1-第一章-误差.pptx

1第一章第一章 误差误差第一章第一章 误差误差一一.误差的来源误差的来源:1.1.模型误差模型误差2.2.观测误差观测误差3.3.截断误差截断误差4.4.舍入误差舍入误差二二.绝对误差绝对误差、相对误差和有效数字相对误差和有效数字2为准确值为准确值x的一个近似值，称的一个近似值，称 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字若若 的的绝对误差限绝对误差限，简称，简称误差限误差限.通常称通常称为近似值为近似值定义定义2 设设(1-3)记为记为 即即准确值之比为近似值准确值之比为近似值为近似值为近似值的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差.(1-1)称绝对误差与称绝对误差与为准确值为准确值 x 的近似值，的近似值，的相对误差，的相对误差，(1-2)定义定义1 1 设设3由于在计算过程中准确值由于在计算过程中准确值x总是未知的，总是未知的，绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字故一般取相对误差为故一般取相对误差为 则称则称 为为 的的相对误差限相对误差限.使得使得(1-4)如果存在正数如果存在正数4如果近似值如果近似值 准确到小数点后第准确到小数点后第n位位,并从第一个非零数字到并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为这一位的所有数字均称为有效数字有效数字.绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字 有效数字有效数字的误差限是的误差限是则称则称取前八位数得近似值取前八位数得近似值 例如，例如，取前四位数得取前四位数得1.414有有4位有效数字位有效数字.1.4142136有有8位有效数字位有效数字.5(1-5)一般地，如果近似值一般地，如果近似值其中其中m为整数，为整数，绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字为为0 0到到9 9之间的整数之间的整数.如果如果(1-6)则称近似值则称近似值有有n位有效数字位有效数字.例如例如有有4位有效数字位有效数字.故故的规格化形式为的规格化形式为6绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字若若x的近似值的近似值至少具有至少具有n位有效数字位有效数字.有有n位有效数字，位有效数字，则则误差限误差限.反之，反之，的相对误差的相对误差定理定理1.11.1为其相对为其相对满足满足若若则则7(1-12)(1-11)(1-13)数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播 例例设近似数设近似数是某真值是某真值 x 经四舍五入经四舍五入所得所得,试求其绝对误差限和相对误差限试求其绝对误差限和相对误差限.解解由于由于a经四舍五入得到经四舍五入得到,故故89例例1:2,求求数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播 1.经四舍五入得经四舍五入得试问它们有几位有效数字？试问它们有几位有效数字？的绝对误差限的绝对误差限.解解故故分别具有分别具有5位有效数字位有效数字10数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播 例例2:2:要使要使的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1%,应取应取取几位有效数字取几位有效数字解解:的首位数是的首位数是2,设近似数设近似数有有n位有效数字位有效数字,只须取只须取n使使即即取取n=4,即取即取4位有效数字位有效数字,近似值的相对误差限小于近似值的相对误差限小于0.1%.数值计算中的一些原则数值计算中的一些原则1.1.避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减2.2.避免大数避免大数“吃吃”小数的现象小数的现象3.3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4.4.要简化计算，减少运算次数，提高效率要简化计算，减少运算次数，提高效率5.要有数值稳定性要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播即能控制舍入误差的传播例如例如 为提高数值计算精度为提高数值计算精度,当正数当正数x充分大时充分大时,应将应将改写为改写为11例例 如何计算下列函数值才比较精确如何计算下列函数值才比较精确(1)对对解解(1)要使计算准确要使计算准确,应避免两个相近的数相减应避免两个相近的数相减(2)对对(2)要使计算准确要使计算准确,应避免两个相近的数相减应避免两个相近的数相减故变换所给公式故变换所给公式故变换所给公式故变换所给公式12第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法设有线性方程组设有线性方程组Ax=b,其中其中第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法为为n阶阶非奇异矩阵非奇异矩阵,x和和b为为n维列向量维列向量.(一一)高斯消元法高斯消元法高斯消元法就是对增广矩阵高斯消元法就是对增广矩阵进行初等行进行初等行变换变换,从而把原从而把原方程组化为等价的三角形方程组方程组化为等价的三角形方程组,然后然后进行回代求解进行回代求解.1.列主元素法列主元素法是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作主元，通过方程对换将其换到绝对值最大的系数作主元，通过方程对换将其换到对角线上，然后进行消元。对角线上，然后进行消元。(二二 )主元素法主元素法114第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法2 2 全主元素法全主元素法如果不是按列选主元，而是在全体待选系数如果不是按列选主元，而是在全体待选系数中选取主元，则得到全主元中选取主元，则得到全主元素法素法.(三三)直接三角分解法直接三角分解法其中其中L为单位下三角矩阵，为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。为上三角矩阵。高斯消元法的消元过程实际上是把系数矩阵高斯消元法的消元过程实际上是把系数矩阵A分解分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积的过程。成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积的过程。上述分解称为上述分解称为杜利特尔（杜利特尔（Doolittle）分解）分解，也称为，也称为分解分解.15第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法定理定理2 2.设设为为n阶方阵，若阶方阵，若的顺序主子式的顺序主子式均不为零，则矩阵均不为零，则矩阵存在唯一的存在唯一的Doolittle分解。分解。等价于求解两个三角形方程组等价于求解两个三角形方程组和和当系数矩阵进行三角分解后，求解方程组当系数矩阵进行三角分解后，求解方程组这种求解方程组的方法称为直接三角分解法这种求解方程组的方法称为直接三角分解法.16第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法且且L的对角元素皆为正数。的对角元素皆为正数。(四四)平方根法（平方根法（Cholesky分解法）分解法）如果如果A是对称正定矩阵是对称正定矩阵,则存在唯一的非奇异则存在唯一的非奇异下三角阵下三角阵L,使得使得此分解称为此分解称为平方根平方根分解分解或或Cholesky分解分解.当矩阵当矩阵A 完成完成Cholesky分解后，求解方程组分解后，求解方程组就转化为依次求解方程组就转化为依次求解方程组Cholesky分解法。分解法。求解线性方程组的上述方法称为平方根法，也称为求解线性方程组的上述方法称为平方根法，也称为17第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法(五五)改进的平方根法改进的平方根法其中其中L为单位下三角矩阵，为单位下三角矩阵，D为对角阵为对角阵.对称正定矩阵对称正定矩阵A又可以做如下又可以做如下分解：分解：法法)矩阵矩阵作作分解后，解方程组分解后，解方程组可分两步进行：先解方程组可分两步进行：先解方程组,再由再由求求求解线性方程组的这一方法称为改进平方根法，也叫求解线性方程组的这一方法称为改进平方根法，也叫法法.(六六)解三对角方程组的追赶法解三对角方程组的追赶法第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法例例1 1 用列主元素法求解线性方程组用列主元素法求解线性方程组 解解 按列主元素法，求解过程如下按列主元素法，求解过程如下:6第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法7由回代过程得解由回代过程得解等价的三角方程组为等价的三角方程组为8例例2 2 用直接三角分解法求解线性方程组用直接三角分解法求解线性方程组解解：设设9p1310第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法 所以所以由由即即解得解得11解得解得由由即即解得解得12第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法（2）2 (1)1(2)2(6)6解解213p9第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法所以所以解方程组解方程组解得解得142.5 误差分析误差分析（1 1）2 2范数范数常用的向量范数有以下三种：常用的向量范数有以下三种：（2 2）1 1范数范数（3）范数范数15设设2.5 误差分析误差分析常用的矩阵范数有三种常用的矩阵范数有三种，是由三种常用的向量范数，是由三种常用的向量范数为为n阶方阵。阶方阵。诱导出的矩阵范数：设诱导出的矩阵范数：设（1）1 范数范数(列范数列范数)(行范数行范数)其中其中是矩阵是矩阵的最大特征值。的最大特征值。范数范数（3）2 范数范数162.5 误差分析误差分析定义定义3.3 设设A为为n阶方阵，阶方阵，为为A的特征值，的特征值，称特征值模的最大值为矩阵称特征值模的最大值为矩阵A 的的谱半径谱半径，记为记为定义定义2.3 对非奇异矩阵对非奇异矩阵A，称数，称数为矩阵为矩阵A的条件数，记为的条件数，记为称为矩阵称为矩阵A的谱的谱.172.5 误差分析误差分析例例3 已知已知于是有于是有求求解解:182.5 误差分析误差分析例例4 4 设设于是有于是有求求解解:即即19例例5 已知已知求求解解故故20解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件定理定理.对任意初始向量对任意初始向量和右端项和右端项由迭代格式由迭代格式产生的向量序列产生的向量序列收敛的充要条件是收敛的充要条件是第三章第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法推论推论在定理在定理3.6的条件下若的条件下若则则收敛收敛.推论推论松弛法收敛的必要条件是松弛法收敛的必要条件是21解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法几个常用的收敛条件几个常用的收敛条件.设有线性方程组设有线性方程组下列结论成立：下列结论成立：1.若若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵,则则Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛迭代法均收敛.2.若若A为严格对角占优阵为严格对角占优阵,则松弛法收敛则松弛法收敛.3.若若A为对称正定阵为对称正定阵则松弛法收敛则松弛法收敛.因此有因此有:若若A为对称正定阵为对称正定阵,则松弛法收敛的充分必要则松弛法收敛的充分必要条件是条件是4.若若A为对称正定阵为对称正定阵,则则Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛.22解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法例例6 对方程组对方程组计算计算的收敛性的收敛性解解 (1)由原方程组得由原方程组得(1)写出写出Jacobi迭代格式与迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式迭代格式(2)考察考察Jacobi迭代格式与迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式迭代格式(3)取初始值取初始值用用Gauss-Seidel迭代格式迭代格式23p25P29Jacobi迭代格式为迭代格式为24Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法(2)解解1:方程组的系数矩阵为方程组的系数矩阵为由于由于故故A严格对角占优阵严格对角占优阵,因此因此Jacobi迭代法与迭代法与Gauss-Seidel迭代法都收敛迭代法都收敛25p23Jacobi迭代格式为迭代格式为迭代矩阵为迭代矩阵为故故Jacobi迭代法收敛迭代法收敛.26(2)解解 2:解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为即为即为27解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法Gauss-Seidel迭代矩阵为迭代矩阵为故故Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛.28即即Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为又又解线性方的迭代法解线性方的迭代法(3)Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为29p23设函数设函数在区间在区间上有定义上有定义,它在该区间上它在该区间上n+1个互异点个互异点处的函数值为已知处的函数值为已知,记为记为若存在一个简单函数若存在一个简单函数使得使得成立成立,就称就称为为的的插值函数插值函数,点点称为称为插值节点插值节点,区间区间称为称为插值区间插值区间,求插值函数求插值函数的方法称为的方法称为插值法插值法.30第五章第五章 插值法插值法若若是次数不超过是次数不超过n的代数多项式的代数多项式,就称就称为插值多项式为插值多项式,相应的插值法称为相应的插值法称为多项式插值多项式插值;若若为分段多项式为分段多项式,就是就是分段插值分段插值;(一一)函数插值函数插值求一个至多求一个至多n次的多项式次的多项式(5(51 1)使其在给定点处与使其在给定点处与同值，即满足插值条件同值，即满足插值条件(5(52)2)称为插值多项式称为插值多项式,称为插值节点称为插值节点,简称简称节点节点，称为称为插值区间插值区间.插值法插值法31只要只要n+1个节点互不相同，满足插值要求式个节点互不相同，满足插值要求式的插值多项式（的插值多项式（51）（52）是存在唯一的是存在唯一的.定理定理5.1 设设是区间是区间上的互异节点上的互异节点,是过这组节点的是过这组节点的n次插值多项式次插值多项式.如果如果在在上上n+1次连续可导次连续可导,则对则对内任意点内任意点x,插值余项为插值余项为插值法插值法32插值多项式与被插函数之间的差插值多项式与被插函数之间的差称为称为截断误差截断误差，又称为，又称为插值余项插值余项.其中其中拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式为插值多项式为插值余项为插值余项为(二二)拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值33且且用拉格朗日二次插值多项式计算用拉格朗日二次插值多项式计算 解解 取三个节点取三个节点插值法插值法例例7 已知已知函数表如下函数表如下的近似值的近似值.34二次二次Lagrange插值多项式为插值多项式为3536Newton插值多项式插值多项式余项为余项为例例 设设则则 (三三)Newton插值插值37建立三阶牛顿插值多项式建立三阶牛顿插值多项式 解解 插值法插值法例例8 已知已知函数表如下函数表如下并写出插值余项并写出插值余项.构造差商表如下构造差商表如下38插值法插值法39故故插值法插值法余项为余项为40(四四)Hermite插值多项式为插值多项式为插值法插值法41插值余项为插值余项为数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法对给定的数据组对给定的数据组 多项式多项式(mn)求一个求一个m次次使得使得为最小，为最小，即选取参数即选取参数 使得使得这就是数据的多项式拟合，这就是数据的多项式拟合，称为这组数据的称为这组数据的最小二乘最小二乘m次拟合多项式次拟合多项式。42第六章第六章 函数逼近函数逼近其中其中H为至多为至多m次多项式集合次多项式集合.(6-5)(6-5)多项式拟合多项式拟合这是最小二乘拟合多项式的系数这是最小二乘拟合多项式的系数应满足的方程组，称为应满足的方程组，称为正则方程组或法方程组正则方程组或法方程组。由函数组由函数组的线性无关性可以证明的线性无关性可以证明,方程组方程组(6-5)存在唯一解，存在唯一解，且解所对应的多项式且解所对应的多项式43的的最小二乘最小二乘m次拟合多项式次拟合多项式.必定是已给数据组必定是已给数据组 当当时时,正则方程组为正则方程组为由此解的由此解的而得拟合直线而得拟合直线44例例9 9 已知数据组所给出的函数关系。已知数据组所给出的函数关系。i123424681.12.84.97.2求最小二乘求最小二乘一一次拟合多项式次拟合多项式.解解设拟合一次多项式为设拟合一次多项式为正则方程组为正则方程组为45其解为其解为所以所以就是所给数据组的最小二乘拟合直线就是所给数据组的最小二乘拟合直线.将数据代入正则方程组将数据代入正则方程组(6-5)(6-5)得得得得46例例10 已知数据表已知数据表i123412347111727试用最小二乘法求一个形如试用最小二乘法求一个形如解解以以12341.95 2.40 2.83 3.30的经验公式的经验公式.为数据为数据,作最小二乘拟合直线作最小二乘拟合直线47将此表数据代入式将此表数据代入式(6-5)(6-5)，得正则方程组，得正则方程组故有故有所以所以解得解得即即48则称此函数系为区间则称此函数系为区间a,b上关于权函数上关于权函数定义定义6.2 如果函数系如果函数系满足满足的的正交函数系正交函数系.49正交多项式正交多项式则称其为则称其为正交多项式系正交多项式系.如果正交函数系如果正交函数系中函数均为代数多项式中函数均为代数多项式,常用的正交多项式常用的正交多项式(一一)勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式Legendre多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为的正交函数系，的正交函数系，是区间是区间上关于权函数上关于权函数勒让德勒让德(Legendre)(二二)第一类切比雪夫第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式多项式第一类第一类Chebyshev多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为的正交多项式系的正交多项式系.是区间是区间-1,1上关于权函数上关于权函数第一类第一类Chebyshev多项式多项式50常用的正交多项式常用的正交多项式(三三)拉盖尔拉盖尔(Laguerre)多项式多项式Laguerre多项式定义为多项式定义为(6-26)51 是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 的的正交多项式系，正交多项式系，p57函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 为定义在为定义在a,b上的一组线性无关的连续函数上的一组线性无关的连续函数,用用设函数设函数在区间在区间a,b上连续，上连续，表示由表示由张成的张成的线性子空间线性子空间,则对任意则对任意都有都有52函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 使得使得(6-30)(6-29)特别地，特别地，为为k次多项式次多项式定义定义6.3 如果函数如果函数如果如果关于权函数关于权函数的的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数.其中其中为权函数，为权函数，则称则称为函数为函数在在H中中最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多项式最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多项式.则称则称为为在在a,b上关于权函数上关于权函数的的m次次53函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 其中其中 线性无关，可导出方程组线性无关，可导出方程组(6-32)的的(6-32)故解存在唯一故解存在唯一.54系数矩阵非奇异，系数矩阵非奇异，由由线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式 将方程组将方程组(6-32)的解代入式的解代入式(6-29)所得所得由定理由定理6.5,的的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数,且是唯一的且是唯一的.的函数的函数在在H中关于权中关于权必定是必定是为为a,b上关于权函数上关于权函数的的正交函数系正交函数系,如果取如果取的最佳平方逼近函数就归结为的最佳平方逼近函数就归结为则求函数则求函数55函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 求解正则方程组求解正则方程组容易解出方程组容易解出方程组(6-34)(6-34)的解为的解为所以，所以，在在a,b上的上的m次最佳平方逼近多项式为次最佳平方逼近多项式为(6-34)(6-35)(6-36)56函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 在在0,1上的一次最佳平方上的一次最佳平方设设解解例例11 求求逼近多项式逼近多项式,其中权函数其中权函数取取为最佳平方逼近多项式为最佳平方逼近多项式57函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近 正则方程组为正则方程组为其解为其解为 在在0,10,1上的一次最佳平方逼近上的一次最佳平方逼近所以所以多项式为多项式为即即58线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式选取近似函数为选取近似函数为(6-7)(6-7)(6-8)(6-8)使得使得的函数，的函数，一般地，设给定数据组一般地，设给定数据组为已知的一组为已知的一组上线性无关上线性无关其中其中为权系数为权系数59线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式。与多项式拟合的讨论相类似，上述问题的与多项式拟合的讨论相类似，上述问题的即即(6-9)(6-9)就是多项式拟合。就是多项式拟合。H为为的线性组合的全体的线性组合的全体,这就是这就是特别地，取特别地，取正则方程组为正则方程组为60线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式(6-10)方程组方程组(6-9)(6-9)可表成矩阵形式可表成矩阵形式的系数矩阵非奇异，从而保证了方程组的系数矩阵非奇异，从而保证了方程组(6-9)(6-9)的的如果记如果记由由线性无关可导出式线性无关可导出式(6-10)(6-10)解存在唯一。解存在唯一。61线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式的的最小二乘函数最小二乘函数。满足关系式满足关系式(6-8)，即它是，即它是则则 定理定理6.1 设设为方程组为方程组(6-9)的解，的解，函数函数数据组数据组62的导数近似函数导数，的导数近似函数导数，(7-5)即即式式(7-5)称为插值型求导公式称为插值型求导公式.数值微分数值微分设已知函数设已知函数在在a,b内内n+1个节点个节点其插值多项式为其插值多项式为用用这是求数值微分的常用方法这是求数值微分的常用方法.第七章第七章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分1.1.数值微分数值微分1插值多项式为插值多项式为数值微分数值微分1)两点公式两点公式(n=1)过节点过节点的的Lagrange故有故有(7-9)2的的Lagrange插值多项式为插值多项式为求导得求导得得三点公式得三点公式()()xfiihxxi,2,1,00=+=数值微分数值微分2)2)三点公式三点公式 过节点过节点(7-11)分别代入分别代入3设区间设区间a,b上的某些节点上的某些节点则称则称(7-16)的不同取法，可以的不同取法，可以2.数值求积公式数值求积公式值值处的函数处的函数称为称为求积系数求积系数.得到不同的求积公式得到不同的求积公式.由节点由节点和求积系数和求积系数4记记称称为求积公式为求积公式(7-16)(7-16)的截断误差的截断误差.为定积分的为定积分的数值求积公式数值求积公式,其中其中式式(7-20)称为称为n阶阶Newton-Cotes公式公式，简记为，简记为N-C公式，公式，牛顿牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)求积公式求积公式称为称为Cotes系数系数.(7-20)53.3.一般牛顿一般牛顿-柯特斯公式柯特斯公式Cotes系数具有如下性质系数具有如下性质.(1)(2)牛顿牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)求积公式求积公式64 4 几个常用的牛顿几个常用的牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(1)(1)梯形公式梯形公式梯形公式的截断误差为梯形公式的截断误差为梯形公式具有一次代数精确度梯形公式具有一次代数精确度.牛顿牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)求积公式求积公式(2)(2)辛普森辛普森(Simpson)公式公式辛普森辛普森(Simpson)公式公式,也称抛物线求积公式为也称抛物线求积公式为:其中其中Simpson公式的截断误差为公式的截断误差为为步长为步长.7辛普森辛普森(Simpson)公式代数精确度是公式代数精确度是3例例1 分别用梯形公式与分别用梯形公式与Simpson公式计算积分公式计算积分的近似值，并估计截断误差的近似值，并估计截断误差.解解:梯形公式梯形公式:梯形公式截断误差为梯形公式截断误差为:8由由Simpson公式公式(7-24)截断误差为截断误差为9复化梯形公式复化梯形公式为为复化求积公式复化求积公式(7-28)复化梯形复化梯形公式的截断误差为公式的截断误差为(7-29)(7-30)复化复化Simpson公式为公式为复化复化Simpson公式的截断误差为公式的截断误差为10=例例2 分别用复化梯形公式与复化分别用复化梯形公式与复化Simpson公式公式计算积分计算积分解解 (1)用复化梯形公式用复化梯形公式,截断误差为截断误差为复化求积公式复化求积公式的近似值，为使截断误差的绝对值不超过的近似值，为使截断误差的绝对值不超过至少应将至少应将0,1的多少等份的多少等份.故取故取 n=6811(2)若用复化若用复化Simpson公式，截断误差为公式，截断误差为复化求积公式复化求积公式故取故取 n=612例例3 用用 n=4 的复化梯形公式计算积分的复化梯形公式计算积分13并估计误差并估计误差.解解复化梯形公式复化梯形公式为为14复化梯形复化梯形公式的截断误差为公式的截断误差为定义定义7.1 若当若当成立，成立，则称该求积公式具有则称该求积公式具有m次代数精确度次代数精确度.均精确成立，而对某个均精确成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确次多项式，公式不精确时，求积公式时，求积公式15为任意次数不高于为任意次数不高于m的多项式的多项式都能准确成立，但对都能准确成立，但对 不准确成立不准确成立.求积公式求积公式(7-16)具有具有m次代数精确度次代数精确度的的充要条件充要条件是它对是它对，式式(7-16)(7-16)牛顿牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)求积公式求积公式例例4 给定求积公式给定求积公式使求积公式的代数精度尽可能地高使求积公式的代数精度尽可能地高试确定系数的试确定系数的解解 令求积公式对令求积公式对均准确成立均准确成立,有有16牛顿牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)求积公式求积公式即有即有解得解得所以求积公式为所以求积公式为其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将代入求积公式代入求积公式左边左边右边右边求积公式的代数精度为求积公式的代数精度为2.17例例5 试确定求积公式试确定求积公式 GaussGauss型求积公式型求积公式 具有具有 2n-1次代数精确度，次代数精确度，Gauss型求积公式型求积公式.公式（公式（7-42）称为带权函数）称为带权函数为为Gauss点点，则称这组节点则称这组节点定义定义7.2如果一组节点如果一组节点能使求积公式能使求积公式（7-42）的的代数精确度，代数精确度，Gauss型求积公式型求积公式.它是否是它是否是18 解解19由于当由于当分别取分别取有有即求积公式精确成立即求积公式精确成立.而当而当因此因此,求积公式的代数精度为求积公式的代数精度为3.它不是它不是Gauss型求积公式型求积公式.p22对分区间法对分区间法在在0,0.5内的根内的根,要求误差不超过要求误差不超过例例6 6 试用对分区间法求方程试用对分区间法求方程解解 令令则则故在故在0,0.5内内有唯一实根有唯一实根.为达到要求为达到要求即即取取计算结果见下表。计算结果见下表。20-0.2490230.1324158-0.05951970.0360497-0.01182140.012091010.000129230.250.3750.31250.343750.3281250.33593750.332031250.50.50.3750.3750.343750.343750.335937500.250.250.31250.31250.3281250.3281250123456n对分区间法对分区间法故故即为符合精度要求的解即为符合精度要求的解.21因为因为得牛顿迭代公式为得牛顿迭代公式为例例7用用Newton法求方程法求方程在在(1,2)的根，取初值的根，取初值 解解 NewtonNewton法与弦截法法与弦截法根据根据 Newton迭代迭代故在故在1,2内方程有唯一实根内方程有唯一实根取初值取初值得得22代入初值得代入初值得NewtonNewton法与弦截法法与弦截法故取故取23例例8 为求方程为求方程附近的根，现将原方程改为下列等价形式附近的根，现将原方程改为下列等价形式,且建立相且建立相应的迭代公式应的迭代公式,解解简单迭代法简单迭代法在在(1)迭代公式为迭代公式为(2)迭代公式为迭代公式为试分析每一种迭代公式的收敛性试分析每一种迭代公式的收敛性.由于由于故故f(x)=0在在1.3,1.6内有唯一根内有唯一根.24简单迭代法简单迭代法(1)故迭代公式故迭代公式(2)故迭代公式故迭代公式局部收敛局部收敛局部发散局部发散.25计算得计算得例例9 9 用简单迭代法求方程用简单迭代法求方程精确到精确到3位有效数字位有效数字.解解简单迭代法简单迭代法在在0,1内的根内的根在在0,1内连续内连续,在在0,1内有唯一内有唯一 实根实根.的等价方程为的等价方程为又当又当故故对对均收敛均收敛.取取故故26故，故，简单迭代法简单迭代法27常微分方程数值解法常微分方程数值解法(9-2)公式公式(9-2)(9-2)称为显式欧拉公式称为显式欧拉公式.Euler法的局部截断误差也可表示为法的局部截断误差也可表示为Euler方法是一阶方法方法是一阶方法.第九章第九章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法30(9-9)这就是求解初值问题式（这就是求解初值问题式（9-1）的）的梯形公式梯形公式.梯形公式（梯形公式（9-9）的局部截断误差为）的局部截断误差为常微分方程数值解法常微分方程数值解法故梯形公式为二阶方法故梯形公式为二阶方法.31常微分方程数值解法常微分方程数值解法一般地一般地,RK方法设近似公式为方法设近似公式为(9-13)其中其中 都是参数都是参数,确定它们的原则是使近似确定它们的原则是使近似公式在公式在 处的处的Taylor展开式展开式与与 在在 处的处的Taylor展开式的前面的项尽可能多地重合展开式的前面的项尽可能多地重合,这样就使近这样就使近似公式有尽可能高的精度。似公式有尽可能高的精度。32常微分方程数值解法常微分方程数值解法这就是改进这就是改进Euler公式公式,它是一种二阶龙格它是一种二阶龙格-库塔公式。库塔公式。33常微分方程数值解法常微分方程数值解法(9-11)式（式（9-11）称为由）称为由Euler公式和梯形公式得到的公式和梯形公式得到的预测预测校正系统校正系统，也叫，也叫改进改进Euler法法，它是显式单步法。，它是显式单步法。预测预测校正校正改进改进Euler法的局部截断误差为法的局部截断误差为 故它是二阶方法。故它是二阶方法。34常微分方程数值解法常微分方程数值解法例例10 用改进的用改进的Euler法求初值问题法求初值问题的数值解的数值解,取取 .解解 改进的改进的Euler公式为公式为所以所以35常微分方程数值解法常微分方程数值解法将将代入上式得代入上式得将将代入上式得代入上式得将将代入上式得代入上式得36常微分方程数值解法常微分方程数值解法(9-18)式式(9-18)称为精典形式的称为精典形式的四阶四阶RK公式公式,通常说四阶通常说四阶RK方法就是指用式方法就是指用式(9-18)(9-18)求解。求解。37例例11 用四阶用四阶RK方法求解初值问题方法求解初值问题取取解解精典形式的精典形式的四阶四阶RK公式为公式为38将初值将初值 代入代入,计算结果如下计算结果如下:对对n=039常微分方程数值解法常微分方程数值解法对对n=1n xn yn012 0 0.1 0.2 0 0.0951625 0.181269140常微分方程数值解法常微分方程数值解法例例12 用二阶方程初值问题用二阶方程初值问题化为一阶方程组初值问题化为一阶方程组初值问题,并写出欧拉方法求解的并写出欧拉方法求解的解解 令令计算公式计算公式.可得可得计算公式为计算公式为411.线性多步公式线性多步公式(9-32)式式(9-32)称为称为Adams显式公式显式公式,它是四阶公式它是四阶公式2.线性多步公式线性多步公式(9-34)称为四阶称为四阶Adams隐式公式隐式公式称为称为Milne公式公式,Milne公式是四阶四步显式公式公式是四阶四步显式公式.3.线性多步公式线性多步公式42常用的线性多步公式常用的线性多步公式4.线性多步公式线性多步公式称为称为Hamming公式公式.43(9-39)Hamming公式是四阶三步隐式公式公式是四阶三步隐式公式.