微积分和辩证法.doc

微积分与辩证法
学号：10124090109

学年论文

（题 目 ）微积分与辩证法

（英文并列题目）Calculus and dialectics

学院 理学院 专业 数学与应用数学 班级 数学10-1
学生 赖银娣 指导教师（职称） 李伟勋
完成时间 2013 年 3 月 19 日至 2013年 3 月 26日

指导教师评语：

评分： 签名：

摘
要

摘要

微积分是高等数学的主要内容, 其中蕴涵了丰富的辩证思想. 通过对微积分中概念、判断和运算法则中矛盾的分析, 结合实例论证了辩证思想在微积分中的体现. 让学生充分地认识辩证思想, 能够帮助学生正确地分析问题和解决问题. 微积分从建立的思想到方法都蕴含着丰富的辩证法, 它的辩证法思想表现得既充分、又深刻, 揭示其中辩证关系, 对提高辩证思维能力, 掌握认识世界的科学方法有着深远意义。辩证法是科学的世界观和方法论，微积分中蕴含着丰富的辩证法思想。本文从哲学的辩证观点出发，对微积分概念中的常量与变量、有限与无限、导数与微分、连续和间断、无穷小与无穷大、直线与曲线等具体实例进行分析，探析辩证思想在微积分中的体现，以便深刻理解辩证法思想在微积分教学中的应用。
关键词：微积分 辩证法 思想

一、 引言
数学是反映现实世界空间形式、数量关系的一门科学, 它的产生、发展以及数学知识本身充满了唯物论和辩证法。正如恩格斯所说的: “数学中的转折点是笛卡尔的变量, 有了变数, 运动进入了数学, 有了变量, 辩证法进入了数学…”“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用。微积分学是关于变量的数学, 它的研究对象是函数. 本质上是运用矛盾转化的辩证思想研究隐藏在函数关系中的变量的可变性关系的. 而微积分学的发展是建立在极限理论的基础上的, 极限理论的实质就是通过对变化过程的量的分析来把握变化的结果, 即通过有限来认识无限, 用有限来把握无限,反映了有限与无限、量变和质变、过程和结果的对立统一.

二、 何为微积分与何为辩证法

2.1 辩证法

马克思主义哲学的核心部分是辩证法思想。辩证法思想是用联系的、发展的、全面的观点和方法看待问题，是关于自然、人类社会发展和思维运动的普遍规律的科学。这门科学从各个方面揭示了事物内部和事物之间的最普遍的本质联系、基本过程和基本趋势。因此，辩证法思想是理论和实践的指南，在数学教学具有重要的指导意义。

2.2 微积分

微积分学是一门重要的数学基础课，它源于实践又高于实践，要正确理解其理论及思想，辩证唯物主义哲学在其中起到了普遍和实用的方法论意义。伟大导师恩格斯说：“微积分本质不外是辩证法在数学方面的应用”，这句话深刻揭示了微积分的实质，是对微积分中辩证法思想的高度概括。因此，在微积分的教学中，如果抽去辩证法思想的这一本质属性，就难以揭示微积分的实质和深刻含义。本文拟从一些基本概念，如常量与变量、有限与无限、导数与微分、连续和间断、无穷小与无穷大、直线与曲线等进行分析，探析辩证思想在其中的体现，以便深刻理解辩证法思想在微积分教学中的应用。

2.3 辩证法思想体现在微积分的变化发展观点中

微积分的萌芽、产生和发展, 经历了一个漫长的时期, 古希腊的穷竭法就蕴含了极限的思想, 刘徽的割圆术则是建立在直观基础上的原始的极限思想的成功运用。16世纪中叶,微积分正式进入酝酿阶段, 许多先驱为微积分创立作了许多的先导工作, 17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹终于创立了微积分学, 但那时, 微积分理论的不严密性受到人们的怀疑和攻击。1821年柯西在5分析教程6中首次给出了微积分中极限、函数的连续性、导数和微分的严格定义, 建立了一个微积分体系, 将微积分奠定在极限概念之上, 将纷乱的概念理出了一个头绪, 一直到19世纪50年代维尔斯特拉斯在前人研究基础上提炼出极限的/ E- D0语言定义, 才建立了极限的严格的定义, 且微积分在19世纪的最后几十年中有了许多理论上的进展, 微积分的严密化任务终于完成。

2.4 高等数学的产生以辩证法为指导

创立变量数学, 确立函数概念, 除了客观的要求外, 还必须有哲学的辩证思想作指导. 当然, 初等数学本身也是充满着辩证法的, 但由于它的研究对象是相对静止的、相对稳定不变的量, 所以只用研究事物稳定性的形式逻辑的方法去对待它就可以了. 正是在这个意义上, 恩格斯才说: “初等数学, 即常数的数学, 是在形式逻辑的范围内活动的, 至少总的说来是这样.” 至于变量数学就不同了, 它的研究对本身是不断地连续地变动着的, 没有运动的相互联系的观点、没有辩证法的思维, 是绝对理解不了它的本质和规律的. 所以恩格斯说: “ 数学本身由于研究变数而进人辩证法的领域, 而且很明显, 正是辩证哲学家笛卡儿使数学有了这种进步. ”笛卡儿将二元不定方程的两个未知数X , Y 的关系看作连续变化着的变量的依赖关系, 给定X 的值就有与之相对应的Y 值, 而每一对X , Y 在平面坐标上有着点的坐标,这样当X , Y 连续变化时, 动点在平面上移动就形成曲线. 不同的代数方程对应着不同的曲线, 于是曲线被看作可以进行代数运算的动点轨迹. 这就是解析几何的基本思想. 有了描述物体运动轨迹的方法, 很自然就要求解决两个问题: ( 1) 已知点的运动轨迹如何求它在各个时刻的速度; ( 2) 已知点的速度变化规律如何求出它的运动轨迹, 这两个问题正是生产实践所迫切需要解决的问题. 第一个问题就是微分学问题, 求函数的变化率问题; 第二个问题就是积分学问题. 牛顿和莱布尼茨的主要贡献是在前人工作的基础上认识到微分与积分的内在联系, 发现了微积分的基本定律 , 从而完成了微积分的创立工作. 正如恩格斯所说: “ 数学中的转折点是笛卡儿的变量. 有了变量, 运动进入了数学, 有了变量, 辩证法进入了数学, 有了变量, 微分和积分也就立刻成为必要的了, 而它们也就立刻产生, 并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的, 但不是由他们发明的. ”

三、 微积分本质上是辩证法在数学方面的运用

3.1 微积分实现了直与曲、有限与无限的相互转化

3.1.1 直与曲
高等数学的诞生和发展来自直与曲的转化和统一。直与曲的转化是微积分学必不可少的一个方法。由于在理论上和计算过程中,“直”总比“曲”容易得多。因此,在微积分中,大量地表现出了以“直”代“曲”的思想方法。例如: 通过曲线的切线研究曲线的性质，就是将曲线线性化，即以直代曲，通过求出导数，得到曲线切线的斜率，从斜率的变化得到曲线的性质，从而作出函数图像。又如定积分的实例和概念中，我们可以看到定积分的基本思想是：首先作为分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直”代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边形画积的一个近似值；当分割无限加细时，通过无限逼近，就得到曲边梯形的准确值，即，这时又从“直”回到了“曲”，“分害、近似求和、取极限”是定积分的核心思想，体现了“直与曲”的辩证观。局部以直代曲，渗透在整个微积分学的研究中，是解决数学问题的一个重要数学思想。
恩格斯说: “变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用. ”初等数学的研究对象是常量和固定空间形式. 直就是直, 曲就是曲, 直在任何情况下都不能是曲等等. 但当生产实践提出要求计算曲边形的面积时, 人们的认识就产生了一个质的飞跃, 发现直与曲之间没有不可逾越的鸿沟, 在一定条件下它们相互转化成为同一的东西. 因此可以通过直边形来计算出曲边形, 办法就是把曲边梯形划分为许多条条, 每一小曲边用直边代替得出小矩形, 再把它们总和起来构成阶梯边形, 就非常接近所要求的曲边梯形了. 随着我们把小曲边梯形再分小, 分到要多小有多小, 分到无限小. 这时直与曲的固定界限消失了, 直线化曲、直边形转化为曲边形. 用恩格斯的话说, 就是“直线和曲线在微分中终于等同起来了. ”但是, 在我们实现直与曲的相互转化的同时, 有限的东西又转化为无限的东西, 有限的曲边梯形转化为无限的条条. 求曲边形面积的问题似乎复杂化了, 本来我们要计算有限的东西, 现在变成要去求无限的东西. 我们好像走了弯路, 但为了走直路而走弯路这正是辩证法. 全部微积分学就是建立在解决直与曲、有限与无限的矛盾, 实现曲与直、有限与无限的相互转化的基础上.
3.1.2 积分过程中的直与曲的转化统一性
例: 求抛物线在 的区间中所围成的面积S．
第一步: 分割. 将由边梯形的底边分划为 等份, 每份记作( 分点为, ,…, ) , =同时曲边梯形被分为个长条小曲边梯形, 每一小曲边形面积为 . 这是整体转化为局部.
第二步: 近似. 用直线代替每一小曲边形的曲线, 于是求出每个小矩形的面积为 ,其中
随着分割得越来越细, 每一小矩形的面积 越来越接近小曲边梯形的面积 . 很显然, 这是一个微分过程, 是一个以直线代替曲线, 把曲边当作直边来处理的过程.
第三步: 求和取极限. 就是令􀀁 即 , 使阶梯边梯形的面积转化为曲边梯形的面积.

这是一个积分过程, 它建立在以曲线代替直线, 直线转化为曲线的基础上. 直与曲转化的条件是什么呢? 就是无限小. 这样, 为了解决直与曲的矛盾转化问题, 我们又引出一个有限与无限的相互转化问题. 必须把一个有限的面积的计算化为一个无限的系列, 又把无限小的系列加以无限和使它再化成有限的东西. 由于在数学上实现有限与无限的转化是可能的, 因而在数学上实现直线与曲线的相互转化也是可能的, 在无限小的条件下, 由直到曲、再由曲到直, 直与曲相互联结、相互贯通相互衔接、相互转化, 在哲学上这叫做直与曲的同一性.

3.2 辩证法思想体现在微积分的普遍联系的观点中

恩格斯说: 辩证法是“关于普遍联系的科学”, 数学则非常典型地体现了辩证法的这个重要特征。辩证法的这个重要特征在微积分中也体现得非常典型。比如导数: 某一点的导数只是反映函数在该点的一个局部性质, 但当, 则说明当很小时, 函数在区间 的平均变化率可以用点的导数近似表示, 也就是说“整体”性质可以用“局部”性质近似表示, 而且中值定理也进一步论证了函数的局部性质与整体性质之间的联系, 为运用导数研究函数奠定了基础。又比如在积分学中, 不定积与定积分本来是两个互不相干的概念, 但牛顿- 莱布尼茨公式揭示它们之间的联系, 为定积分的计算开辟了道路; 定积分、二重积分、三重积分、线积分和面积分概念本来来自不同的现实原型, 是对不同的实际问题的研究而产生的各种不同的积分概念, 但本质上都是研究“总和的极限”问题, 所反映的是不同维空间的同一个数学关系, 而一维空间的N - L公式纵向发展成二维空间的Green公式, Green公式把二重积分和线积分联系起来, Green公式横向推广为Stokes公式, Stokes公式把线积分和面积分联系起来, Stokes公式纵向发展成三维空间的Gauss公式, Gauss公式又把三重积分和面积分联系起来, 这三个公式把积分概念纵横连接, 将各类积分联系在一起, 体现了普遍联系事物的整体相互依赖、相互作用的关系。
事物的普遍联系又体现在特殊与一般中，从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律。一方面一般概括了特殊，普遍比特殊更能反映事特的本质。另一方面由于事物的特殊性中包含着普遍性，即共性存在于个性之中，微积分中一些概念和定理的获得也是从特殊一般的思想。从一个特殊问题出发，我们可以讨论它的一般性问题。如在微积分中，微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明充分体现了这种“由特殊到一般”的思想。又如通过直线上的牛顿一莱布尼兹公式，可以得到平面上的格林公式，以至空间中的奥高公式，斯托克斯公式。反过来，我们也可以从一般问题考查其特殊情形。如微积分中常利用函数项级数的求和得到一些数项级数的求和。

3.3 辩证法思想体现在微积分的物质统一的观点中

恩格斯指出: “不同性质的现象具有相同的数学表达形式这一实事, 表现了不同性质的现象可以有相同的量的关系, 反映了物质世界的统一性。”如导数的概念: 如果表示质点运动规律时, 则在时刻的速度为如果 表示一条曲线时, 则曲线在点的切线的斜率为还有诸如物质的比热、电流的强度、线密度、化学反应的速度, 放射性物质衰变的速度等问题, 在本质上是不同的问题, 但最终都归结为形如 的数学问题, 从数学结构上看是完全相同的, 有相同的量的关系, 正是由于这一问题的研究促使导数概念的诞生。再如积分: 当表示区间上的非负的连续曲线, 则表示以为曲边,底为的曲边梯形的面积; 当x 表示位移, 表示物体在运动过程中所受的力, 则表示变力沿直线所作的功......, 随所表示对象的不同而有不同的含义, 也正是对这一类问题的研究产生了定积分的概念, 可见导数和积分都是含义极其广泛的数学概念, 它来源于现实世界,同时它的应用又渗透于客观世界的各个方面, 因此脱离量的“纯质”同脱离质的“纯量”在自然界中都是不存在的, 任何概念都是质和量的统一体。

3.4 辩证法思想体现在微积分的对立统一的观点中

3.4.1
马克思主义哲学告诉我们, 对立统一规律, 即矛盾辩证法是辩证法的实质和核心, 用这个观点观察变量数学就容易发现, 整个变量数学处处都有典型的深刻、丰富的矛盾辩证法。比如有限与无限的对立统一, 数学中的极限概念总是和某一个无限变化过程相联系的, 只有无穷运算才会产生极限的问题, 极限的得出体现了无限向有限的转化, 是无限变化过程与有限结果的对立统一; 又如微分与积分的矛盾, 是数学中典型的矛盾形式之一, 微分与积分的矛盾体现在运算上是相反的运算, 若表示平面曲线,曲线在处的切线斜率为——这就是微分运算, 已知求曲线方程(即求原函数运算) ——这就是积分运算, 从运算的过程可以看出导数和不定积分互逆的过程, 微分和积分的矛盾还体现在导数和定积分概念在建立的思想方法恰好相反, 当表示物体运动规律时, 则导数表示物体在时刻 的瞬时速度, 函数反映的是物体运动的整体性质, 导数反映的是某一点的局部性质, 因此导数的建立是通过对整体的了解达到对局部的了解, 而当表示物体在时刻 的瞬时速度时,则积分表示在时内所行的路程, 这里函数的是局部性质, 而积分反映的是整体性质, 因此积分的建立是通过对局部的了解达到对整体的了解, 对于微分与积分的关系, 恩格斯曾写道: “如果一杯水的最上面一层分子蒸发了, 那么水层的高度就减少了, 这样一层分子又一层分子地继续蒸发, 事实上就是一个连续不断的微分, 如果热的水蒸气在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水, 而且分子一层又一层地积累起来(在这里我们必须把那些使过程变得不纯粹的附带情况撇开不谈), 直到容器满了为止, 那么这里就是真正进行了一种积分, 这种积分和数学上的积分不同的地方只在于: 一种是由人的头脑有意识地完成的, 另一种是由自然界无意识地完成的。”恰好反映了相反的运动过程, 微分和积分的矛盾自始至终贯穿于微积分, 矛盾的双方既对立又统一。由于这一矛盾运动, 才构成了微积分的基本内容。
3.4.2 微积分极限中的对立与统一——有限与无限
恩格斯指出：“无限纯粹是由有限组成的。”有限与无限反映到数学中就是量的有限与无限，两者有着质的不同。我们可以用有限来认识无限，在一定条件下，两者也可以相互转化，这一转化是我们把数学应用于实践的有力工具。微积分中的极限概念，无穷级数概念中体现了有限与无限的转化过程。
在极限概念中，“有限”是指有限的步骤，是对有限个个别现象的考察，是我们知道的变化过程；而“无限”是看不见的无限步骤之后的最后结果。例如，战国时期庄周所著的《庄子·天下篇》中“尺锤取半”的名例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”一尺长的棰，这是有限的，通过“日取其半”这一反复过程是对棰无限分割的过程，在这一过程中，棰一次比一次短，一次比一次微小，永无止境。它反映了有限向无限转化的过程，而这一个有限长的棰可由无限分割的结果构成。可见，极限运算的结果是从有限中寻找无限，从运动、辩证的观点分析解决这类问题的方法；也正是体现有限与无限的对立性和统一性的辩证关系。在无穷级数中，左边是由无限个函数 相加的无穷和式，通过考察其有限项的和，得到右边的函数它是个具体的有限的函数，可看出无限的结果是有限。研究右边函数的性态，我们可从级数的部分和中进行分析得到。

3.5 辩证法思想体现在微积分的质量互变的观点中

量变和质变是事物发展中呈现出来的两种不同的状态,量变就是事物在数量方面的变化, 即事物的质没有产生变化时的“渐进过程”, 质变则是事物在根本性质上的变化, 是矛盾双方的相互转化, 是飞跃。极限理论的核心就是由量变到质变的飞跃。比如如果函数表示质点作变速直线运动时路程与时间的关系, 那么无论 多么小（但不等于0),比值只能表示质点在 这段时间的平均速度, 但它的极限值就产生质的变化——表示质点在时刻的瞬时速度。再如: 数项级数的求和, 先算出它的部分和 ,当时,,而它的极限值 ,极限的取得使得“近似”转化为“精确”, 也从有限和的计算中找到无限和的结果, 有了极限理论, 实现了常与变、曲与直、有限与无限, 近似与精确的相互转化。而在牛顿时代, 由于没有极限理论, 不能自圆其说, 被唯心主义者攻击为“已死量的幽灵”! 而用辩证唯物主义观点去看极限就是量变到质变的飞跃。

3.6 辩证法思想体现在微积分的否定之否定的观点中

3.6.1
否定之否定是发展的普遍规律, 而辩证的否定是事物的自我否定, 是质变, 亦是“扬弃”, 因而亦是事物发展的联系的环节。然而由于事物性质和条件的不同, 否定的形式和方法也各有特点各不相同。而在微积分中导数和定积分的得出都是否定之否定的结果。如导数的计算: 计算函数的导数经历了“变化、求差、作比、扬弃差”四个步骤, 四个步骤包含了两次否定的过程, 第一次, 否定分别为, 求差, 作比,求差商, 这一否定过程是在肯定y与x的函数关系的条件下的否定, 第一次否定的结果就是得出差商,第二次,否定分别为, 将差值与扬弃, 取极限求得函数的导数, 是肯定差商的条件下的否定, 导数的求得就是第二次否定的结果; 而求定积分也经历“分割、代替、求和、取极限”四个步骤, 其中包含了两次否定的过程, 第一次是“化整为零”,将曲边梯形分割成个小曲边梯形,否定整体,得出乘积 ，是肯定与的依赖关系 条件下的否定,第一次否定算出结果，第二次是“积零为整”, 将 个乘积相加, 再取极限, 否定微分,求得定积分第二次否定的结果就是求得定积分。因此导数和积分都是两次辩证的否定的最终结果,即否定之否定的结果。
3.6.2 直与曲转化的过程是一个否定之否定的过程
在上述求曲边梯形面积中的“分割、近似、求和取极限”的三个步骤中, 包含了两次否定的过程. 首先为了求得曲边梯形的面积, 我们把区间进行任意地分割,相应地对所求的积分值也进行了分割,从而得到小矩形面积. 这一步通俗地说是“化整为零”,是对整体的否定.然后把个小矩形面积相加,在这个基础上令, 即计算极限,这一步通俗地说是“积零为整”,是对微分的否定. 最后经过两次辩证的否定即否定之否定以后, 我们终于非常准确地计算出了曲边梯形面积.由此可见, 积分过程是通过曲→直→曲这样的迂回的、螺旋的或否定之否定的道路实现了曲与直的矛盾的双重转化的过程.
积分步骤是个否定之否定的过程. 求导数的过程也是否之否定的过程. 为了求切线, 必须先求割线, 再用割线迫近切线, 使之转化为切线. 为了求瞬时速度必须走到反面去求平均速度, 然后用平均速度迫近瞬时速度, 使之转化为瞬时速度. 这种为了求曲而求直, 为了求有限而求无限, 正是数学思想发展到辩证思维阶段的表现.

参考文献：

[1] 谢芳.  微积分中辩证法思想的剖析[J]. 山西广播电视大学学报. 2010(03)
[2] 张序萍,朱建兵,张新代.  微积分中的辩证法[J]. 山东理工大学学报(自然科学版). 2005(05)
[3] 姬春秋,潘伟,王振东.  微积分中的辩证思想[J]. 牡丹江师范学院学报(自然科学版). 2008(01)
[4] 石卫国.  微积分中的辩证思想[J]. 中国科教创新导刊. 2008(25)
[5] 卞兰芸. 浅谈辩证法思想在微积分中的体现[J]. 教育教学论坛. 3013-03-20

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