数字信号处理课件--离散时间系统结构.doc

第六章 离散时间系统结构 6.0 引言 6.1 线性常系数差分方程的方框图表示 6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示 6.3 IIR系统的基本结构 6.4 转置形式 6.5 FIR系统的基本网络结构 例 例 续 * * 6.0 引言 第五章已经看到，具有有理系统函数的线性时不变系统可以由常系数差分方程来表示： 其系统函数为： 由于阶数、系数等的不同，这些系统可以很不相同，然而它们都可以拆分成一系列简单环节的组合。将一个比较复杂的系统，拆分成简单环节，有利于其具体实现。 本章就来讨论这些基本运算环节，及其如何联接构成复杂系统。 6.1 线性常系数差分方程的方框图表示 本节内容类似连续时间系统理论中的方框图。 基本运算环节包括： 两序列相加 序列乘以常数 单位延迟 线性常系数差分方程中，包含的基本运算环节只有这三种，因此能用线性常系数差分方程表示的系统，都可以用这些基本运算环节来表示。 + x2[n] x1[n] x1[n]+ x2[n] a ax[n] x[n] z-1 x[n] x[n-1] 例：一个差分方程的方框图表示 y[n] a1y[n-1]+a2y[n-2]+b0x[n] 容易看出，在等号右边，包含了两个加法运算环节，和三个乘以常数的运算环节，而y[n-1]、y[n-2]则是输出y[n]加上时间延迟得到的。 因此最直观的方框图可以表示为： ＋ ＋ z-1 z-2 x[n] y[n] b0 a1 a2 y[n-1] y[n-2] 但是一般来说，样本延迟为M的环节，实现是用级联M个单位延迟来完成。因此将方框图改为如下形式： 例：一个差分方程的方框图表示（续） ＋ z-1 z-2 x[n] y[n] b0 a1 a2 y[n-1] y[n-2] 注意在这样的方框图中，箭头表示了信号的流向，同时也体现了各个运算环节的先后次序。例如y[n-2]是在y[n-1]的基础上再加上一个单位延迟完成的，在a1y[n-1]和a2y[n-2]都形成之后，再与b0x[n]相加，得到y[n]。 高阶差分方程的方框图――直接I型 不失一般性地，可以将高阶差分方程写成如下递推形式： 上式可以拆分为一对差分方程： 相应的系统函数为： 6.9 由这对差分方程可画出方框图： 这种方框图可以由差分方程直接观察而得到。 ＋ ＋ v[n] y[n] x[n] ＋ z-1 b0 b1 x[n-1] ＋ z-1 b2 x[n-2] ＋ z-1 bM x[n-M] bM-1 … … ＋ ＋ ＋ … z-1 z-1 z-1 … y[n-1] y[n-2] y[n-N] aN-1 a1 a2 aN 高阶差分方程的方框图――直接II型 规划性 直接I型对差分方程的拆分，等同于对系统函数的如下分解： 则有，V z H1 z X z ；Y z H2 z V z 若将H1 z 和H2 z 顺序颠倒，即将系统函数拆分成： 则有，W z H2 z X z ；Y z H1 z W z 直接II型 直接II型对系统函数的分解，等同于对差分方程的拆分： 交换H1 z 和H2 z 顺序，可得方框图： 注意，一般来说，N和M是不一样大的，因此两边的结构深度不一样。 中间的延迟环节对两边结构来说，是相同的，也即延迟环节可以被两边的结构共用，这样，将中间的延迟环节合并，就产生了一种可以使得延迟环节个数最少的连接方式，这就是直接II型。 ＋ w[n] y[n] x[n] ＋ ＋ ＋ … z-1 z-1 z-1 … aN-1 a1 a2 aN ＋ ＋ z-1 b0 b1 w[n-1] ＋ z-1 b2 w[n-2] ＋ z-1 bM bM-1 … … 直接II型方框图 为方便起见，先假定N M，则可得直接II型方框图： ＋ w[n] y[n] x[n] ＋ ＋ ＋ … z-1 z-1 z-1 … aN-1 a1 a2 aN ＋ ＋ b0 b1 w[n-1] ＋ b2 w[n-2] ＋ bN bN-1 … 直接II型是用到单位延迟个数最少的一种连接方式，所用最少单位延迟个数应当等于max N, M 。 直接I型和直接II型 ＋ ＋ v[n] y[n] x[n] ＋ z-1 b0 b1 x[n-1] ＋ z-1 b2 x[n-2] ＋ z-1 bM x[n-M] bM-1 … … ＋ ＋ ＋ … z-1 z-1 z-1 … y[n-1] y[n-2] y[n-N] aN-1 a1 a2 aN H2 z H1 z 直接I型 直接II型 H1 z H2 z y[n] x[n] w[n] 由此示意图可知，直接I型可由系统函数或差分方程直接得到，而直接II型则是将直接I型的前后两个结构顺序反过来连接，并将中间的延迟单元共用。 例 系统函数： ＋ ＋ y[n] x[n] ＋ z-1 3 ＋ z-1 7 ＋ ＋ z-1 z-1 z-1 5 -8 -11 观察系统函数，直接可得直接I型系统的方框图，注意系数的符号： 交换直接I型系统的前后两部分，合并延迟环节，注意全部延迟环节个数应等于max N, M 。 ＋ y[n] x[n] ＋ ＋ z-1 z-1 z-1 -11 -8 5 ＋ ＋ 3 ＋ 7 6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示 离散系统的信号流图与连续系统的信号流图，基本原理完全相同，由节点和支路组成。 同时信号流图与方框图存在直接的对应关系，一般可以直接将方框图改成信号流图的形式。 例如： ＋ ＋ z-1 x[n] y[n] w[n] b0 b1 a y[n] x[n] b0 b1 a z-1 6.3 IIR系统的基本结构 对于一个可以用线性常系数差分方程来表示的离散时间系统而言，其信号流图的形式往往不是唯一的，这些不同的信号流图，代表着相同的输入输出关系，和不同的内部实现结构。经常需要根据具体情况，选择不同的结构。 如前文介绍的，IIR系统的差分方程中，同时包含输入x[n]和输出y[n]的时间延迟项，其基本结构有： 直接型 级联型 并联型 注意，方框图和信号流图一般都是表示实现方式的（也就是表示实际系统的结构），因此一般各个子系统的系数都为实数。 直接型 直接型即直接可以从差分方程： 观察得到的连接方式，也即前面方框图中所提到的直接I型和直接II型，只要将其转换为信号流图形式。 … … … … z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aN y[n-1] y[n-2] y[n-N+1] y[n-N] x[n-1] x[n-2] x[n-M+1] x[n-M] y[n] x[n] v[n] 直接I型 直接II型 … … … z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bN-1 bN a1 a2 aN-1 aN y[n] x[n] w[n] 级联型 因式 用信号流图表示为： z-1 b z-1 a 因式 用信号流图表示为： 由于系统函数一般都能分解成上述两种因式的乘积，也即将H z 写为： 其中一阶因子直接可用上述信号流图来表示，而每一对（通常还将分子与分母各一对二阶因子配成一个子系统，以减少延迟环节）二阶因子，即： 可用信号流图表示为： z-1 b1 z-1 b2 a1 a2 b0 例 当然，也可以拆分成一个一阶系统对，和一个二阶系统对，用直接II型来实现，以减少延迟环节： z-1 2 z-1 7 1 5 z-1 1 0.5 z-1 z-1 1 5 z-1 0.5 z-1 z-1 2 7 z-1 1 最直观地是从直接I型来实现： 并联型 将H z 作部分分式展开，有： 其中N N1+2*N2；N0＝M-N（M≥N），如果M N，则第一项不存在。 经常将实极点成对组合，则系统函数可分解为： 如果M N，则第一项不存在，后项中的每一子项，都可以由下列结构实现： z-1 e1 z-1 a1 a2 e0 再将这些子项并联相加，就得到整个系统的结构。 z-1 8 z-1 0.75 -0.125 -7 8 x[n] y[n] 经过上式的拆分，可以用并联型结构来实现： x[n] y[n] z-1 z-1 0.5 0.25 -25 18 8 或者将上式拆分两个一阶的部分分式： 则有信号流图： 注意到这种并联型联结方式，和前面一种并联型结构，所用到的延迟环节是一样多的。 并且如果用直接II型结构，同样也是两个延迟环节。 这些不同的结构，在延迟环节上没有效率的差别，因而在实用中，就根据不同的具体情况，加以选择。 6.4 转置形式 将网络中所有支路的方向颠倒，但保持支路增益不变，并将输入与输出也颠倒过来，以使得源节点变成汇节点，汇节点变成源节点，则得到了系统的一种新的结构。这一过程，成为转置。 转置流图与原流图有相同的系统函数。 z-1 y[n] x[n] a z-1 y[n] x[n] a 按前向通道从左到右 转置 z-1 y[n] x[n] a 容易看出，转置前后，系统函数均为： 直接I型与转置 … … … … z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aN y[n] x[n] 直接I型 … … … … z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 a1 a2 aN-1 aN b1 b2 bM-1 bM y[n] x[n] 转置