高考数学一轮复习备用题第12单元圆锥曲线的概念与几何性质.pdf

第十二单元 圆锥曲线的概念与几何性质12.1椭圆=十=1(0)F1.经过椭圆a b 的左焦点4作倾斜角60为的直线/,直线/与椭圆相交于两点A8,34耳=56则椭圆的离心率1 e=答案：2,.AF=艺,bf=一艺解析：1 a c c o s600 1(2+c c o s600 e-,3A7 5BFrc 1 1 c.2,即 2.2 22.(20 21.宁夏银川模拟)设A,5是椭圆。：土+乙=1长轴的两个端点，若。上存在点 3 m满足NAMB=120。，则加的取值范围是()A.(0,1 B.(0,1 U 3,+o o)C.(0,l U9,+o o)D.9,+o o)答案：C解析：若椭圆焦点在1轴上，即。相3时，则当M位于短轴的端点时，取最大值,要使椭圆上存在点满足NAMB=120。，则此时NAMB 2120。，则NAMO260。，则 tan/AMO=2 tan 60 ,yjm解得0 m3时，则当位于短轴的端点时，取最大值,要使椭圆上存在点满足ZAMB=120。，则此时NAMB2120。，则NAMON60。,则 tan/AMO=tan 60-73,解得m9；综上，根的取值范围是(OH U9+8).故选C.2 23.设外 耳为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若/；为 等腰三角形，则M的坐标为.答案：（3,小）解析：因为尸1，尸2分别是椭圆。的左，右焦点，由M点在第一象限，尸1尸2是等腰三角7 2形，知|尸画|=|尸1尸2|，又由椭圆方程左=1，知|死尸21=8,尸iM+|&M=2x6=12,所以下画|=尸2|=8,所以旧2M|=4.设 M&，y o)(xo O,y o O),则xo+42+y o=64,xo-42+y o=16,解得xo=3,y o=、/B,即(3,15).x24.已知点M他,0）,椭圆w+V=l与直线=心+4）交于点A、B,则 ABM的周长为 答案：8解析：:直线y=4 x+M）过定点N（一0）.而M、N恰为椭圆，+V=1的两个焦点,*由椭圆定义知 ABM的周长为4 61=4 x2=8.5.已知椭圆C的焦点为耳（一10）片，过f2的直线与C交于A,B两点.若 21 J,则C的方程为（）2 2 2 2 2 2 2X 2.-F y 1-1-=1-1-=1-1-=1A.2 B.3 2 c.4 3 d.5 4答案：B解析：连接斗令F2B=m,则”=2班=3租m=由椭圆第一定义知，4根=2，解得：2.故=则点a为椭圆C的上顶点或下顶点.ZOAF2=0 则sm。-1.c o s20=在等腰三角形A中,1-3-。2即2由解得：4=3,=L=2.故选B.2 26.已知经过原点0的直线与椭圆鼻+斗=l（ab 0）相交于M，N两点（M在第二象限）,A,厂分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线破平分线段AN,且IA尸1=4,则该椭圆的方程为（）A,V 1 口 y 2%2 2 x2 y2A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=19 5 36 4 36 32 25 24答案：C解析：由|A分|=4,得a-c=4,设线段AN的中点为尸，M（私几），则N（-私-九），又4。,。），.尸（1,F（a-4,0）f2 2点M、F、P在同I直线上，.必?=kpp,即时4）（.4）化简即可求得=6,二。=2,则。2=602=32.故椭圆方程为+5=1.故选C.36 322 27.（2021.潍坊三模）已知椭圆C：0+4=1（）的左，右焦点分别为1，F2,点A,6在椭圆上，且满足祈 二2耳R,立丽 二0,则椭圆。的离心率为.答案:f解析：设|人司=2机（机0）,因为祈=2耳瓦所以忸片卜机，又因为4耳福=0/大司=2,所以|A|=2 TA司2,2a22又因为忸|=砰+|A用2=02+5疗,且=忸凰+|叫|=2,所以2加+2。百一加2=m+d 4cz+52，所以加+2,J-疗=/4 c2+5m，所以1+4(2 4疗+4m&2 一府=牝2+5病,所以。之=5根2,所以。=加用，又因为2 二 2冽+2，/加2=6m，所以=3根，所以6=.a 3 m 32 28.（2021浙江）已知椭圆=+4=l（b0）,焦点底（c,0）,B（G）（c），若过 a b%的直线和圆+尸=，相切，与椭圆在第一象限交于点尸，且?乙，轴，则 该直线的斜率是,椭圆的离心率是.答案：.史.在5 5IABl 2/八厂厂 2 2/rs in/P6月=sin ZB、4=扁=,tan ZP=-_=-V5所以k=当,由左忻阊=2c=4,所以已闻=券|P用=归局x -=竽 于 2a=|尸司+|尸闾=46,即。=2际,所以e=肩=?.9.（20 21.兰州检测）若直线g+y=4和圆O：/+2=4没有交点，则过点（加，的直线与椭7 2圆点+%1的交点个数为（）A.至多一个 B.2C.1 D.0答案：B_ 4解析：直线mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，:/人 另2,.*.m2+n24.yjm+n y勿2 加2 4 一帆2 工2+w q+4=i一不病2 序即+、2 32 pn _l./己逅 痂啡c _,%+?一方1即宗予6_713，故选C.12.（20 21.广东珠海期末）已知椭圆立=1（480）的右焦点为尸，离心率号，过点尸的直 线/交椭圆于A,5两点，若中点为（1），则直线/的斜率为（）A.2 B.2 C.g D.答案：Dc也解析：因为=2，.*.4 c2=22,.4（a2b2）=2a2,.*.a2=2/?2,设A（xi,y i）,Bg,竺），且|尻底+2资=2。2X1+x2=2,y i+y 2=2,12遥+q2y；=22，相减得按（X1+X2）（X1X2）+2（y i+y 2）（y i-,2）=0,”一丁2 1所以 2人2（兄1一%2）+242（州一y2）=0,所以 ZZ+d Z?2 一&二。，所以 1+2 左=0,左=一2.故选 D.13.（多选题）（2021.青岛质检）已知椭圆C：亍+5=1的左、右两个焦点分别为尸1，尸2,直线y=丘（后0）与C交于A,3两点，轴，垂足为,直线5与C的另一个交点为尸，则 下列结论正确的是（）A.四边形A尸道尸2为平行四边形 B.ZFiPF290C.直线的斜率为/D.S四边形”1研（0，4 答案ABC解析 对A,根据椭圆的对称性可知，OFi=OF2,OA=OB,故四边形A尸记尸2为平行四边 形.故A正确；对B,根据椭圆的性质，当P在上下顶点时，02=也=，此时NBP尸2=90。.由题意可知 P不可能在上下顶点，故/为PBV90。，故B正确；对C,如图，不妨设5在第一象限，则直线5E的斜率为能=瑞=和，故C正确；乜 D ZAJD Z对 D,S 四边形 AFiBF2=25A BFiF 2=|FiF2|x|BD|=2V2|BD|.X 0BD 60）的左焦点为刀（一1,0）,且点2 J在椭圆。上.求椭圆。的方程；设过点尸的直线/与。相交于A,B两点，直线加：%=2,过尸作垂直于/的直线与直 线m交于点T,求黑的最小值和此时I的方程.答案：（1）y+y2=l.（2）坐，1I 2=2+2/解析：（1）由题意可得：V=，所以椭圆的方程为：y+/=l.11 3=1 2”方T（2）当直线/的斜率不存在时，I：x=-l,T（-2,0）,当直线/的斜率存在时，设/：=左（九+1）（片0）,y-kx+1且 A(j q,%),5(x2，刃)，由j f+2 2 20=(1+2后)f+4 Sx+2产一2=0,4 吩 2R2则 xi+%2=-+2标XvX2=1+294=8(F+l)0,所以|A5|=yT+/?xi x2|=221，,.|TF|=1+A2TF 1+2_1+M+f c2 2加1+标 啦2小7心心+1 2吸以2+1 2小 7吩心+1 2（T+F#2,所以无法取等号）所以服t的最小值为半，此时/的方程为：x=-l.|An|Zf 、历15.（20 21.广西桂林模拟）椭圆M：+=1（/7（）的离心率6=弓，过点4 一。，。）和5（0,回的直线与原点间的距离为坐.求椭圆的方程；CF过点风1,0）的直线/与椭圆又交于C、。两点，且点。位于第一象限，当瓦=3时，求 直线/的方程.ab y6ylc+b2 3解析：（1）据题知，直线AS的方程为f o r砂+=0.依题意得0,y20）,设直线/的方程为 x=my+l（机&R）.代入椭圆方程整理得：（机2+2）y 2+2my1=0.J=8m2+80,.%+、=潸？以=一CF由蜂=3,依题意可得：%=3，（mH2=+2 结合得J,消去2解得机=1,机=-1（不合题意）.所以直线，的方程为y=x1.2 216.（2021.山东）已知椭圆C 土+上=1的左、右焦点分别为可，工，M为椭圆。上任意一 4 3-点，N为圆及（%-钎+（k3=1上任意一点，贝力肱的最小值为,答案:3a/2-5解析：如图，“为椭圆。上任意一点，N为圆及（-4+（y-3=1上任意一点，则|阿|+|晒|=4,|肱V|ME|-1（当且仅当、N、共线时取等号），当且仅当V、N、E、尸2共线时等号成立.乙（1,0）,（4,3）,则|EB 1=J（4-+（3-=3右,J I 血附|町|的最小值为 3后5.故答案为：3后-5.17.（多选题）（2021.广东模拟）画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭 圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称该椭圆 的蒙日圆.若椭圆+=1（。o）的离心率为正，与心分别为椭圆的左、右焦点,a b 2AB为椭圆上两个动点.直线/的方程为法+今-462=0.下列说法正确的是（）A.。的蒙日圆的方程为f+y 2=3/B.对直线/上任意点尸，PA PB0C.记点A到直线/的距离为d,则d|A片|的最小值为理D.若矩形女VGH的四条边均与C相切，则矩形面积的最大值为6/答案：AD解析：对于A,过。（力）可作椭圆的两条互相垂直的切线:.。（。力）在蒙日圆上一.蒙日圆方程为：/+,2=片+火x=，y=b,得:a2=2，.C的蒙日圆方程为：f+y 2=3/,a正确；对于B,由/方程知：/过尸（女。），又P满足蒙日圆方程，尸（反在圆Y+y 2=3/上,过尸色。），当恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时，丽.4=0,B错误；对于C,.A在椭圆上，.|AG|+|A国=2.,:.d-AFd-（2a-AFd+AF-2a；当耳A，/时，d+|A耳|取得最小值，最小值为片到直线/的距离，又耳到直线/的距离d=+/=理-2，C 错误；对于D,当矩形的四条边均与。相切时，蒙日圆为矩形的外接圆,矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为羽儿 则-+2=12）2,矩形的面积5=个=6（当且仅当x=y=病时取等号）,即矩形面积的最大值为6,D正确.故选AD.18.已知椭圆。：+=1（4人0）的离心率为4.（1）证明：a-6b;（9（2）若点M正，-木在椭圆。的内部，过点的直线/交椭圆。于尸、Q两点，M为线段。的中点，且求直线/的方程；求椭圆。的标准方程.【解析】（1）V（2）由（1）知，椭圆2+3-%+x23 b2,f盘I 1。在椭圆。的内部时7邛一等因此“二园1,BPx2+3 y2=3 b可得b吟设点尸（七,%）、。（%2，%），则91广，所以,10 xi+x2 9当96、72X+%=2由已知可得丫2 I Q v2-322 J2，两式作差得(+%2)(%一%)+3(弘+%)(乂%)=，x2+3%-3 b所以，直线/的方程为氐一y 退二0；y/3 x .联立x2+3 y2=3 b20,9由韦达定理可得%+%2=g，再=9-3Z?210又OP_LOQ,而O尸=(%,%),00=(%,%)，OP-OQ=x2+y1y2+百(七一 l)，g(4 2.1)=4%-3(+x2)+32(9 3/)27+15=6 6=055解得=i合乎题意，故4=3必=3,因此，椭圆c的方程为:+,一.19.（20 21.重庆调研）已知椭圆：/+：=1的一个顶点。（0,2）,直线/与椭圆石交于A,3两点，若的左焦点尸1为ABC的重心，则直线/的方程为（）A.6x5y14=0C.6x+5y+14=0 答案BB.6x-5j+14=0D.6x+5y14=0f x i+x i+O3,x i+%2=-3,解析 由题意知尸i(1,0),设A(xi,y i),)，则彳,.八 所以r.山+?2=0,山+m=2.设”为A5的中点，则又Sc 2)J1+y 2)=,将代入上式得L+1三=今即左=今 由点斜式，得直线方程为厂1=3 2A 即6x5y+14=o.故选B.X1 X2 D。DF f=+=?=1(人 )PF20.已知椭圆 b 的左右焦点，点0在椭圆上，线段的中点在圆心为,半径为依娟的圆上，直线I的斜率是卮，尸工=6,则椭圆标准方程2 2%J-1-答案：16 7=1解析：如图所示，设线段尸耳的中点为，连接.小9。,即=PF2=6，在直角三角形和叫中,MF I-t a n ZF2EM=工=巧 1 MF./.M=1,A=V35:.PF2+PF1=2a=a=4vb2=a2-c2=7 椭圆标准方程16 72 2C:+=1（。Z?0）21.（2021.湖南长沙模拟）已知椭圆 b 的上顶点为M、右顶点为4师NsOMN（点。为坐标原点）的面积为1,直线=x被椭圆C所截得的线段长度为5.（1）椭圆C的标准方程;（2）试判断椭圆。内是否存在圆0：必+、2=/&0）,使得圆。的任意一条切线与椭圆c交于A,5两点时，满足西.赤为定值？若存在，求出圆。的方程；若不存在，请说明理由.解析：（1）由题意知M（。,。），N（a,b）,由工=1,得用=2.2设直线y=x与椭圆。交于点尸（如/），贝力尸。=8焉.把尸国,为）代入椭圆方程，得片=若3故I尸。性当壬 a+Z?,即心尸士 a+b 5由，解得=1 Y2（舍去）,所以椭圆C的标准方程为（2）假设存在这样的圆。设西.砺=加当直线的斜率存在时，设直线的方程为 y=辰+m.y=kx+m由 2,得(1+4左2)%2+8矶+4机24=0.丁 y 二1或设 则%+9=-，8km4m2-41+4/%一+4.2.8km1+4左 2故 OA OB=x1x2+/为=(1+2+km(%+x2)+m2=(1+版+m2=5m24 4241+4 Vm由厂:/一,41+k，得户由，得几5/一4m2 l+k2 MS.,当2与女无关时，2=0,/即圆。的半径为当.1+4左 2当直线的斜率不存在时，若直线的方程为x=2叵5将其代入椭圆C的方程，得a竽,孚,尊，-乎,此时丽.丽=0.若直线AB的方程为x=-2,同理可得西.砺=0.5综上，存在满足题意的圆0,其方程为 十 丁二：.2 2F 口 C：下+=l（b0）22.已知分另（J是椭圆 a b 的左右焦点椭圆的上顶点为B,且满足8歹5月,三角形6片超的面积为z求椭圆C的标准方程；已知直线：沙=卜*尔）与椭圆交于A,B两点，点A位于第一象限.直线,与直线=2V”交于c点.过A点作/轴的垂线，垂线与椭圆的另一交点为D.点E是线段CD的四等分点,且靠近D点.直线BE与直线=2A/Z2交于f点.若0歹=2 A E，则4的值.【解析】设（02）*1（一CW?”，。）mBF1BF 所以,成2=。,即C,因为随回歹2=2,所以布=2,解得：b=c=不1.2_2 2-又因为=/+/=4,所以椭圆的标准方程为4（2）如图所示：4（电,队）,8（一电,一%）,E（,一矍设 ，y=kx+2g 2=4林乂旦次仪怫国刀住2_2k+2k2 y/T+W)日=上=产=5直线BE的斜率为 一 一 4的 4所以BE的直线方程为:2/1+2/k，1+2/直线AB和BD与=2V今的交点分别为0(2J,2),小能庠”5 7r餐)s 3V 3 k 门3 _ 3 2k禺力次=工+2后声/石=万明=万后而 因为k又因为少=24,解得2M:二+二=1（/?0）23.（2021.四川成都模拟）已知椭圆 a b 离心率为2，点 在椭圆”上.（1）求椭圆M的方程;（2）设0为坐标原点，A氏C是椭圆加上不同的三点，且。为aABC的重心，探究445。面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由解析：由题知：f-解得a=2 0=1,a2=b2+c2所以椭圆M的方程为上+V=i；4（2）当直线A6的斜率不存在时，轴，点。在兀轴上，|AB|二相.点。到A6的距 离为d=3,贝”.=；|4同2=半.当直线A5的斜率存在时，设直线”：丁=辰+机.2由=消去无，整理（4 Y+l）f+8 加y+4（相 21）=0,y=kx+m设 A（X，y J,B（x2,y2）,则有=16（4左2+1 疗）0,%+/=一,/.=半心，所以 X+%=左（玉+）+2相=上=千uum zuur utmx（区痴 2H7、因为。为“IBC的重心，贝I由。=一（04+05）=出1,一记石，（8km 2m 工件，8乎）点访？一肃力）在椭圆上，则必+J4 2m Y _ 得 4 m2=4k2+,4)t2+lJ m点0到直线AB的距离为d=-jLL=J1+k 2所以仆驷再三空挈 综上：S3c=半为定值.24.（20 21.福建龙岩质检）已知椭圆的方程为捻+丁=1,点A为长轴的右端点.B,C为椭圆上关于原点对称的两点.直线与直线AC的斜率 人和Me满足：Wac=-1.求椭圆的标准方程；若直线/：y=f c c+%与圆好十/二1相切，且与椭圆相交于“，N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点.解析：设5（如y o），则C（xo，y o）由我+贷=1得，的=1%=匕回,由=T即得，衿。所以宁=/，所以片=2,2 xoa xoa 2，2 a 2即椭圆的标准方程为：f+y2=l.设 M(x i，%),Ng,丁2)，j=bc+t得：（1+2F）兄2+4后x+2户一2=0,%1+%2=4kt1+2炉2-2%1%2=1+2-产22 4产Z2 尸一2产yiyi=(&1+t)(kx2+t)=lxixi+kt(xi+兄2)+f=+2 左2+2严+、=1+2*又/与圆。相切，所以坐=7黑即|=备,22-2+产一21所以 04 Of=x i%2+y ij 2=+2：3Z221+/21+/21+/=1+2炉=1+2出=，所以，曲J_威，即NMON=90。，所以，以线段MN为直径的圆经过原点.2 225.（2021.四川成都三诊）已知椭圆C：3+3=1（。万0）的四个顶点围成的四边形的面积 a b为2非,右焦点/2到直线X 7+2=0的距离为2后.（I）求椭圆。的方程；（II）过点“（-3,0）的直线/与椭圆C相交于A,B两点，过点/2作直线/的垂线，垂足为N（点A,B在点N之间）.若 AF2”与BF2N面积相等，求直线/的方程.解：（I）设右焦点产2（c,0）,四个顶点围成的四边形的面积为26，可得2ab=2逐，即ab=&右焦点F2到直线x-丁+2=0的距离为2后，可得 也=2后,即C=2,又2 一按=/,所以=逐，b=l,可得椭圆的方程为J+y 2=l；（II）设直线/的方程为丁=左（x+3）,A（XI,y i）,B（X2,2）,与直线/垂直且过尸2（2,0）的直线为=4（2）,k由由，y-k(x+3)2 5k1.，解得N(二牛，一-),y=(x-2)1+k2 l+kJKy=k(x+3)9,可得(1+5F)N+3OFx+45N 5=o,kx2+5y=5=OOF)2-4(1+5F)(4 5F-5)0,解得-工左工,2 2一一用垃1+5 k 245k2-51+5 k 2尸2到直线)的距离为J,而=(2-3k+3,一/)=Vl+kz 1+k2 1+k45 5k1+k2,1+k25MN=/SABNF、=SAMNF、-SABMF、=SAMF一，Vl+k1 5|NF2|1 1 5 15k l则。-二尸2|丁2|=附尸2|”|,/2*r 2=5(|川+仪|),2 71+k2 2 2 Vl+kj Ml+k 由题意可得A,B,。同时在x轴的上方或下方,则;1当二5斗6yi+y2k(xi+3)+k(&+3)=k(xi+x2)+6左=-1+5左所以赛j=解得k二土今 则直线的方程为y=士丰(x+3).26.(2021.河北衡水模拟)如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O,在平行光 线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C如图，椭圆中心为。，球与地面的接触点为E O石=4.若光线与地面所成角为凡 椭圆的离心率e=.4答案彳解析：连接O。，则NO。石=6,因为。石=3,OE=4,如图:_ _ Q 3所以c o=J(72+c石2=,32+42=5,所以sin e=g在照射过程中，椭圆的短半轴长方是球的半径凡 即人=3,过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图:椭圆的长轴长2是AC,过A向做垂线，垂足是B,则AB，OO,O，AC,3 AB由题意得：A5=2R=6,sin ZAC5=sin。二，又sin NAC6=,5 ACah 3则-=,AC=10,BP 2a=10?a=5,AC 5所以椭圆的离心率为e=a27.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口 市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥 林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先 后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈 的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点6分别向内层椭圆9引切线AC,BD（如图），且两切线斜率之积等于-、，则椭圆的离心率为（）2 2解析：若内层椭圆方程为+与=1（。h0）,由离心率相同，可设外层椭圆方程为 a bY 2小+七=1（-D,设切线 AC为 y=匕（犬+加。），切线 为 丁=右工+小，y=kx+md）/2,整理得（/左；+b?）x2+2ma3kx+m2a4k-a2b2=0,由 A=0 知:+=1卜2 i（293 2）2 出/6+）（机246一/82）=。，整理得勺2=qja 1-my=k2x+mb同理，/2,可得后=与.（疗_1）,a（桃2）2=!=（-即9=1 故e，=仁歹=电故选B.a 16 a 16 a a 428.已知圆M:（x+相+/=叫根0）在椭圆c$+与二ig”。）的内部，点人为。上 一动点.过A作圆M的一条切线，交。于另一点5,切点为。，当。为A5的中点时，直线 的斜率为-20，则。的离心率为（）出。-2B四2D.国4答案:C解析:将A,设A（石,乂），5（%2，%），。（%，%），则2%=+%2,2%=%+%.5的坐标分别代入。的方程，得LK=i/b2、T 官+3一1若四（%-%）（%+%）=_匕 即/%）二_（西一42）（玉+%）4（占一）毛/，当。为 AB 的中点时，kMD=-2a/2,则 kAB=一-=,故二.kMD 4%-%4如图，设为。的左顶点，连接00,则NQME=2NOO暇，所以2 tan ZD OM _ 人tan Z.D ME=tan 2ND OM=-=212,整理得1-tan2 ZD OMtan2 ZD OM+tanZD OM-42=0，解得 tan NDOM=也或 tan NO（W=0（舍去）,2则左8=tan NOM=.=，所以坐x K=4，所以4=L故C的离心率2 Xq 4 12 1a（2 412.2双曲线2 21.（2021全国乙卷）已知方为双曲线C*-3=13040）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且Bb垂直于x轴.若的斜率为3,则C的离心率为.答案：2（b2 c,解析：点5为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为I 人点A的坐标为（，0）,b1AB的斜率为3,=3,即；、=工=+=3,.e=2.ca a ca）a4-=1(a0)2.双曲线一 u 的两个焦点分别是Fi,F2,焦距为8,M是双曲线上的一点，且|MFi|=5,贝U|MF2|二.答案1或9解析 由已知得 c=4,b=2v,2=16-12=4,BP a=2.V|MFi|-|MF2|=2a,|5-|MF2|=4解之，得|MF2|=1 或|MF2|=9.3.已知双曲线的焦点与椭圆4 9+24 的焦点相同，且经过点（30，4）,则双曲线的标准方程.2 2-=i答案：9 16解析：由题意知椭圆的两个焦点为（一5,），（5,0）.双曲线的焦点为（5,0）,（5,0）.由双曲线定义得：2a=)(3立+5)2+42-7(372-5)2+42=)(5后+3了-J(50-3了_ _ 区=1.解得q=3/=4,双曲线的标准方程9 162 2。邑_ 匕=1（0）4.（2021.河北邯郸模拟）已知双曲线 a 16 的一条渐近线方程为2x-y=o,耳、工分别是双曲线C的左、右焦点，尸为双曲线。上一点，若忸胤=5,则愿=（）A.1 B.1 或9 C.3或9 D.9答案：D解析：由题意知a=2,所以=2,所以o=而正=2逐，所以 a|明|=50力0)的左、右焦点，双曲线。的右支上一 a b点。满足1。1二|。|,直线耳。与该双曲线的左支交于尸点，且p恰好为线段耳。的中点，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=B.y=2x C.y=2/3x D.y=3 在x答案：C解析：依题意，令1。0=1。41=1。81=。,则有。耳，。工,令|。工|二2%,由双曲线定义得I。片|=2+力，而点尸是。Fi中点且在双曲线左支上，则PQ=PFi=a+t,PF2=3 a+t,在用/。乙中，I 尸。+|。工=|尸工,即(+/)2+(2力2=(3+/)2,解得方=2,贝！|空|=4,QFl=6a,在吊力。耳中，|。耳|2+|。月|2二|&|2,即364+16片=4/,2=136,于是得从=12/,2=2石，所以双曲线。的渐近线方程为k2氐.故选C.a2 2n.（2021.福建厦门一中高三模拟预测）双曲线斗=1（0/0）的右焦点为耳（4,0）,a b设A、5为双曲线上关于原点对称的两点，A尸的中点为B方的中点为N,若原点。在以线段为直径的圆上，直线A6的斜率为逆，则双曲线的离心率为（）7A.后 B.2 C.9 D.-3 3答案B解析 由题意可得=下=4,由于双曲线的对称性，设点A（W）为第一象限内的点,则点5（一人），A尸的中点为“等,鼻，6方的中点为宁3，原点O在以线 段肱V为直径的圆上，可得OMLON,则两.西=（.+4）（4-）-.=o,即而+2=6,4又直线A6的斜率为半，可得/=理，解得机二近，n=3,即4（互3）,又A在双曲 7 9 c 4线上，可得-2=1,由片+）2=16,解得。=2,6=2若，所以e=彳=2.故选B.a b a 22 212.（2021.河北衡水模拟）已知双曲线C：5=1（根0,几0）上异于顶点的任一点与其 m n两个顶点的连线的斜率之积为;.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）椭圆：的离心率等于平，过椭圆上任意一点？作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于知，N两点，若PM?+PN2=5,求椭圆的方程.解析：（1）设人（不X）为双曲线上任意一点，则工-g=l m n双曲线的顶点为6（-办0）,C（m,0）,由题设知kABAC=T-匚=:，故父=9父+机2,代入式可得一!；：。.xm xx-m 9 m n JQ 1 1又A为双曲线上任意一点，=0,所以加=3，双曲线的渐近线方程为y=：x.m n 3（2）由椭圆的离心率6=：=，手=孚，可得=3，故椭圆方程为：+,=1,gp A：2+9y2=9b2(/?0)P(x0,y0),贝；+9乂=9必.设直线PM的方程为=；（%-%）+%,与椭圆方程V+9y 2=9Z/联立，消去九 联立式整理得/+（3%-x0）x-3/%=0,即（x-%）（%+3%）=0,故%=-3%,从而m=；（%/）+为=；%.所以 3%,一；%）而直线PN的方程为y=-1（x-x0）+y0,同理可求得.于是，由尸河2+92=5可得（一3%-毛丁+卜+（3y0-x0）2+Qx0-y0=5,Q整理得看+9北二“1 Q 4结合式可得=:，所以椭圆的方程为f+9丁2=；IP 2+4 2=14 4 913.（2021.山东济南模拟）已知匕，方2分别为双曲线犬-；=1的左、右焦点，过方2且倾斜 角为。的直线与双曲线的右支交于A,6两点，记AAF；耳的内切圆。1的半径为心4548的内切圆a的半径为弓，圆a的面积为加，圆a的面积为$2,则下列正确是（1）夕的取值范围是%葛（2）直线aa与1轴垂直（3）若/弓=2,贝U|AB|=6（4）S+S2的取值范围是2肛殍答案：（2）（3）（4）解析：设耳,月耳与圆的切点分别为M,N，M如图，易知，石横坐标相等,根据题意得|期|=AN,出加目片冏5MT F2E由双曲线定义知I A居I TAK 1=2。,即MFl-NF2=2a,F1E-F2E=2a,设。1（%,0）,则/+c （c Xo）=2a,解得 xQ=a,同理可得。2的横坐标也为。，所以002,元轴，故（2）正确；双曲线；=1的渐近线方程为k士&,其倾斜角分别为因为过心且倾斜角为9的直线与双曲线的右支交于A,6两点，所以。的取值范围是三，故（1）错误；连接F2OvF2O2，由切线的性质可知ZAF2Or=/。心瓦/现Q二ZBF2O2,1 jr所以N.8Oi=NA88=耳,RtO.EF2 RtF2EO2,%=,/.EF2 EO2EF；=E0E()2,即1二八弓，若Y+2=2,解得/=1,AB_Lx 轴,：.xA=xB=c=2,y-yB2=9,|AB|=|yA-yB=,故(3)正确;兀2对于D,。ZAF2E e71 271 71tan AOxF2E=；=q i，又。马=L r2=ri,EE 厂.+蜡二司2+2,-Si+S2的取值范围是故（4）正确.14.（20 21.河北省衡水中学调研）已知点尸是双曲线捻一=1（4 0,0）的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过尸且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,5两点，若NA班是钝角,则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（1+也，+o o）B.（1,1+也）C.（2,+o o）D.（2,1+也）答案：C2h2解析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为|AB|=手，因为NAE5与 所以张贝U tan NAEF=l,即一1,2 4|七门 aac即 c22（q+c）,即/一0一20,解得 e2.故选 C.15.（2021.吉林松原高三月考）已知耳、尸2分别为双曲线C：?-2二1（0力）的左右焦 a b点，M为双曲线左支上一点，片与轴上一点?正好关于对称，则双曲线。的离心率 为（）A.D.le33 3答案B解析 设点耳（-。，。），设点在第二象限，则点?在y轴正半轴上，由对称性可得|P6|=|3|=|月月|=2j0|=而不而=限，b所以N尸鸟耳=60。，则NM8耳=30。，所以，双曲线的渐近线y=-2的倾斜角。满足 a90。，0）的一条渐近线与圆（l2）2+产=1相切，则双曲线。的离心率为（）A.乎 B.y3 C.2y2答案A 解析 由题意可知圆心（2,0）到渐近线y=%的距离为半径r=1,即珑*=1,即3/二层,又+=，则 3（，一层）=2,解得=!.故选 a.2 217.（2021.广东惠州模拟）设双曲线2=1（。，。）的焦距为2,若以点 尸（9,乂相为圆心的圆尸过。的右顶点且与。的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是（）A-H B-（/）C.D-H【答案】Bb【解析】由题可得渐近线方程为y=%,。=1,由于圆尸与两条渐近线都相切，则尸在 a1轴或y轴上，又圆p过。的右顶点，则p在1轴正半轴上，即尸（根,0乂。加），圆心P（m,0）到渐近线的距离为bm+/又圆半径为机,=bm,则由题可得=即m又=i，贝|b+12 片 1 Z?2 1 b 2/、7/、m=际=诉=d=一1+=1,.飞（/）,，加），（），则OP长的取值范围是（0,1）.故选B.x2 y218.（20 21.青岛模拟）已知双曲线。的方程为正一9=1,则下列说法正确的个数是（）3双曲线C的实轴长为8（2）双曲线C的渐近线方程为尸土水Q双曲线C的焦点到渐近线的距离为3（4）双曲线。上的点到焦点距离的最小值为工A.l B.2 C.3 D.4答案C解析 由题意知，。=4,b=3,所以c=yjc+b2=/42+32=5,双曲线C的实轴长为2=8,故正确；h 3双曲线。的渐近线方程为尸）=土方，故正确；.g x5|4双曲线。的焦点为（5,0）,其到渐近线的距离为=3,故（3）正确;当双曲线的顶点与焦点位于y轴的同侧时，该顶点到焦点的距离即双曲线C上的点到焦点 距离的最小值，为1,故（4）错误.故选c.19.（2021 青岛二模）在平面直角坐标系中，直线/为双曲线2y 2=i的一条渐近线，则（）A.直线/与圆（1-2）2+y 2=l相交 B.直线/与圆（1-2）2+y 2=l相切C.直线/与圆（1-2）2+y 2=2相离 D.直线/与圆（1-2）2+/=2相切答案D解析：双曲线的渐近线方程为：x y=0,圆的（1-2）2+y 2=i的圆心（2,0）,=察=隹所以d ，所以直线/与圆（X-2）2+/=2相切.故选D.20.（20 21.淮南一模）已知双曲线2一1（0）的左、右焦点分别为尸1，尸2,过点尸2的直线交 双曲线右支于A,5两点，若 尸1是等腰三角形，且NA=120。，则的周长为（）A.+8 B.4（2-1）：.乎+8 D.2（小一2）答案：A解析：由双曲线g=lS。），可得4=2,如图所示，设|Ab2|=加，|8码=九可得|AB|=4+机，|BFi|=4+m.|AFi|=|AB|,：.4+m=m+n,解得=4.作尸i，垂足为。，则。为线段的中点，ZFiAD=60,.,.|）/1|=坐（4+机），,申（4+m）x2=4+，即小（4+=4+儿又扑=4,代入解得机=4.ABFi 的周长=4+机+机+4+=8+2（机+）=8+.故选 A.2 2C：F _ 差21.（20 21.福建厦门质检）已知双曲线 a b 的一个焦点为尸，点A,3是。的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过尸且交。的左支于N两点，若也犯=2,AB尸的面积为8,则。的渐近线方程为（）.1.a y=4 y=xA.y=J3x B.3 C.y=2x D.2答案：B解析：设双曲线的另一个焦点为P,由双曲线的对称性，四边形尸是矩形，所以3“研x2+y2=c2A2 2=S aff,即/?c=8,由J F/,得：y=,所以|MN|=2,所以/=c,所以 Z?乒=1”+石y=x=2,c=4,所以。=2小，。的渐近线方程为 3.故选b.22.（2021.浙江嘉兴模拟）已知椭圆和双曲线有相同的焦点小与，它们的离心率分别为6,6,。是它们的一个公共点，且N耳尸月=彳.若64=百，则令二（）A a+口 新+拒 a+6 八a/6+22 2 2 2答案B解析 设|3|=词尸阊=*椭圆的长半轴长为生,双曲线的实半轴长为2,焦点为2c,不妨设。在第一象限，则m+n-2ac，解得 m-n-2a2TTI+2 n=ar-a22%尸EB中由余弦定理得病+/_2wcos1-=(2c)2,即疗+=4,以(4 +%y+(%。2/+(。1+g)(1 2)=4 c2，2 1 4所以4十二=4,e241,所以色二二；.故选b.2 223.（2021.山东泰安模拟）已知双曲线C：j 斗=1（。0乃 0）的左、右焦点分别为GB，a b左顶点为A,点P在。的右支上，若点。满足pb=g所+凡）为坐标原点，且OAQ为等边三角形，则下列说法正确的是（）A.C的渐近线方程为y=M5xB.C的离心率为士叵5c.若点Q乎,4,则的面积为它甄 乙乙)5DC上存在点P,使得答案B解析如图，由对称性不妨设点尸在第一象限,PQ=PFl+PF=pb由OAQ为等边三角形知|O0=，故|尸O|=3a,&ZPOF2=60,过点尸作尸”，。工，垂足为H,故。叫二，1PM=3石a，则点尸2 2 I J代入。的方程得22勺=1,即1=2,4 4b2 a2 5则C的渐近线方程为丁=2X=h匡X,A项错误；a 5离心率e=J1+与二生叵，B项正确；V 6Z2 5若点Q