三级火箭发射卫星数学模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,数学建模,Mathematical Modelling,第1页,第六讲 运载火箭发射卫星数学模型,火箭是一个复杂系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，而且总假设火箭推进力是足够强大,。,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,二、理想火箭模型,三、多级火箭系统,第2页,1),模型假设,1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心某个平面上圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；,1.2 地球是固定于空间中一个均匀球体，其质量集中于球心；,1.3 其它星球对卫星引力忽略不计。,1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须最低速度.,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第3页,设地球半径为,R,，中心为,O,，质量为,M,，曲线,C,表示地球表面，,C,表示卫星轨道，,C,半径为,r,，卫星质量为,m,。,r,C,O,C,R,1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须最低速度.,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第4页,假如把卫星放在地球表面，则由（1）式，得,2）建模与求解,依据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为,(1),第5页,第6页,2.火箭推进力及升空速度,火箭简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等影响，使火箭升空后作曲线运动。,1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须最低速度.,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第7页,1）模型假设,为使问题简化，假设：,2.1 火箭在喷气推进下作直线运动，火箭所受重力和空气阻力忽略不计；,2.2 在,t,时刻火箭质量为,m,(,t,),，速度为,v,(,t,),，且均为时间,t,连续可微函数；,2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身速度,u,为常数,即气体相对于地球速度为,v,(,t),-u,u,v,第8页,2）建模与分析,因为火箭在运动过程中不停喷出气体，使其质量不停降低，在,t,t,+,t,内降低许可由微分公式表示为,即,第9页,第10页,因为喷出气体相对地球速度为,v,(,t,)-,u,，则由动量守恒定律有,第11页,（1）,第12页,表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相,对火箭)乘积。,表明，在一定条件下，火箭升空速度由喷气速度(相对火箭)及质量比决定。这为提升火箭速度找到了正确路径：尽可能提升火箭燃烧室产生气体喷出速度，这需要从燃料上想方法；尽可能降低在时刻火箭质,量，这要从结构上想方法。,第13页,3.一级火箭末速度上限,火箭卫星系统质量可分为三部分：净载质量(有效负载，如卫星),m,p,，,燃料质量,m,F,，,结构质量(如外壳、燃料容器及推进器),m,S,。,一级火箭末速度上限主,要是受当前技术条件限制。,1),模型假设,3.1 普通来说，结构质量,m,S,在,m,S,+m,F,中占有一定百分比，在现有技术条件下，要使燃料与发动机质量和小于所载燃料1/9是极难做到。当前技术条件下不妨设相对火箭喷气速度,u,=3km/s,.,3.2 初速度,v,0,忽略不计，即,v,0,=0.,第14页,2）,建模与求解,因为升空火箭最终(燃料已耗尽)质量为,m,p,+,m,s,。然后将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式(1)及假设3.2得到其末速度为,令,，,代入上式,，得,由此可见，对于给定,u,值，当有效负荷,m,p,=0,时，火箭末速度到达最大，即火箭末速度上限数学模型,(2),(3),第15页,而卫星能进入 600km 高空轨道,火箭末速度最低为 7.6,km/s,.,即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西情况下，火箭末速度最大才6.6,km/s,。所以，用一级火箭发射卫星，在当前技术条件下无法到达在对应高度所需速,度，也就是说,单级火箭不能用于发射卫星,。,由假设3.1，取,u,=3km,，便得火箭末速度上限,(4),第16页,这就是单级火箭设计方面最大缺点，所以我们必须反思，有必要改进火箭设计。,3)模型分析,单级火箭一直将将燃料仓和发动机带到了末端，而未将这些丢弃,火箭发动机作了许多无用功。也就是说发动机必须把整个沉重火箭加速到最终,不过当燃料耗尽时,发动机加速仅仅是一个空燃料仓.,第17页,上面我们对问题分析能够看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而伴随燃料不停消耗，所出现无用结构质量也在随之不停加速，作了无用功，效益低，浪费大。所谓,理想火箭，就是能够伴随燃料,燃烧不停抛弃火箭无用结构,。,二、理想火箭模型,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第18页,在,t,时刻动量为,m,(,t,),v,(,t,),，而在,t,+,t,时刻动量,为,2）建模与分析,1）模型假设,在,t,t,+,t,时段丢弃结构质量与烧掉燃料质量以,与,1-,百分比同时进行。,在,t,t,+,t,时段丢弃结构质量,为,烧掉燃料质量,第19页,依据动量守恒定律，有,第20页,第21页,第22页,由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便只剩下卫星质量,m,p,，从而最终速度数学模型为,当,m,0,足够大，便可使卫星到达我们所希望它含有任意速度。比如，考虑到空气阻力和重力等原因，预计要使,v,=10.5km/s,才行,假如取,u,=3km/s,=0.1,则可推出,m,0,/,m,p,=50,，即发射1吨重卫星大约需50吨重理想火箭。,第23页,理想火箭构想就是把无用结构质量连续抛弃以到达最正确升空速度,即使在当前技术条件下难以办到,但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。当前已商业化多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出第一步。多级火箭是从末级开始，逐层燃烧,当第,i,级燃料烧尽时,第,i,+1级,火箭马上自动点火,并抛弃已经无用第,i,级。,三、多级火箭卫星系统,二、理想火箭模型,一、为何不能用一级火箭发射人造卫星,第24页,1）模型假设,为了简单起见，先作以下假设：,(1),m,i,用表示第,i,级火箭质量，,m,p,表示有效负载。,(2)设各级火箭含有相同,，,m,i,表示第,i,级结构质量,(1-,),m,i,表示第,i,级燃料质量。,(3)喷气相对火箭速度,u,相同。,1.多级火箭速度,第25页,火箭初始质量为,第一级火箭燃料消耗完成时，火箭质量,为,2）模型建立与求解,此时第一级火箭速度为,将第一级火箭结构抛去，点燃第二级火箭，此时火箭质量为,第26页,而且含有初速度,v,1,.,类似可求得第二级火箭燃料消耗完成时，火箭速度为,那么第,n,级火箭燃料消耗完成时，火箭末速度为,n,级火箭速度,第27页,2.各级火箭质量分配,1)问题背景,怎样分配各级火箭质量，使得火箭有效负荷最大？这也就是说，假如知道火箭到达末速度为,v,，,气体喷射速度为,u,，,结构比为,；,对于给定初始质量,怎样选择,质量,m,1,，,m,2,，,，,m,n,，,使得有效负荷,m,p,最大,。,2)模型假设,同前所述,第28页,2)模型建立,依据我们分析，能够建立一个单目标，非线性约束优化问题。,第29页,3)模型求解,令,a,i,表示第,i,级火箭点燃之前火箭系统质量与该级火箭被抛弃火箭系统质量之比。,那末将问题能够转化为另一个优化问题,第30页,再令 ，那么,显然,再将问题转化为下面优化问题,第31页,第32页,令,依据Lagrange乘数法，令,第33页,第34页,当 时,，,取到极大值,.,最优质量比,第35页,从图中我们能够看到：多级火箭最优质量比伴随火箭级数,n,增加而降低.,即以理想火箭质量比为极限.,而且,第36页,3)三级火箭最优性,对于,v,=10.5km/s，,u,=3km/s,0.1，,利用公式,计算多级火箭最优质量比,n,1,2,3,4,5,+,m,0,/m,p,/,148.83,77.16,65.09,60.19,48.566,第37页,从上表中我们看到：三级火箭最优质量比几乎是二级火箭最优质量比2倍，也就是与二级火箭相比，在到达相同效果情况下，三级火箭几乎节约了二分之一。,假如用更多级火箭来代替三级火箭，即使能够降低最优质量比，但降幅已经不大，而且制造更多级火箭，除了技术上困难以外，增加火箭发动机和燃料舱会大大提升火箭成本。从这个意义上说，用三级火箭发射人造卫星是最优方案。此时，若想将1吨重卫星送入轨道，运载火箭发射时总重量为77吨。,第38页,谢谢,第39页,