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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,数学建模,Mathematical Modelling,第1页,第六讲 运载火箭发射卫星数学模型,火箭是一个复杂系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，而且总假设火箭推进力是足够强大,。,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,二、理想火箭模型,三、多级火箭系统,第2页,1),模型假设,1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心某个平面上圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；,1.2 地球是固定于空间中一个均匀球体，其质量集中于球心；,1.3 其它星球对卫星引力忽略不计。,1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须最低速度.,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第3页,设地球半径为,R,，中心为,O,，质量为,M,，曲线,C,表示地球表面，,C,表示卫星轨道，,C,半径为,r,，卫星质量为,m,。,r,C,O,C,R,1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须最低速度.,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第4页,假如把卫星放在地球表面，则由（1）式，得,2）建模与求解,依据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为,(1),第5页,第6页,2.火箭推进力及升空速度,火箭简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等影响，使火箭升空后作曲线运动。,1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须最低速度.,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第7页,1）模型假设,为使问题简化，假设：,2.1 火箭在喷气推进下作直线运动，火箭所受重力和空气阻力忽略不计；,2.2 在,t,时刻火箭质量为,m,(,t,),，速度为,v,(,t,),，且均为时间,t,连续可微函数；,2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身速度,u,为常数,即气体相对于地球速度为,v,(,t,),-u,u,v,第8页,2）建模与分析,因为火箭在运动过程中不停喷出气体，使其质量不停降低，在,t,t,+,t,内降低许可由微分公式表示为,即,第9页,第10页,因为喷出气体相对地球速度为,v,(,t,)-,u,，则由动量守恒定律有,第11页,（1）,第12页,表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相,对火箭)乘积。,表明，在一定条件下，火箭升空速度由喷气速度(相对火箭)及质量比决定。这为提升火箭速度找到了正确路径：尽可能提升火箭燃烧室产生气体喷出速度，这需要从燃料上想方法；尽可能降低在时刻火箭质,量，这要从结构上想方法。,第13页,3.一级火箭末速度上限,火箭卫星系统质量可分为三部分：净载质量(有效负载，如卫星),m,p,，,燃料质量,m,F,，,结构质量(如外壳、燃料容器及推进器),m,S,。,一级火箭末速度上限主,要是受当前技术条件限制。,1),模型假设,3.1 普通来说，结构质量,m,S,在,m,S,+m,F,中占有一定百分比，在现有技术条件下，要使燃料与发动机质量和小于所载燃料1/9是极难做到。当前技术条件下不妨设相对火箭喷气速度,u,=3km/s,.,3.2 初速度,v,0,忽略不计，即,v,0,=0.,第14页,2）,建模与求解,因为升空火箭最终(燃料已耗尽)质量为,m,p,+,m,s,。然后将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式(1)及假设3.2得到其末速度为,令,，,代入上式,，得,由此可见，对于给定,u,值，当有效负荷,m,p,=0,时，火箭末速度到达最大，即火箭末速度上限数学模型,(2),(3),第15页,而卫星能进入 600km 高空轨道,火箭末速度最低为 7.6,km/s,.,即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西情况下，火箭末速度最大才6.6,km/s,。所以，用一级火箭发射卫星，在当前技术条件下无法到达在对应高度所需速,度，也就是说,单级火箭不能用于发射卫星,。,由假设3.1，取,u,=3km,，便得火箭末速度上限,(4),第16页,这就是单级火箭设计方面最大缺点，所以我们必须反思，有必要改进火箭设计。,3)模型分析,单级火箭一直将将燃料仓和发动机带到了末端，而未将这些丢弃,火箭发动机作了许多无用功。也就是说发动机必须把整个沉重火箭加速到最终,不过当燃料耗尽时,发动机加速仅仅是一个空燃料仓.,第17页,上面我们对问题分析能够看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而伴随燃料不停消耗，所出现无用结构质量也在随之不停加速，作了无用功，效益低，浪费大。所谓,理想火箭，就是能够伴随燃料,燃烧不停抛弃火箭无用结构,。,二、理想火箭模型,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第18页,在,t,时刻动量为,m,(,t,),v,(,t,),，而在,t,+,t,时刻动量,为,2）建模与分析,1）模型假设,在,t,t,+,t,时段丢弃结构质量与烧掉燃料质量以,与,1-,百分比同时进行。,在,t,t,+,t,时段丢弃结构质量,为,烧掉燃料质量,第19页,依据动量守恒定律，有,第20页,第21页,第22页,由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便只剩下卫星质量,m,p,，从而最终速度数学模型为,当,m,0,足够大，便可使卫星到达我们所希望它含有任意速度。比如，考虑到空气阻力和重力等原因，预计要使,v,=10.5km/s,才行,假如取,u,=3km/s,=0.1,则可推出,m,0,/,m,p,=50,，即发射1吨重卫星大约需50吨重理想火箭。,第23页,理想火箭构想就是把无用结构质量连续抛弃以到达最正确升空速度,即使在当前技术条件下难以办到,但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。当前已商业化多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出第一步。多级火箭是从末级开始，逐层燃烧,当第,i,级燃料烧尽时,第,i,+1级,火箭马上自动点火,并抛弃已经无用第,i,级。,三、多级火箭卫星系统,二、理想火箭模型,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第24页,1）模型假设,为了简单起见，先作以下假设：,(1),m,i,用表示第,i,级火箭质量，,m,p,表示有效负载。,(2)设各级火箭含有相同,，,m,i,表示第,i,级结构质量,(1-,),m,i,表示第,i,级燃料质量。,(3)喷气相对火箭速度,u,相同。,1.多级火箭速度,第25页,火箭初始质量为,第一级火箭燃料消耗完成时，火箭质量,为,2）模型建立与求解,此时第一级火箭速度为,将第一级火箭结构抛去，点燃第二级火箭，此时火箭质量为,第26页,而且含有初速度,v,1,.,类似可求得第二级火箭燃料消耗完成时，火箭速度为,那么第,n,级火箭燃料消耗完成时，火箭末速度为,n,级火箭速度,第27页,2.各级火箭质量分配,1)问题背景,怎样分配各级火箭质量，使得火箭有效负荷最大？这也就是说，假如知道火箭到达末速度为,v,，,气体喷射速度为,u,，,结构比为,；,对于给定初始质量,怎样选择,质量,m,1,，,m,2,，,，,m,n,，,使得有效负荷,m,p,最大,。,2)模型假设,同前所述,第28页,2)模型建立,依据我们分析，能够建立一个单目标，非线性约束优化问题。,第29页,3)模型求解,令,a,i,表示第,i,级火箭点燃之前火箭系统质量与该级火箭被抛弃火箭系统质量之比。,那末将问题能够转化为另一个优化问题,第30页,再令 ，那么,显然,再将问题转化为下面优化问题,第31页,第32页,令,依据Lagrange乘数法，令,第33页,第34页,当 时,，,取到极大值,.,最优质量比,第35页,从图中我们能够看到：多级火箭最优质量比伴随火箭级数,n,增加而降低.,即以理想火箭质量比为极限.,而且,第36页,3)三级火箭最优性,对于,v,=10.5km/s，,u,=3km/s,=0.1，,利用公式,计算多级火箭最优质量比,n,1,2,3,4,5,+,m,0,/m,p,/,148.83,77.16,65.09,60.19,48.566,第37页,从上表中我们看到：三级火箭最优质量比几乎是二级火箭最优质量比2倍，也就是与二级火箭相比，在到达相同效果情况下，三级火箭几乎节约了二分之一。,假如用更多级火箭来代替三级火箭，即使能够降低最优质量比，但降幅已经不大，而且制造更多级火箭，除了技术上困难以外，增加火箭发动机和燃料舱会大大提升火箭成本。从这个意义上说，用三级火箭发射人造卫星是最优方案。此时，若想将1吨重卫星送入轨道，运载火箭发射时总重量为77吨。,第38页,谢谢,第39页,
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