学案与测评数学苏教版理科第4单元_导数及其应用.pdf

知识体系第四单元导数及其应用导数实际背景第一节导数的概念及运算基础梳理1.函数f(x)在区间x1,x2 上的平均变化率函数f(x)在区间X1，X2上的平均变化率为 _,平均变化率是曲线陡峭程度的“数重化”,或者说，曲线陡峭程度是平均变化率殍觉化”.2.函数f(x)在x=Xo处的导数(1)定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x e(a,b),若Ax无限趋近于0时,比值/=,(Xo+：x)f(x)无限趋近于一个常数a,贝1称f(x)在x=x0处可F A导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x。).(2)几何意义函数f(x)在点X。处的导数f，(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(%,/(%).处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-flx的f(%)(x-)3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量X的变化而 变化,因而也是自变量X的函数，该函数称为f(X)的导函数，记作f/(X).4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f/(x)=上_.f(x)=Cf，(x)=_0_.f(x)=xf，(x).f(x)=x2f，(x)=2x.f(x)=x3f，(x)=3/.f(x)=-Xf(x)=!f(x尸 G1f(X)=2.f(x)=xa(a为常数)fz(x)=ax&1.f(x)=ax(a OJLa*1)f，(x)=axln a.f(x)=logax(a 0且a*1)f(x)=xlnaf(x)=ef(x)=_gxf(x)=ln x1 f(x).f(x)=s in xf(x)=cos xf(x)=cos Xf(x)=sinx5.导数运算法则(1)f(x)土 g(x)，=f(X)土 g，(x);(2)Cf(x)，=Cf，(x)(C为常数):(3)f(x)-g(x)z=f，(x)g(x)+f(x)g，(x)；(4)g(0典例分析题型一 利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=l处的导数值.分析 利用导数的定义，按求导数的步骤求解.解:Ay+(1+Ax)2-12 Ax2+2 Ax a。=-=-=-=Ax+2Ax Ax Ax Ax当Ax无限趋近于0时，包 趋近于2,.7，|x=1=2.Ax学后反思 利用导数的定义求在一点X。的导数的关键是对 y x进行 灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将X。看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f，(x).举一反三1.已知y=4利用定义求y，,y，I解析,/Ay=Vx+Ax-Vx,.Ay _ Vx+Ax-Vx _ Ax Ax Ax(Jx+Ax 二1V x+Ax+Vx -1 1y=hm=lim-/产=产Ax-Jx+Ax+Jx 27x12题型二 利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.(l)y=x2-sin x;(2)y=ex+l ex-l分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.解(1)y=2xsin x(2)=(看，sin x+/(sin x)2cos x.ex+l-ex-l_。+1)侬-1)。+1)1)，二(ex-l)2ex(ex-l)-ex(ex+l)_ 2ex(ex-l)2-(ex-l)2,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.举一反三2.求函数尸1 1 11-y/x 1+yx的导数.解析/1 1 1+yfx+1 yx 21-_1-1+6(1一4)(1+4)1-X/2)_ _2(1)_ 21-xj(l-x)2(1-X)2题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.求质点在1,1+At这段时间内的平均速度;(2)求质点在仁1的瞬时速度.分析第（1）问可利用公式至求解；第（2）问可利用第（1）问的At结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.解（1）质点在1,1+At 这段时间内的平均速度为As s（l+At）-s（l）-=-=_O_ JAt At At方法一（定义法）：质点在t=l时的瞬时速度丫=蝎生=.6At-0 At方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度丫=$，（t）=-6t,当t=l时）v=-6.学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概 念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说,其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对 时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物 理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题举一反三3.以初速度Vo（Vo O）作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为S（t尸,求物体在时刻t0时的瞬时速度.解析：T Q-g2t=vQ-gt物体在为时刻的瞬时速度为s,&）=%-g10.题型四 导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)1 1.4已知曲线y=-x3+3 3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.分析(1)点P处的切线以点P为切点，关键是求出切线斜率k=fz(2).过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解(l)/y，=x2,.2，在点P(2,4)处的切线的斜率卜=厂|x=2=4,.3,.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.4设曲线y=lx3+l与过点P(2,4)的切线相切于 3 31 4点A(x0,-x+j)，则切线的斜率k=I X=xo=x2o.6，1 4切线方程为y-/X+-)=X：(X-Xo),2 2 3 4 y即 y=xoex-x0+j.8,点P(2,4)在切线上,2 4,4=2x：xx：+.100 3 0 3即 x3o-3x2o+4=O,/.x3o+x2o-4x2o+4=O,.,.x2o(xo+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(Xo+1)(Xo-2)2=O,解得 x0=-1 或 x0=2,.12,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思(1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(xo，y0),得出切线 方程y-yo=f，(x)(X-X。)，然后把已知点代入切线方程求(x0,y。)，进而求出 切线方程.举一反三4.求曲线y=ln(2x-l)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解析：设曲线上过点尸(/)o)的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2,则.ykx。解得x0=l所以y0=0，即点P(1,0),点P到直线2 x-y+3=0的距离为2-0+3|.曲线y=ln(2x-l)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.题型五 复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.(l)y=(1+sin x)2;(2)y=In+1分析先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.解(l)y=(1+sin x)2=2(1+sin x)(1+sin x)=2(1+sin x)cos x=2 cos x+sin 2x尸HE P%X x2+1学后反思求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是：分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）;（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）一求导（导数相乘）举一反三5.求下列函数的导数。】1 1 3解析：,=(1+X2p=(1+%2户口：(2)y=(xe josx)=e jsx+x(3-cosx):ef Jef口)=eisx+Xgiosx口 +x sin x)gios、易错警示【例】已知曲线y=Vx上的点P(0,0),求过点P(0,0)的切线方程.错解.Ay二小二 1x Ax 沁 x)2y=次在点X=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的 切线是指曲线在点P附近取点Q,当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位 置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴(如下图所 示).正解 如右图，按切线的定义，当Ax-时割线PQ的极限位置为y轴(此时斜率不 存在)，因此，过点P的切线方程为x=0.考点演练10.已知函数f(x)=2x3+ax-g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.解析：f(x)过点(2,0),f(2)=2x2+ax2=0，解得&=-8,同理,g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率 k=P(2)=6x228=16又g，(x)=2bx,/.2b x 2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.c11.设函数 f(X)满足 af(x)+bf =一,a,b,c 为常数，|a|w|b|,求 f，y X y X(x)、f 1A c 1解析：将af(x)+bf=中的x换成一,VxJ x x(1 A 1 r A可得 af(x)+bf-=cx5/./(1)=X_/(X)xj x a abe b?c将其代入已知条件中得af(x)+x-f(x-d d Xc a r/yf(x 尸=F(-bx),f(x)=-Da-Z2 x a-Z?2 厂12.(2 0 0 8亍夏)设函教=ax-(a,b C Z),曲线y=f(x)在 点(2,f(2)处的切线方程为y=3.x+b求f(x)的解析式；(2)证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对 称中心；(3)证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=l和直线y=x所 围三角形面积为定值，并求出此定值.解析：(1)fz(x)=a-1x+/?)2于是2a+-=32y，解得(2-二 0(2+b)I或0,那么f(x)在该区间上是一增函数：如果f，(x)0,那么f(x)在该区间上是减函数.2.函数的极值与最大值(1)如果在x0附近的左侧f，(x)上0,右侧f，(x)j0,且f，(x0)=0那 0,求f(x)的单调递增区间.M*.*f(x)=ex-ax-l,(x)=ex-a.令f，(x)0,得 a,当a40时，有户G)0在1(上恒成立；当a 0时，有xIn a.综上，当a40时，f(x)的单调增区间为(-8,+8)；当a0时，f(x)的单调增区间为In a,+8).学后反思 求函数的单调区间，就是解V&)0或(x)-ex(x+2)(x-l)故当x (一8,-2)U(1,+8)时,f，(x)0.从而f(x)在(-8,一2),(1,+8)上单调递减，在(-2,1)上单调递增题型二 已知函数的单调性求参数范围【例2】已知函数f(x)=x3-axT.若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的 取值范围；若不存在，请说明理由.分析 函数的增区间是f，(x)0恒成立的区间，函数的减区间是 f，(x)40恒成立的区间(导数值为零的点为有限个).解(1)由已知f，(x)=3x2-a,f(x)在(-8,+8)上是单调增函数，T(x)=3x2-a0在(-8,+8)上恒成立，即a43x2对x R恒成立./3x20,只需0.(2)由 f，(x)=3x2-a 3x2在x(-1,1)上恒成立.3丫23,.只需a3./V当a3时，f，(x)=3x2-a在x (-1,1)上恒有f，(x)3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.学后反思关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来 研究，如a f(x)(x D)得a f(x)max(x D);a f(x)(x C D)得a f(x)6由(x C D).这种转化思想很重要，要注意掌握.举一反三2.已次口函数 f(x)=x3+(l-a)x2-a(a+2)x+b(a,b e R)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.解析：(1)由题意得f，(x)=3x2+2(l-a)x-a(a+2)f f(O)=b=O,“由1f(0)=-a(a+2)=-3，解仔b=0,a=-3或a=l.(2)函数f(x)在区间不单调，等价于导函数f，(x)在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f，(x)在上存在零点，根据零点存在定理，有广(1)0,即3+2(l-a)-a(a+2)3-2(l-a)-a(a+2)0,整理得(a+5)(a+l)(a-l)2 0,解得-5 a 0.故f(x)在(-8,-1 和1,+8)上是增函数.10,若x-1,1,则(x)0,故f(x)在-1,1 上是减函数12,所以f(-1)=2是极大值，f=-2是极小值.14，学后反思 注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的 应用.举反三4.已知函数f(x尸x?-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=l,求函数f(x)的极值；(2)若a：，且当xC 1,4a时，|f，(x)|412a恒成立，试确定a的取值范围.解析(1)当a=l时，对函数f(x)求导数，得*(x)=3x2-6x-9令f，(x)=0,解得事=-1不2=3列表讨论f(x),f，(x)的变化情况：X(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+)f，(x)+00+f(x)/大6 极值X极小值-26/所以，f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f=-26.(2)f，(x)=3%2-6ax-9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.1若则f，(x)在1,4a上是增函数，从而f，(x)在1,4a上的最小值是V=3-6a-9a2,最大值是f，(4a)=15a+由 If，(x)|412a,得-12a4346办9片4,于是有=3-6a*(4a)=15a2 l,则 f，(a)=i2/12a,故当 x 1,4a时，f，(x)412a 不恒成立.fl 4所以使I f，(x)|0,即3x2-2ax-3)0在1,+8)上恒成立，则必有士胃3-2x人 x2 1 2%2+2 卜一工、令g(x)=-一,/-z 恒成工2x(2x)/.g(x)为增函数，当x=l时，g(x)取最小值0,色40,即a40.311.(2008四川改编)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10 x的一个极值点.()3(2)求卤数f(x)的单调区间.解析：;a=16.f(x)=a1+x+2x-10,.f(3)=|+6-10=0(2)由(1)知)f(x)=16 In(1+x)+x2-10 x(x -1)9;.f 0;当xG(1,3)时，fz(x)0),求a的取值范围,使函数f(x)在区间0,+8)上是单调函数.1 _j_/解析：fZ(x)=5(X?+1)2；因为，所以y(1)当时，(x)=j-恒成立,“+1所以f(x)在区间0,+8)上是减函数.(2)当 时，由f，(x)0 x 0得x J-2,/a、，所以f（x）在（7井，十）上是单调递增函数.综上所述，当且仅当a l时，f（x）在区间0,+8）上是单调函数第三节导数的应用(II)基础梳理1.一般地，求函数y=f(x)在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下:(1);(2)2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些 问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是 求函数最大(小)值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意 导数在这两方面的应用.典例分析题型一求函数的最值【例1】已知函数f(x)=x2ex,求函数在-1,1 上的最值.分析 通过求导，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较,找到最值.解V f(x)=x2ex,f(x)=2 xex+x2ex=ex(2x+x2).4f(x)=0,#ex(2x+x2)=0,.x=0 或 x=-2(舍去).Vf(0)=0,f(-1)=e-1=-,f=e,f(x)max=f(1)=e,f(x)：对(0)=0.学后反思 求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小 值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.举一反三21.(2008广东)已知a为实数，函数f(x)=(x+l)(x+a).若f，(-1)=0,求函数y=f(x)在 ji上的最大值和最小值.解析：f，(x)=3 x2+2ax+l.,f(-1)=0,/.3-2a+l=0,即a=2,7.f，(x)=3x*4x+l=3(x+：(x+1).由f，(x)0,得xT或x-；;由 f，(x)0,得3Q q i因此，函数f(x)的单调递皤区间为-5，t,T，1,单调递减区 间为卜，f(x)在x=T处取得极大值f(-1)=2,在x=处取得极小值f(二)=笆 3I 3 27,R 12 50 13又f。)=百，f=6,且万，f(x)在卜川上的最大值为f=6,最小值为f(-|)=.题型二导数在实际问题中的应用【例2】用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先 在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90。角，再焊接而成（如图）.问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多 少？分析引进变量建立目标函数，利用导数求最值.设容器的高为x cm,容器的容积为V(x)cm3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320 x(0 x24).Vf(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).令 Vx)=O,得x二10*=36(舍去).当0 x 0,那么V(x)为增函数；当10 x24时,V(x)10）层，则每平方米的平均建筑费用 为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用=建筑总面积）解析：设楼房每平方米的平均综余常用为y元，依题意得y=（560+48x）尢？6Oxioooo=560+48x+1。,x N*）,则y，=48-徵7=0,即48-噢=0,解得x=15,当x15 时，声 0;当 0 x 15 时,9 0,因此,当x=15时,y取得最小值,ymin=2 0 0 0.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 15层.题型三 求单调区间与解含参不等式【例3】(2008全国)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(aR),试讨论f(x)的单 调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.解f(x)=3x2+2ax+1，判别式 A=4a2-12,(1)当A。,即a3或a 0,f(x)是增函数.33-a-(2)当A0,即-衣a 0,故当a二土 穴Qf(x)在R上是增函数.学后反思分类讨论是数学上一类重要思想.对含参数的函数求单调区间时，求导 后仍含有参数，可转化为解含参数的不等式问题,解含参数的不等式常 通过讨论来完成.还要注意，在讨论时各种情况要考虑全面，如本题易遗 漏=(),即a=土石的情况.举一反三3.(2009天津改编)设函数f(x)=-，+白(苏-1卜(xCR),其中m 0.求函数的单调区间与极值.解析：fz(x)=-%2+2x+m2-l,(x)=0,得xi=l-m,X2=l+m,因为m0,所以 1+m 1-m.当x变化时，f(x),fz(x)的变化情况如下表：X(-8,1-m)1-m(l-mj+m)1+m(1+m,+0)f(x)0+0f(x)极小值/极大值f(x)在(-oo,1-m)和(1+m,+8)上为减函数，在(1-m,1+m)上为增函数.函数f(x)在x=l+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=(2*1)；函数f(x)在x=l-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=-1(rn-l)(2m+i).题型四 导数与不等式的证明例4(14分)已知定义在正实数集上的f(x)=-x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a 0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x 0).分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，找出a与b的关系.(2)可转化为研究函数F(x)=f(x)-g(x),只要证明F(xR0(x 0)即可.解设y=f(x)与y=g(x)(x 0)在公共点(x。)处的切线相同.1q分2f(x)=x+2a,gf(x)=4)题意知f(Xo)=g(X0)7(Xo)=g1Xo),X即Xq+2ax0=3a21n x0+b,x0+za=-xod)x0+2a=3a，得x0=a 或 x0=-3a(舍去).。s即有b=ai 2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a.42 2令h=-t2-3t2ln t(t0),则 ht)=2t(1-3ln t).21故当t(1-3lnt)0,即0 t/时，h0;.5i当 t(1-3lnt)0),.9贝I、c 3a2(x-a)(x+3a)z 八、FOO=x+2a-(x 0).X X故F(x)在(0,a)上为减函数，在(a,+8)上为增函数.1V于是 F(x)在(0,+8)上的最小值是 F(a 尸 F(Xo)=f(Xo)-g(Xo)=O.131故当x0时,有f(x)-g(x)NO,即当x 0时，f(x)Ng(x).14,学后反思采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，也是证 明不等式的常用技巧.若证明f(x)g(x),x(a,b),可以等价转化为证明 f(x)-g(x)0.如果f(x)-g(x)f 0,说明函数f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数,如果f(a)-g(aRO,由增函数的定义可知，当x(a,b)时，f(x)-g(x)0,即 f(x)g(x).举一反三4.已知函数f(x)=+ln x，求证:当xN1时，对任意的正整数n,总有 f(x)1,对任意正整数n,恒有丁故只需证明1+lnxx.令h(x)=1+ln x-x,x Jl.当初1时，hx)WO,故h(x)在1,+刃上递日,即h(x)h(1)=1+ln 1-1=0,/.1+ln x-xWO,即 1+ln xx,/.f(x)x.考点演练10.(2010绵阳诊断考试)已知(*)=13+111工2_乂+2(011(),如果函数的单调减区间恰为卜求函数f(x)的解析式.2解析：f，(x)=3x+2mx-l.(xf，2(x)=3x2+2mx-l0的解集为7.3 x+2mxT=0的两才艮分另1为一工,1,将x=l或-;代入方程3 f+Zmx-O得m=-l,3 2/.f(x)=x-x-x+2.111.(20 10南昌模拟)已知函数f(x)=2%-alnx(x 6 R).(1)若函数f(x)在(l,+8)上为增函数，求a的取值范围;(2)讨论方程f(x)=0的解的个数，并说明理由.解析：若函数f(x)在(1,+8)上恒成立，则f，(x)=x-20在(1,+8)上恒成立，即 f在(1,+8)上恒成立，所以有a41.(2)当a=0时，f(x)在定义域(0,+8)上恒大于0,此时方程无解；当a 0在(0,+8)上恒成立，所以f(x)在定义域(0,+8)上为增函数.x 2 f=:o,f(一)=%所必方的唯一解.当 a0时，广(x)=%“X+甸(甸XX X因为当xC(0,而时，f，(x)0,f(x)在(诉，+8)内为串函数.所以当x=a时有极小值，甲为最小值f(V)=a-alnVa=-a(1-ln a).当aC(0,e)时，f=(lTna)=0,此方程无解.当a=e时,f(布)=5 a(ITnp)=0,此方程有唯一解x=&,当a C(e,+8)时，f Ja)=-a(1-ln a)0且1后，所以方程f(x)=0在区间(0,G)上有唯一解，2因为当 x l 时，(x-lnx),0,所以 xTnxl,1所以x Inx,f(x)=-r2-aIn x -x2_ax,因为 2a 1,所以f(x)；(2 可为2=0,2、2所以方程f(x)=0在区间代，+8)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+8)上有两解.综上所述，当a0,e)时，方程无解；当a e时，方程有两解.12.(2008天津)已知 f(x)=x+?+b(xwO),其中 a,bR.若曲线y=F(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y=3x+l,求 f(x)的解析式；(2)讨论f(x)的串调性；(3)若对任意a 匏，不等式f(x)410在匕上恒成立，求b 的取值范围.解析：f/(x)=l-1，.f(2)=3,7.a=-8,由切点P(2,f(2)在y=3x+l上,可得b=9,f(x)的解析式为 f(x)=x-1+9.(2)f，(x)=1-2，当 a40时，显然f，(x)0(x 0),这时f(x)在(-8,0),(08s)上是增函数.当a 0时，由f，(x)=0,得x=a.当X变化时，f/（X）变化情况是X卜叫(o,G)4a(a+OC)f，（X）+00+f（X）在（-8,_而），（&,+8）上是增函数，在（-布,0）,（0,血）上是减函数.(3)由知,f(x)在上的最大单为f(5)与f中的较大者.对任意的a虫，不等式f(x)10在刊上恒成立，当且仅当,1、2/110 后至-4,1 4/(1)10 即b9-a、1:对任意的西仁刃成立，从而得b4I.(丁所以满足索件的b的取值范围是卜sq.第四节定积分与微积分基本定理基础梳理1.定积分的概念(1)定积分的定义和相关概念一般地，设函数f(x)在区间a,b上有定义，将区间a,b等分 成n个小区间，每个小区间长度为Ax(Ax：*),在每个小区间上 取一点，依次为XI,X2,，Xi,，Xn.作和 HSn=f(xi)x+f(X2)x+.+f(xi)Ax+.+f(xn)Ax,如果 Ax无限趋近于0(即n趋向于+8)时，Sn无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数 f(x)在区间a,b上的定积分，记为S=(x)dg在 1f(x)dx中，弛令别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫 做积分区间.(2)定积分的几何意义若f(x)在区间a,b上连续且恒有f(x)0,则定积分f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a wb),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积.2.微积分基本定理对h被积函数f(X),如果F，(x)=f(x),则f(x)dx=F-F(a),这个结论叫做微积分基本定理，又叫 做车顿莱布尼茨公式.b为了方便，常把F(b)-F(a)记成F(x)，即f(x)dx=F(x=F(b)-F(a).典例分析题型一求定积分【例1】求下列定积分.2 2(1)(x+2x+l)dx;(2)J。(sin x-cos x)dx;(3)1”一白口 dx.A J分析 根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的原 函数，利用微积分基本公式求值.n2 2 2 2 2 丫 2 2 2 2 1922+x1(sin x-co s x)=sin xdx-cosxdx-(-co sx)71 71-sinx=2+2 19x-x2+-ix2(1 1dx+dx=ily 2 2 3 7 5工-Inx=-+ln2=ln2-3 1 1 2 3 60 0l+x21 3212 X2X221学后反思（1）求函数f（X）在某个区间上的定积分，关键是求函数 f（X）的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运 算的关系.（2）求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，即L f 1（X）土 f2（X）.fn（X）dx=If 1（x）dx If2（x）dx .Lfn（x）dx.卡数因子提到积分符号外边，即Lkf(x)dx=k ff(x)dx.当积分上限下限交换时，积分值一定要反号，即 f f(x)dx=-f f(x)dx.率分的可加性，若c 6 a,b,则有 Lf(x)dx=f(x)dx+f f(x)dx.举一反三1.求下列定积分.(1)J。x(x+1)dx;j/+|dx.禽式=J&+X)dx=於 dx+r 2JoXdX(2)原式=I法+,人=：/、X/I4-e2+ln2 221212题型二 求分段函数的定积分【例2】求定积分13-2x1 dx.分析利用定积分的可加性通过讨论x的取值范围去掉绝 对值符号，再求函数的定积分2-解3 ll3-2x|dx=Pl 3-2x|dx+J；|3-2x|dx=(2(3-2x)dx+L(2x-3)dx 2?A 2 n 2 1=(3x-x)I；+(x-3x)|=5.学后四思 如果被积函数，是绝对值函数，可以利用定积分性 质J：f(x)dx=f(x)dx+ff(x)dx,根据函数的定义域，将积 分区间分成若干部分，代入相应解析式，分别求出积分值，相加即可.举一反三2.求下列定积分.若f(x)=-2(x 0)Vos x-l(x0),求 j；f(x)dx;f 3 2|x-4|dx.解析：o-2%71j2f(x)dx=1Y210+sin x 1万 x 1=-+1=3%Ll 3 b l0 Io 3 2 3 2,fj x-4|dx=f(4-x)dx+(x4)dx=(4x-1x3)I：+(卜-4 x)/1-1dx+-x(cos x-1)dx71 423332 3题型三 定积分的几何意义【例3利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区 域的面积.(1)y=0,y=4,x=2;(2)y=x-2,x=y.分析 先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运 用牛顿莱布尼兹公式计算.解(1)曲线所典成的区域如图1所示.设此面积为S,则S=Jj(E o)dx=.o 4dx=*j.(2)力法一：曲线所围成的平面区域如图2所示.S=Si+S2,Si由,y=_q,x=l 围成;S2由y=6,y=x-2,x=l和x=4 围成.Si：4-(韶)dx=2/dx,82=j：际一(x-2)dx=J：0-x+2)dx,S=J；l/x dx+G-x+2)dx=2 Jx dx+的 dx-f xdx+2dx_ 2 21 2J124 1 24J1 4-2 X 丫2 -V-2 Y+2x 3人0 3人1 2人1 12 2 2 2 )dy=2xyy 1J-l z 1 1 J 1c 1 一 8 1 92-f4+2-=一2 3 3 2学后反思 用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知 曲线所围成的区域，由区域”形状选择积分函数，再确定积 分上、下限，当计算公式S=f|f(x)-g(x)|dx中的f(X)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算，或换积分变量，这样就不 用分块计算求和.举一反三3.求正弦函数y=sin x与直线x=p直线x=f及X轴所围成图形的面积.解析：围成图彩如图所示./TCS=J工4sin xdx-3sin xdx4 J万万 加 3+72=-COS X 兀+COS X 3=-乃 24题型四 定积分的物理应用【例4】列车以速度为72 km/h行驶，当制动时，列车获得加 速度为a=-0.4 ni/,问：列车应在进站前多少秒的时候，以 及离车站多远处开始制动？分析因列车停在车站时，速度为0,故应先求出速度的表达 式，之后令v=0,求出t;再根据V和t应用定积分求出路程.解 72 km/h=72 0003 600 m/s=20 m/s.设列车开始制动到t秒后的速度为V,贝v=V 0+adt=20-0.4dt=20-0.41,令v=0,得t=50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是S,则 f50 p50/、/、s=fovdt=(20-0.4t)dt=50 0(m),所以列车应在进站前50 s,以及离车站500 m处开始制动.学后反思 作匀变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路 程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上 的积分来求解.因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要 求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段 上的定积分即可，即物体作变速直线运动的路程s,等于其速度 函数v=v(t)v(t)0在时间区间a,b上的定积分v(t)dt.另夕卜,物体作变速直线运被的速度v等于加速度函数a=a(t)在时 间区间a,b上的定积分f a(t)dt.举一反三4.设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=l运动到2x=105已知F(x)=x+l且和x轴正向相同,求力F(x)对质点M所 做的功.2解析：变力F(x)=x+1使质点M沿x轴正向从x=l运动到 x=10所做的功为2W=/F(x)dx=(x+1)dx=fl+xl10=342.13 7 1题型五 定积分的综合应用2 2【例5】(14分)如图所示，已知曲线Ci:y=x与曲线C2:y=-x+2ax(a1)交于0、A,直线x=t(0 t41)与曲线Ci、C2分别相交于D、B,连接0 D、DA、AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S=f(t);求函数S=f(t)在区间(0,1 上的最大值.分析(1)曲边四边形分为4ABD和曲边三角形ODB,求出A、B、D三点的坐标，可求面积.(2)可利用导数求最大值.2解(1)由旷X,y=-d+2ax,解得,x=0,f x=a,2ly=0 t y=Q,.2,.0(0,0),A(a,/).又由已知得B(t,-+2at),D(t,力，.3,S=(-%1 2+2ax)dx-121 x t2+(-t+2a t-/2),(a-t)1 3 21 1 3 2、=Jo/+(_/+at)(a-t)1 3 2 1 3 3c 2 2一 t+CLt+t 1Clt+Clt J 乙1 3 2 25Za?S=f(t)=1 at+at(0 t 1).1 2 2(2)f(t)=万，2at+.1 O 2令f，(t)=0,即322at+Q=0,解得t=(2-a最 t=(2+72)a.*/0 t 1,t=(2+V2)a应舍去.T若(20)a1,即时，V O t0,在区间(0,1上单调递增,f(t)的最大值是f(l)=/-a+1.9,若(23)a 1,即 la一时，当0 t 0;当(23)a 时，f，(t)0.在区间(0,(2-0)a上单调递增,在区间(2F)a,l上单调递减.f(t)的最大停是f(2-a)=(2-也卜2 拒-2 3二-Q综上所述)f(t)max=(12z2 1a-a+-92V2-2 3-a，、2+6 a21 a2+/2 2.14,3a2(2-V5)”+/(2 一a3学后反思 应用导数与积分求面积的最值，其基本思路是：(1)将面积表示成某个变量的函数，若阴影部分的边界不同，可分不同情况求解；或换用其他积分变量，不用分块求.(2)利用求最值的方法求解，在证明两部分的面积相等时，如果 用常规方法不易求出，可应用定积分求曲边梯形的面积.举一反三5.已知二次函数f(x)=slx2+bx+c,直线li：y=-f+8t(0 t 2,t为 常数)，12：x=2.若直线li,I2与函数f(x)的图象以及li,y轴与函数f(X)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.(1)求a,b,c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;(3)若g(x)=61n x+叫问：是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若 不存在，说明理由.解析：由图形知，c=0,4。a x 82+b x 8+c=0,解得/a=-l?4数一=16,b=8,(c=0,函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x.(2)由(y=-f+8t,I y=-x?+8x,得%2-8x-t(t-8)=05/.xi=t,X2=8-t.*/0 t 0,小(X)是增函数;当x(1,3)时，巾，(x)0,巾(x)是减函数；当xC(3,+8)时,小，(x)0,.,.6(x)是增函数；当 x=l或x=3时，()f(x)=0.巾(x)的极大值为0(l)=m-7;4)(x)的极小值为巾(3)=m+61n 3-15.又当x无限趋近于零时，巾(x)0.要说明小(x)=0有且仅有两个不同的正