图，为⊙O的直径，,垂足为，=,和相交于，
求证：

三、师生互动
1.如图所示，已知是的高，是的外接圆直径.
求证：（1）
(2)

2.如图所示，与相交于圆内一点.求证：弧的度数与弧的度数和的一半等于的度数.（你能用两种方法吗？）

变式：如图，圆的两条弦的延长线相交于点.求证：弧的度数与弧的度数差的一半等于的度数.

【课时作业】（大小题均写解题过程）
1.下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相同的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的序号是 .

2.如图所示，已知、、、、均在⊙O上，且为⊙O的直径，
则= .

3.在半径为的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数 为 .

4.已知：如图，是弦的一条弦，的平分线交于点，交⊙O于点.
求证：.

5.如图，圆内接中，,是边上的一点，是直线和外接圆的交点，(1)求证：；（2）当为延长线上的一点时，第（1）题的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

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