高考数学一轮复习《学案与测评》课件：第5单元 基本初等函数（Ⅱ）.pdf

第五单元基本初等函数（II）知识体系角的概念推广三角函数角度制与弧度制任意角的概念同角三角函数关系已知三角函数值求角单位圆与三角函数线两角和与差的三角函数三角恒等变换 倍角、半角公式积化和差与和差化积解三角形应用第一节任意角与弧度制及任意角的三角函数基础梳理1.弧度制弧AB的长=半径n NAOB=1弧员2兀 r a d=360,1 r a d 5718=57.30 b扇形半径为r,圆心角的弧度数展o c,(则这个扇形的弧长1=1 a I r,面积S=：y I a|r2,k 7周长=|o c|r+2r.,2.角的概念的推广任意角的定义角可以看成平面内一条射绘着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫做；按顺时针方向旋转形成的角叫做;一条射线没有作任何旋转形成的角叫做.当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的非京半轴重合,那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几所有与南o c终边相同的角，连同角a在内，构成角的集合是3.任意角的三角函数设o t是一个任意角，a的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r(1寸耳7),那么sin a=,c o s a=t a n a=(x w O).4.单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.a n a t=a s o ca n s5.三角函数值在各象限的符号IIIIIIIVsina+c o s a+t a n a+典例分析题型一象限角问题【例1】若鼠是第二象限的角，则最是第几象限的角？上是第几象限 的角？2 a是第几象限的角？分析 由于。是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出o t的范围，进而求得色，色，2a的范围，判定其所在的象限.2 3解 由鼠是第二象限的角得上360。+90。a k-360+180(k Z)./、a(l)k 480+45 y k 480+90(k E Z)a当k=2n(nE Z)时，n360。+45 y n-360+90(nGZ),则区是第一象限角；2a当 k=2n+l(n Z)时，n-360+225 y n-360+270(nCZ),a则不是第三象限角.综合、可知，三是第一或第三象限角.(2)-360+30 -360+60(k EZ)3 3 3当k=3n(nZ时)，n360。+30 4n360。+60(nZ),3则(是第一象限角；当k=3n+l(n E Z)时，n360。+150 n-360+180 3(nZ),则是第二象限角；a当k=3n+2(n Z)时，n-360+270 y n-360+300(nZ),则三是第四象限角.a综合、可知，h是第一、第二或第四象限角.(3)2k-360+180 2 a 2k-360+360(k CZ).故20c是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.a a学后反思 知道o c所在的象限，则5,w所在的象限也可 由象限等分法得到改下面以万为例说明.如图所示，将每一个 象限二等分(若是H则三等务，,)从乂轴正向起按逆时 针方向在各等分区域标上数字1,2,3,4,1,2,3,4;若a是第一象限角，则5在标有数字1的区域内;若a是第二象限角，则段在标有数字2的区域内，建外以此类推，则很容易确定所在的象限.举一反三SH1 一1.设e为第三象限角，试判断T的符号.cos 解析：:e 为第三象限角，.-k n+TT 0 2k 7T+f(k Z),k 7T+|-k 7T+(k E Z).当 k=2n(n Z)时,2n?T+y 0,c o s y 0,/.=0;乙 N Czcos 一2当 k=2n+l(nZ)时，Z3 3(2n+l)7T+7 y (2n+l)tt+(n Z),乙 乙 d即2n y r+与 5 2n Ji+(n C Z),此时在第四象限,2 4.0 2sm q g 2s in y 05/.0 0.2 2 c o s.0 2,、x 一,sm 一 八综上可知：1 0),当a为多少弧度时，该扇 形有最大面积？解析：(1)设弧长为1,弓形面积为s弓，扇形面积为S扇a=60=y,r=10,1号 兀(c m),Q Q 1 10 1 TC弓=)扇一S4=7 x-y 兀 X 10彳 X102 X sir=504-与)函).J 乙方法一：丁扇形周长C=2r+l=2t+o c r,7.r=-2+a.C _ 1 2_1 z C V_C2 1 42.D扇 av a（-）oc x-,2 2 12+/2 4+16a当且仅当o c=%即o c=2（o c=-2舍去）时,扇形面积有最大值.a方法二：由已知2r+l=C,.=三（1C）,2.S=?4（a）C当1=5时，取专，此时a=：-2_ _ 2C 一乙C-上22二当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.题型三 利用三角函数的定义求三角函数值【例3】(12分)已知角o t的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求sin o t、c o s o t、t a n ot 的值.分析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.角单 r=+(34)2=5 I a I.2，若a0,t=5a,ot 角在第二象限，sin 0c=：=|=|，x-4a 4 v qc o s oc=，t a n oc=2二二;.6Zr 5a 5 x-Aa 4 若a 0,r=-5a,a角在第四象限,.8,3 4.3s m a=-t 9 c o s a=-,t a n a=-.12z5 5 4学后反思(1)当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据 问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.(2)熟记几组常用的勾股数组，如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解 题带来很多方便.(3)若角o t已经给定，不论点P选择在a的终边上的什么位置，角o t的 三角函数值都是确定的；另一方面，如果角a终边上一点坐标已经确定,那么根据三角函数定义，角a的三角函数值也都是确定的.举一反三3.已知角o c的终边过点P(-4m,3m)(mw 0),则2sin a+c o s o c的值为()22A.1或T B.或-3C.1 或-。D.解析：当m0时，点P在第二象限，|0P|=5m,-c,6m-4m 2有2sin a+c o s a=+=二；5m 5m 5当m V；(2)c o s a 0,c o s x y.如图1,在单位圆中，利用三角函数线可求得x的范围为:2k 7T-,2k 7T+f(k Z).图1图2(2)3-4 sin2x o,.*.sin2x|,；.-与 s in X y-,如图 2,由单位圆及三角函数线，得x (k TT-?,k 7T+?)(k Z).易错警示【例】已知兀a+6/，一兀0一6一?，则2c x-p的取.3 值汜围为.47r错解由 3 C 兀-n a-5+得0 a T,所以一-a 0,0 2 a y r.由+得-半-|3-1,由+得Y 2a-p.错解分析 上述解题过程分别求出0、B的范围所采用的做法 是不等价的，扩大了范围.正解 设2o cp=A(o c+6)+B(a6)(A,B为待定系数)，则 2o t|3=(A+B)a+(A-B)|3.f A+B-2 4=对应两边系数得空常二；解得 1 3 2所以 2 a-P=y(a+p)+y(a-p).又 f*o c+|3),，-弓|(a-B)后,式所以一兀 2 a-P 7.考点演练10.半径为4的扇形，如果它的周长等于它所在圆的周长的一 半，则该扇形的面积为.解析：设扇形的圆心角为鼠，则有8+4鼠=4兀，所以a=兀-2,、1.于是该扇形的面积为不口 口，二航-16答案：8 7T-16311.已知角OC的终边在直线y=3x上,求10sino+-的值.c o s oc解析:如图，(1)当角o t终边在第二象限时,取终边上一点(-1,3),此时，x=-l,y=3,r=710，.3 3a/w 1sm a=7=-.c o s a-=Vw 10 V103l Osina n-=0l o-c o s a（2）当角o c终边在第四象限时，取点（1,-3）,此时x=l,y=-3，t=而，.3smc r=3M-.c o s a=-10 10310 sin a+-=0c o s a、3综上Os in-=0c o s a12.如图，动点P、（从点八（4,0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转工弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转一弧度，求P、3 6Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P、Q各自走过的弧长.解析：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t,则出,所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒.设3 I饵第一次相遇点为3第一次相遇时点P已运动到终边在工口 的位3 3置，则 =一 COS（口,y c=_sin出口 厂所以点c的坐标为（一2,-23）,点P走过的弧长为8口 1A，点Q走过的弧长沟.3 3 3第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：；商数关系：一2.诱导公式X三角函类a+k D7i+a一 a7T-a71|-a 271-Cl2s inc o st a n即o t+k*2兀（k Z）,-o t,?!o t的三角函数值，等于a的函数值，前面加上一个把鼠看成，时原函数值TT的符号；o c的正弦（余弦）函数值,分别等于oc的，函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.4.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值,见值知角”角a030456090120150180270角虱的 弧度数71 T71763兀 2sin ac o s at a n a典例分析题型一同角三角函数关系的应用（一）8【例 1】已知c o s o c=-五，则sin o c=9 t a n o c=.分析 由c o s a求s in a时,可利用公式sin2 a+c o s2 a=1.同时要注意象限的划分.Q解.COS鼠=行 0,t a n a 0,./-;-L（8丫 is sin。15.sin a=a/1-cos a=4=行,t a n a=-=-;COS OC o若鼠是第三象限角，贝sin a 0,_ _ _ 15 sin a _ 157sin a=-vl-c o s2a=一万 5 t a n a=c o sc r学后反思(1)掌握常用的勾股数组：(3,4,5);(5,12,13);(8,15,17).要根据问题的需要对公式sin20+c o s2 a=1进行变形及“1”的 代换,Ifn2a=l-c o s2a 90s2a=l-sin2a sjn2a+c o s2a=1 若已知正弦、余弦或正切中的某一个三角函数值，但没有指 定角所在象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分 别进行讨论和运算，做到不重不漏.举一反三一，t ana.】k-，一1.已知高戊-1=T，求下列各式的值./i x sin a-3 c o s a(1)-；sm a+c o s a(2)sin2 a+sin a c o s a+2.解析：由已知得t a n a=1.1-3(D sin a-3 c o s a _ t a n a-3 _ 2 _ 5sin a+c o s a t a n a+1，+3(2)sin2 a+sina c osa+2=sin2 a+sina c osa+2(sin2 a+c os2 a_ 3sin2 a+sina c osa+2cos2 a _ 3 t a n2 a+t a na+2 sin2 a+c o s2 a t a n2 a+11YX a+113T题型二同角三角函数关系的应用（二）c.1【例2】已知一*/111乂+8$乂=不.求$111 x-c o s X的值.分析 将已知条件平方得出sin x c o s x，再根据sin x-c o s x与sin x c o s x的 关系求解.解 分母切化弦，分子用二倍角的正弦公式化为含单角X的正弦、余弦，代人已知条件求值.由sin2 x+2sin x c o s x+c o s2x 二125.1sm x+c o s x=5，平方，得即2sin x c o s x=2425/.(sinx-c o s x)2二1 一 2sin x c o s x 二492571又f x 09 sin x 09 sin x-c o s x 05.,.sin x-c o s x=-.7学后反思 如果已知 sin a+c o s a,s in a c o s a,s in a-c o s ot 中的一个，完全可通过列方程（组）求出另外两个值.这里sin a c o s o c是 纽带，它把另外两个联系起来。举一反三2.已知 sinO+c o s。=!，e C（0,兀）.求值：5（1）t a n 0;（2）sin 0-c o s 0;sin30+c o s30i 12解析：.sine+c o se=,e （0,兀），平方得,sin 0 c o s 0=-7-0,c o s 0 c o s A+c o s B+c o s C.71证明：a ABC是锐角三角形，/.A+B y,即 y Ay-B0,z 71、一sin A sin(,-B),即sin A c o s B;同理sin B c o s C,sin C c o s A,.sin A+s in B+s in C c o s A+c o s B+c o s C.易错警示【例】已知直线i的倾斜角是e,且sin e=1,则直线1的斜率k等于_.错解 因为直线1的倾斜角是6,又因为sin 6=sin26+c o s26=l,所以COS e=Jl-sin2”图于是1的斜率错解分析 在解答本题时，考生很容多因忽视倾斜角的取值范围，不 注意对0进行分类讨论，而只得到k=ii的错误结果.因此在解决此类问 题时，一定要养成全面考虑、分析问题的习惯.正解 因为直线1的倾斜角是6,所以e e o,兀）.又因为s in e=A,sir?e+c o s?6=1,所以c o s 6=于是1的斜率k=小=3c o s9 12r 51310.下列三角函数中，47r(7T Asin(n+)9n g Z+;(2)cos 2nd)3 I 6 Jn g Z+;c o s(2n+l)/r-.,n e Z+;sin(2n+l)71 再+.71与s i 数值相同的是解析:sin(n;r+-y-)=-sin工（n为偶数），3 则不是;sin?（n为奇数），原式=c o s（：）=c o s：，则不是；6 6由诱导公式可求得与s inZ数值相同的是.3答案：11.in(a-7T)=2c o s(2 7T-a),s in(-a)+5c o s(2-a)的值.3c o s-a)-s in(-a)解析：由 s in（o c 兀）=2c o s（2 兀一鼠）得一sin a=2c o s a 9即t a n o c=-2.所)原式=sin a+5c o s a _ t a n c r+5 _ 3-3c o s a+sin a-3+t a n a 512.在a ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,t a n C=36.求c o s C;(2)若赤.B=二,且a+b=9,求c.2解析：(1)t a n C=377,/.管|二 3又sit?C+c o s?C=1,解得c o s C=1.ot a n C0,NC是锐角，c o s C=1.(2)：cb ca=,/.a bc o sC=/.a b=20.又a+b=9,/+2a b+Z?2=81,a2+Z?2=41,c2=2+2-2a bc o s C=36,c=6.第三节两角和与差的正弦、余弦及正切公式基础梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(加0：c o s(a-|3)=;c(“)：c o s(a+0)=；S(“：sin(a+|3)=;:s in(a-|3)=;%+:t a n(a+|3)=；:t a n(a-|3)=2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 a=C2a:c o s 2 a=T?a，.t a n 2 a=3.形如a s in a+bc o s o t的代数式的化简a s in a+bc o s oc=J/+/s in(oc+0).其中c o s P=,sinP=,t a n 0=,6的终边所在象限由a、b的值来确定.典例分析题型一化简求值【例 1】求2sin 50+sin 10(1+Gt a n 10)-V2sin280 的值.分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的和60。、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外，正切函数化 弦后出现分式，可通过约分去掉非特殊角.解 原式=(2sin 50+sin 10-c o sl 051111V)-72sin8001 cos 10=2(sin 50+2sin 10.”。十丁),也 c os 10cos 10=2 叵sin 50-c o s 10+sin 10-c o s(60-10)=2V2sin(50+10 与=瓜.学后反思 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决 这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去项求值；(3)化分子、分母，使之出现公约数进行约分而求值.举一反三1.求sin 50(1+73 t a n 10)的值.-sin 100解析：原式=sin 50(l+3c o sl 0).cos 10 十 y j bin u.2 sin 40=sm 50-=sin 50,1八。cos 10 c o s 10c os 40 /bin 曾u _ sin 80 _ cos 10 cos 10 题型二 知值求角【例 2】已知 3sin2a+2sin2/=l,3sin 2 cx-2sin 2 0=0,且a、6 都是锐 角，求q+2 6的值.分析(1)欲求角，应先求其某种三角函数值.(2)从已知条件找出角a+2|3的范围，确定其值.解 方法一：由 3sin2 a+2sin2 力=1,得l-Zsin?=Bsin?a,即c o s 2 6=3 sin2a.又由 3s in 2 a-2s in 20=0,得s in 2|3=|s in 2 a./.c o s(a+2 P)=c o s a c o s 2|3-s in a s in 2 P=c o s a-3sin26z-sin a-sin 2 a 2=3 sin2a.eOS a-3c o s o tsin2 a=o.又.o。a 90,0|3 90,.,.0 a+2|3 270.故a+2(3=90。.方法二：由 3sin2 a+2sin2/?=l,得 3 sina=COS 2 0,又由 3sin 2 a-2sin 20=0 得|s in 2 a=sin 2。，得t a n a=c o t 2|3.0。a 90,/.0 2|3 90.c o t（90。a）=c o t 2 0,又0。90-a 90,0 20 90。，a+2 P=90.学后反思解决给值求角问题一般分如下三个步骤:(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角所在的范围；(3)确定所求角的值.举一反三2.已知t a n a=y,t a n 0=；,并且o t、6均为锐角，求o t+20.解析：,t a n o t=gl,t a n P=|.0c x|3/.0a+26 寸.又 t a n6均为锐角，_ 2 t a n/?_ 31-t a n2 p 4/.t a n(a+2 P)=t a n a+t a n 2 1-t a n a t a n 2.Ct+2 6 个.1 3i7 41 1 37 4二L题型三知值求值71【例3】已知0 P y a 兀,且c o s 求c o s(a+P)的值.、1/a、2a-1)=-1,s in(y-|3)=y,分析 要求的是c o s（o t+0）的值，已知条件不能直接利用，观察知 道（鼠-/）-（彳-6）=，这样就可以先求出一的正弦值或余弦值，再通过余弦的二倍角公式将问题解决.解.()p-a tt5/.a-4 E(-,n).2,4又.COS(a-y)=_1 0,乙 4 2,3T-P C(0,f),c o s(-p)=.乙 NJ2 2 2/.c o s|=c o s (o c-?)一(y-p)2 2/=c o s(a-y)c o s(y-P)+s in(a-y)s in(y-|3)=75 875 775 1=,27-27-27*/n 日 2 a+f3 490 COS(a+P)=2cos2-1=-1=i 2 729239729学后反思 三角恒等变换中经常用到角度变换，如：a=(a+|3)-|3=(a-|3)+|3,2a=(a+|3)+(a-p)=(|3+a)-(|3-a),。+|3=2-岁,邛=(我-，)-(7-|3)等，通过这些角的变换实现 乙 乙 L L利用已知条件达到整体求解的目的.如本题中通过字=(a-9)-2 N*-6)实现了问题的转化，考生复习该部分时要注意领会这种思想.举一反三na3.已次口 sin71+a 4sin=16,a G(y,兀)，求sin 4 a.解析：方法一*e s in/71-F OL(4s in=s in71-F CC 4c o s71+a 4na16，s in(+2 a)=；,即c o s 2 a=1.ot (y,tt),2 a (tt,2 tt),sin 2 a=-7i-cos23s in 4 a=2sin 2 a c o s 2o c=一行.方法二：由条件得亏(c o s a+sin a)-7(c o s a-s in a)=-,1.1 1 6即彳(c o s?a-sin2a)=2.c o s 2 a=3.2 0 J由2a E(兀，2兀)得sin 2a=-半，.sin 4a=-乎.题型四实际应用【例4】(12分)已知在 ABC中，t a n A+t a n B+x/3 t a n At a n B,且sin Ac o s A=;试判断此三角形的形状.、一 l./、t a n a+t a n B,分析 提取系数有，与t a n(0C+6)=t a n”佃n/?相联系.1 idn oc idn p解,/sin Ac o s A=|s in 2A=0 A 兀，.2，/.A=30 或600.4,又t a n A+t a n B=-a/3(1-t a n At a n B),t a n a+t a n 1ai厂 J3c B)f/.A+B=120.8,当A=30 时,B=90,t a n B无意义;.10,当A=60。时,B=60,ZkABC为正三角形.12,学后反思 t a n a+t a n P=t a n(a+|3)(1-t a n a t a n p)是 一种常用的变化技巧，应熟记.(2)判断三角形的形状可以借助三角函数值之间的关系，另对 于判断三角形是钝角或锐角三角形时，应利用余弦值或正切值 的正负来判断,尽量不用正弦值来判断.举一反三4.如图所示，A、B是单位圆0上的点，且B 在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，、A点的坐标为|,：J(1)求sinNCOA;(2)求c o sNCOB.,2U0B为正三角形.o(3 4、解析：因为A点的坐标为不 sinZC0A=?.，根据三角函数的定义,因为a AOB为正三角形，所以NAOB=60。.又因为sinNC0A=c o sZC0A=|,所以c o sNC0B=c o s(NC0A+60。)=c o sZC0Ac o s 60-sinZCOAsin 60_ 3 1 4 a/3 3-4a/3 x-x-=-.5 2 5 2 10易错警示【例】若$皿。二;-冈11，=玉-,且0、|3为锐角，求a+|3的值.错解:a、6为锐角，$出0二歹11/=玉-,/.c o s a-A/l-sin22df c os p-Jl-sin22=3,5 V 屈.二 sin（a+尸）=sin a c o s P+c o s a sin 0=又 0 oc -5 0 /3 一,2 2/.0 a+P 7T,/.a+P=45 或 135.错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(o c+|3)=22,0。a+P180,J5 1而得到o c+6=45。或135。，但没注意题设中sin a=士，5 2JQ 1sin/?=-.使得0d+|360。，故上述结论是错误的.实质上本题是由于方法不当导致运算量加大和忽视角的范围限制而致错.我们若取0C+|3的余弦，贝I易求得c o s(o t+0),271又由于0鼠+6兀，故a+p=w这样就避免了上述角的范围的探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数，往往能化繁为简.巾 -2a/5 0 3M正解 由以上求得COS a=y-,c o s=F-,/.c o s(a+P)=c o s a c o s P-sin a sin p_ 2 逐 3 而 a/5 a/10-X-X-5 10 5 10,a、6 为锐角，0 a+|3 7T,a+|3=.考点演练c o s 2a 1+t a n a10.(2009天津和平区模拟)1+Sin2-no的值为解析c o s 2a 1+t a n a1+sin 2a 1-t a n ac o s a-sin a n1-2(sin a+c o s a)1+t a n aCOSO sinT fa n c 1 fa n 0口1-U fa n c sin a+c o s a 1+t a n a 1+t a n a 1-t a n a答案：111.已次口向量 m=(c o s 0,sin 9)和 n=0-sin 0 5 c o s 0),0 (兀,2兀),JL|m+n|=8&,粒,5Z 7)”、U 71OS+【2 8；的值.解析：方法一:(c o s 8 sin 8+收,c o s 0+sin 9)m+n=J c o s。-sin。+=+2a/2(cos 0-sin 0=2Jl+c o s e+由已知 I m+n|得c o s(。+)=.5 4 25又 c o s(8+J=2c o s2 g+：)-L2/8 兀、16COS(+)2 8 25J c 571 0 71 971 2 肛.+8 2 8 80 7l y _(0 71(2 8；(2 8；)=J4+4 c o s 6+(_4-5、2/2 2 4 1 c*c方法二：m+n=(加+)=m+2m0-丫+c o s2 0+2c o s。口)(a/2-sin 6+sin 6 c o s 6=4+22(c o s 0-sin=由已知r(万)_ I 4 JJm+n=-5 付5=8c o s2(ee兀 12 8；c o s+【2 8；455兀。兀 9兀 I 2肛.,8 29兀、/.c o s I(2 8；8 8(0 7l 45.c o s I(2 8；12.(创新题)如图,在平面直角坐标系x Oy中,以Ox轴为始边作两个锐 角a、6，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐 标分别为正、巫.10 5(1)求t a n(a+P)的值；(2)求o c+2 0的值.解析：由已段口得COSd=而，c o s 6=丁0C、6 为锐角，sinc e=Jl cos2asin P=Ji-c o s?夕=乎,.t a na=7,t a n|3=y.D 4(1)t a n(a+P)=t a n a+t a n/3 1-t a n a t a n P7+-_2_=_311 7x 2(2),/t a n2 P=t a n 2/?1-t a n2 B435/.t a n(a+2|3)=t a na+t a n2/?l-t a na-t a n27+43l-7x-3o c、P 为锐角)0oc+2|3上述公式对任意的a、|3都成立.2.公式T(a-/3)是,公式Tg/3)是，它们成立的条件是，k Z.3.在%+0中，令，可得到sin2a=，简记为S2a.在7+0中，令，可得到c o s2o c=-简记为。2a.在+用中，令 可得到t a n2a=简记为七.4.在。2a中考虑sin+COS=l可将C2a变形为22COS 2a=，它同记为C2a 5.在。2a 中令 a=得COS|3=2c o s22 T=1-2sin2,将公式变形2 4可得J=2 26.4的推导方法是S2。与Ga两式相除，其公式为7.升降赛公式主要用于化简、求值和证明，其形式为:升赛公式：l+c o s2 a=;l-c o s2 a=.降赛公式：C0S2 a=cos2 ；sii?a=.典例分析题型-sinx+c o sx,sinx-c o sx,sinx c o sx三者之间的转换问题【例1】已知-x 0,sin x+c o s x=-.2 5求sin x-c o s x的值；zn 七 3sm 2sm cos+cos ,/-t(2)求 2 2 2 2的值.t a n x+cot x分析(sinx-c o sx)2=(sinx+c o sx)2-4sin XCOS X*巴只需求出sin x c o s x即可.解(1)方法一：由sin x+c o s x=1,平方得 sin2 x+2 sin x cos x+c o s2%=，24 2sin x c o s x=-.乙J(sin%-c o sx)2=-2sinx c o sx=,又 x 0,.s inx 0,s inx-c o sx 0,2乂-7故sinx-c o sx=-y.方法二：联立方程 sinx+c o sx=L 5sin2 x+cos2 x=1.由得sinx=：-c o sx,将其代入，整理得25cos2x _5c o sx-12=0,tc o sx=_y 或c o sx=g).3smx=.5-y X =1 2s in XCOS X?(sinx+c o sx)2+(sinx-c o sx)2=2?由此知三者知其一)可求其二，但需注意角X的范围对结果的影响.举一反三1.已次口sin(a-?)=吟，c o s 2 a=(,求sin o t及t a n(a+?).解析：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，sin(o c-g)=4(sinc e-c o s o c)=逑,4 2 1 0sin a-c o s a=5由题设条件，应用二倍角余弦公式得，c o s2 a=c o s2 z-sin2a=(c o s o c-sinc e)(c o s a+s in a)7.7=-y(c o s oc+s in o c)=石,故c o s a+s ina=-5.3 4 3由和得sinc e=y?c o s a=-y5 因此t a no c=-,由两角和的正切公式得，(k、71t a n a A -I 3)1-V3 t a na回Z _ 4石-3 _ 48-25坦I 3君-4+3g 114题型二 三角函数公式的灵活应用【例2】化简下列各式.(1).二-(2)2jsin8+l+J2c o s8+2.sin 1(J usiu分析(1)注意应用公式a sino c+bc o s o c=A/7?sin(o c+0).(2)注意1 士 sin 6,1 士 c o s 9形式的转化.解原式=光黑意产.30 iv-=41-sin 202(2)原式=2，l+2sin4c o s4+J4c o s2 4=2|sin 4+c o s 4|+2|c o s 4|.3又兀 4 -7T,/.sin 4+c o s 4 0,c o s 4 0,原式=-2(sin 4+c o s 4)-2c o s 4=-2sin 4-4c o s 4.学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想,对于一些固定形式则套用相应的公式.举一反三2.化简：（t a n 10-c o s 10sin 50解析：原式=sin 100&111 IV-Y J 1 uk cos 10J bill JUJLLL JU2sin(10-uv7 c-=2.sin 50题型三三角恒等变换中角的拆变兀 3兀 12 3【例3】已当口（丁，且c s（i，）=n，sin（i+，）=不 求sin 2 a 的值.I A J J分析 抓住条件中的角“d-6”、“a+6”与结论中的角20t的关系：（a-6）+（a+|3）=2 a.nr 3tz tc 3解:/7 0a-/3,7i a+/3 7i,1?又 c o s（6Z-）=,sin（6）=-,/.sin（aCOS（a+0=-y,一切鼻/.sin 2a=sin（a+尸）+=sin（cr+万）c o s（a 一6）+c o s（a+夕）sin（cif一/）3 12,4、5 56-X-F（）X-5 13 5 13 65学后反思掌握常用的拆角、拼角关系，如ot=(Q+6)-|3=p-(p-a),a=-(a+p)+(a-p),a-举一反三r 1/、13 n3.已知c o s ot=7,c o s(ot-0)=r,且0。a彳.求t a n2 a的值；(2)求6.兀 I-I f解析：(1)由c o s a=y,0 a y,s ina=vi-c o s2a=Ji-；/.t a n a=smac o sa=x2=4At a n2.=7 12 t a n a1-t a n2 a2x 4指1卜可8a/3 一万乃 才 13(2)由 0 PGe V?得 0鼠一6 5,又c o s(a-P)=s in(a-p)=i-c o s2(-)=吟由 6=oc (a 6)得:c o s P=c o s a-(a-p)=c o s a c o s(a-|3)+s ina s in(a-|3)J1+递x辿,7 14 27 14*/0 p712题型四三角恒等式的证明【例4】(12分)已知t a n(ot+0)=2t a n 0.求证：3sina=sin(a+2 p).分析观察条件与结论间的差异可知：函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同.(2)角的差异是oc+间关系如下：(oc+op QPP；o c,0C+2 6.通过观察可得已知角与未知角之-|3=a;(o c+6)+6=o c+2|3,由“匕可化异为同.证明 由已知t a n(oc+6)=2t a n 6可得，近?+=，sin，,c o s(c r+/?)c o s夕/.s in(a+P)-c o s P=2c o s(a+P)-sin P.4,而 s in(a+2 0)=s in (a+6)+6=s in(a+|3)-c o s P+c o s(a+P)-s in|3=2c o s(a+|3)-s in|3+c o s(a+|3)-s in 0=3c o s(a+|3)-s in 0,.丁又sin a=sin (a+P)-|3=s in(a+P)-c o s|3-c o s(a+P)-s in|3=2c o s(a+|3)-s in|3-c o s(a+|3)-s in|3=c o s(a+|3)-s in P.10,s in(o c+2 6)=3s in a.12z学后反思 分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配 角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的 证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或 变更论证.举一反三4.已知A、B为锐角，求证：A+B=的充要条件是 4(1+t a n A)-(1+t a n B)=2.证明：(充分性):(1+t a n A)(1+t a nB)=2,/.1+(t a nA+t a nB)+t a nAt a n B=2,/.t a n(A+B)(1-t a nAt a nB)=1一t a nAt a nB,t a n(A+B)=1,/0 A 0B-,0 A+B 7T,/.A+B=-.2,2,4兀(必要性).A+B=,/.t a n(A+B)=t a n)g t anA+t anB.七八 目/、，、/x 一、八；-=1,整理付(1+t a nA)(1+t a nB)=2.1-t an A t a n B综上)若A、B为锐角,贝|A+B的充要条件是(1+t a nA),(1+t a nB)=2.4易错警示【例】已知o c,P 0，且t a n oc,t a n|3是方程一+3氐+