二次函数与几何图形综合应用问题.doc

二次函数与几何图形综合应用问题
（图形相似、面积、最值问题）
设计者：徐久虎
一、考点解析：
1、题型；2、知识点；3、方法策略
二、例题评讲：
例1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于点E，连接PE，交CD于F，当△CEF与△COD相似时，求点P的坐标；
②是否存在一点P，使得△PCD面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（2）①设问引导：
（1）点P的坐标怎么表示？
（2）△CEF与△COD相似时，其顶点的对应情况如何？
（3）怎么建立t的关系式？
（2）②设问引导：
（1）存在性问题如何探究？
（2）如何用含t的式子表示△PCD的面积？
（3）怎么求△PCD的面积的最大值？

例2．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为AE弧上一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

（2）设问引导：
①点P的坐标怎么设？（注意取值范围！）
②欲求点P的坐标，怎么建立点P坐标的关系式？
③怎么应用▱CBPQ的面积为30这一条件？此条件能变一种说法吗？
（3）设问引导：
①点M在AE弧上移动时，图中哪些量变化？哪些量不变？
②∠BMN变化吗？∠BMN能与图中哪个角相等呢？的值变化吗？
③你能观察出M点在什么位置时，线段BN长度最大？怎么求它的最大值？
④你能求出O1、E点的坐标吗？
⑤△MBN与△ABE有何关系？
三、练习：
如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式，并直接写出阴影部分的面积S阴影；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

四、反思提炼：
一、求几何最值问题的基本策略：
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何特征寻找构建动量与定量（常量）、动量与动量之间的关系，建立等式，进行转化.
二、通常有两种途径：
1．应用几何性质：
(1) 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(2) 两点间线段最短；
(3) 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
(4) 定圆中的所有弦中，直径最长；
(5) 三角函数的有界性。
2．运用代数证法：
(1) 运用配方法求二次三项式的最值；
(2) 运用一元二次方程根的判别式。

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