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条件期望的性质和应用
1 条件期望的几种定义
1.1 条件分布角度出发的条件期望定义
从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望
设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为，
，对一切使的，称

为给定条件下X的条件分布列。
此时条件分布函数为 ；
同理，对一切使的，称

为给定条件下Y的条件分布列。
此时条件分布函数为 。
故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下
或。
定义2 连续随机变量的条件期望
设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为，边际密度函数为
和。
对一切使>0的，给定条件下X的条件分布函数和条件密度函数
分别为，；
同理对一切使>0的，给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度
函数分别为，。
故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下
或。
2 条件期望的性质
2.1 一般性质
因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数
学期望的所有性质。
性质1 若c是常数，则；
性质2 对任意常数，有；
性质3 对任意的两个函数和，有
；
性质4 若、相互独立，则。
根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：
推论 1 ，
其中均是常数时，特别有
。
推论 2 若相互独立，则
。
注意：对于“和” ，不要求相互独立，对于“积” ，则要求
相互独立。
2.2 特殊性质
引理 随机变量和的相关系数在坐标平移变换中保持不变。
证明：设平移变换，（为常数）
由期望和方差的性质易知

3 条件期望的应用
3.1 利用条件期望计算数学期望
由条件期望的定义1可知，要计算，可取在条件下，的条件期
望的加权平均，加在每一项的权重等于作为条件的那个事件的概率，
这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往
能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。
例1假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设
每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内
进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。
解：令表示进入这个景点的游客人数，令表示第个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为，现在有

而 (由与的独立性知)
其中。这意味着，因此

故由上面的结果可知，某天游客总消费钱数的期望值为300元。
例2一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3
小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第
三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选
定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？
解：令表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），表示他最初
选定的门，应用全数学期望公式，有

，
易知；
现在考虑计算。设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又
转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因此，他要到达安全地点平均还需要小时，故
；
类似地，有 ，
从而 。
解得 。
所以他到达安全地点平均要花15小时。
此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一
说明。
例 3箱内有个白球和个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得
白球为止，求被取出的黑球的平均数。
解：设表示被取出的黑球数，记，定义
，如第一个被抽出的球是白色；
，如第一个被抽出的球是黑色。
则 。
但是 ，
，

于是 ，
,
。
用归纳法易证 。
3.2 利用条件期望求随机变量的方差
因为对任一随机变量，有公式，因此可用条件期
望来计算方差。
例4若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元；
若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。根据历史数据
记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第张保单理赔的概率分布。
解：用表示理赔次数，表示有死亡事故发生需要赔付；
则表示事故发生不需要赔付。
若用表示需要赔付的数额，不再是一个常数，而是一个与有关的随
机变量，依题意有
，
而且令，
则，
。
因此，记，其中的条件分布概率为
，
且有

则

例5 接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为。设表示出现首
次成功所需的试验次数，求。
解：设，如第一次实验结果成功；
，如第一次实验结果失败。
因为

因此

或
故

在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。
3.3 条件期望在商业决策中的应用
在商业竞争中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况作出合理的
预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。这就要求决策者们根据以往
的销售情况及最新的信息资料进行综合分析作出决策。利用贝叶斯公计算条
件数学期望，就是商业决策中的一种方法，下面以具体实例来介绍此方法的运用。
例6 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器甲生产的占，机
器乙生产的占，机器丙生产的占。 平均说来，机器甲生产的零件有
不合格，对于机器乙和丙，相应的百分数分别是和。如果从总产品中任意
的抽取一个零件，发现为不合格，试问：
（1）它是由机器甲生产出来的概率是多少?
（2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大?
分析：本例是在“取得的零件为不合格品”已经发生的条件下，计算该零件
由机器甲、乙、丙生产的概率，即由“结果”“推断”“原因”发生的概率。考虑
用贝叶斯公式，令
“取得的零件为不合格品”，
“取得的零件由机器甲生产的”，
“取得的零件由机器乙生产的”，
“取得的零件由机器丙生产的”，
则 , , ,
, , 。
（1）根据题意指的是计算,由贝叶斯公式，有

。
（2）类似（1）的计算，可得
，
。
可见，机器甲生产的可能性最大。
例7某服装商场根据以往的资料，预测服装在未来一段时间内畅销的概率为，滞销的概率为，现有两种销售方案（1）打折处理：预计在商品畅销时可获利6万元，在商品滞销时可获利2万元；（2）对商品重新包装，做广告宣传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时将损失4万元。
为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实际畅销的概率为，实际滞销的概率为；原来认为滞销的商品实际畅销的概率为，实际滞销的概率为，根据这些资料我们来分析一下，采用哪种销售方案最佳。
分析：我们用表示预测商品畅销，表示预测商品滞销，表示实际商品畅销，表示实际商品滞销，表示采取第一方案所取得的利润，表示采取第二方案所取得的利润。
则取值为6，2，取值为10，-4。且与表示预测商品畅销，即事件；与表示预测商品滞销，即事件。
于是，，, ,
, , 由贝叶斯公式知

，

，

，

。
因此，实际畅销商品采取第一方案的利润均值为

，
实际滞销商品采取第一方案的利润均值为

，
实际畅销商品采取第二方案的利润均值为

,
实际滞销商品采取第二方案的利润均值为

。
由此可以看出，不论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一销售方案的利润均值（条件期望）都大于第二方案，故应采取第一方案进行销售。

结束语
通过本文的讨论可以看出，条件期望定义和性质的学习是有一定难度的，但是它在数学与其他领域都有着广泛的应用。如果我们能对其进行系统的学习和总结，而且在适当时候应用上述定理对问题加以分析，那我们就可以对问题有更加深入更加广泛的了解。
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