题库 线性代数.doc

行列式
一、 选择题
1．3阶行列式中第二行第一列元素a21的代数余子式A21=（　　　）(容易)
A．-2 B．1
C．-1 D．2
2．行列式中第二行第一列元素的代数余子式=（　　　）（中等）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
3.设行列式=4，则行列式=（ ）(容易)
A.12 B.24
C.36 D.48
4．设行列式=2，则=（ ）(容易)
A．-12 B．-6
C．6 D．12
5．设行列式=2，则=（ ）（较难）
A．-6 B．-3
C．3 D．6
6．设行列式D1=，D2=，则D1=（ ）(容易)
A．0 B．D2
C．2D2 D．3D2
7.设行列式（ ）（难）
A. B.1
C.2 D.
8．设A为三阶矩阵，且，则 = ( ) （较难）
A.-9 B.-1
C.1 D.9
9．设A为3阶矩阵，|A|=1，则|-2AT|=（ ）（较难）
A．-8 B．-2
C．2 D．8
10.设A为3阶方阵，且|A|=4，则|-2A|=( ) （中等）
A.-32 B.-8
C.8 D.32
11.已知行列式=0，则数a =（ ）（中等）
A.-3 B.-2
C.2 D.3
12.若齐次线性方程组 有非零解，则k=( ) （较难）
A.-2 B.-1
C.0 D.2
13.已知非齐次线性方程组无解，则数a=( )
A. B. 0 C. D. 1
二、 填空题
14．=________（中等）
15．=_ （较难）
16.=_________（较难）
17. =_ （较难）
18．若=0，则k=__________（中等）
19．若=0，则k=_________________________(容易)
20．已知行列式，则______(容易)
21．四阶行列式中，项a31a22a43a14的符号是____________（中等）
22．四阶行列式中含有因子a13a31的项为 （较难）
23.行列式中第4行各元素的代数余子式之和为 （难）
24.设Ai2(i=1,2,3,4)是行列式 中元素ai2的代数余子式，
则7A12+9A22+3A32+6A42=
25.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=___________（较难）
26.已知非齐次线性方程组有无穷多个解，则k=
三、计算题
27.计算4阶行列式D=（一般）
28.计算3阶行列式D=(一般)
29.计算4阶行列式D=（较难）
30．计算4阶行列式D=（较难）
31.计算4阶行列式D=（较难）
四、分析、证明题
32．（较难）设ａ、ｂ、ｃ是互异的实数，证明
33．.设，试证明方程有小于１的正根.（较难）
34. 问a为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？（较难）
35. 设非齐次线性方程组 确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（较难）
矩阵
一、选择题
1．设二阶矩阵=，则=（　　　）（易）
A． B． C． D．
2. 设与均为可逆矩阵，则下列各式中不正确的是( ）（易）
A． B．
C． D．
3.设与均为矩阵，满足，则必有( )（中等）
A．或 B． C．或 D．
4.设阶方阵满足，则必有（　　　）（中等）
A. B. C. D.
5.设为阶方阵，且满足，则下列结论正确的是（ ）（中等）
A. B.，则 C.，则 D.，则
6.设A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T=（ ）（易）
A. ATBTCT B. CTBTAT C. CTATBT D. ATCTBT
7.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ）（易）
A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1
C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1
8.设是可逆矩阵，且，则（　 ）（易）
　　A. B. 　 C.　　 　　D.
9.设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（ 　）（易）
A.　　 B. 　　 C. 　　　　D.
10.设和均为矩阵,则必有（ ）（中等）
(A) (B)
(C) (D)

二、填空题
11.设,,则 （易）
12.设，，则 （易）
13.设则当满足 时，（较难）
14.已知,设,其中是的转置,则
15.设，则当满足条件 时，可逆（易）
16.设3阶矩阵，则=_____________（易）
17.已知阶方阵可逆，则 ， （中等）
18.设均为阶矩阵,,则 （难）
19.设矩阵满足,其中为单位矩阵,则 （中等）
20.设矩阵,则 （中等）
三、计算题
21.设， ，求及．（中等）
22.设， ，求和.（中等）
23.设
(1)求；(2)设，求.（中等）
24.若，其中，，求（较难）
25.设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求.（中等）
26.已知,其中
，,
求及.（难）
四、证明题
27.已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵.（中等）
28.已知对于阶方阵,存在自然数,使得.试证明矩阵可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).（较难）
29.设是阶矩阵,满足(是阶单位矩阵,是的转置矩阵),,求.（较难）
30.设阶矩阵和满足条件.
(1)证明为可逆矩阵;
(2)已知,求矩阵
向量组的线性相关性
一、选择题
1.设3阶方阵,其中为的列向量，若==6，则=（ ）(较易)
A.-12 B.-6 C.6 D.12
2.设,其中是三维列向量，若，则=( ) (中等)
A．-24 B．-12 C．12 D．24
3．设向量组=（1，2），=（0，2），=（4，2），则（ ）（中等）
A．，线性无关 B．不能由线性表示
C．可由线性表示，但表示法不惟一
D．可由线性表示，且表示法惟一
4. 设为维向量，下列结论正确的是(较难)
A．若，则线性相关
B．若任意一组不全为零的数，有，则线性无关
C．若线性相关，则对任何一组不全为零的数有
D．若，则线性相关
5．下列命题中错误的是（　　　）（较易）
A．只含有一个零向量的向量组线性相关
B．由3个2维向量组成的向量组线性相关
C．由一个非零向量组成的向量组线性相关
D．两个成比例的向量组成的向量组线性相关
6.设是三维实向量，则（ ）（较易）
A.一定线性无关 B.一定可由线性表出
C.一定线性相关 D.一定线性无关
7．已知向量组线性无关，,线性相关，则（　）（较易）
A．必能由,线性表出 B．必能由线性表出
C．必能由,线性表出 D．必能由线性表出
8.设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件是 （难）
A．向量组可由向量组线性表示
B．向量组可由向量组线性表示
C．向量组与向量组等价
D．矩阵与矩阵等价
9．设向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，则（中等）
A．若向量组（Ⅰ）线性无关，则；
B．若向量组（Ⅰ）线性相关，则；
C．若向量组（Ⅱ）线性无关，则；
D．若向量组（Ⅱ）线性相关，则。
10．已知，是的两个不同的解，，是相应齐次方程组的基础解系，，是任意常数，则的通解是（ ）（较难）
A． B．
C． D．
二、填空题
11.设=（1，1，-1），=（-2，1，0），=（-1，-2，1），则=_________.（较易）
12．设向量=(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量满足2+=3,则=____________.
13．已知向量组线性相关，则数k=________.（较易）
14.已知向量组=（1，2，3），=（3，-1，2），=（2，3，k）线性相关，则数k_________.（中等）
15.已知向量组=（1，2，3），=（3，-1，2），=（2，3，k）线性无关，则数k_________.（中等）
16.设向量组，，线性无关，则向量组，，线性无关的充分必要条件是常数满足条件。（难）
17.设线性无关的向量组…，可由向量组…线性表示，则r与s的关系为____________.（中等）
18.已知向量组的秩为2，则数t=____________.（中等）
19.向量组=（1，2，0），=（2，4，0），=（3，6，0），=（4，9，0）的秩为_______.（中等）
20.n阶矩阵A的各行元素之和为0，且R(A)=n-1，则方程组的通解为_____.（较难）
三、解答题
21. 把向量表示成向量组的线性组合.（简单）
22.设，
（1）为何值时，不能由线性表示；
（2）为何值时，能由唯一的线性表示，并写出线性表示式.（较难）
23.确定常数，使向量组可由向量组线性表示，但是向量组不能由向量组线性表示。（难）
24．设向量组=(1,3,0,5)T，=(1,2,1,4)T，=(1,1,2,3)T，=(1,0,3,k)T，
确定k的值，使向量组的秩为2，并求该向量组的一个极大线性无
关组.（简单）
25.设向量组=(2,1,3,1)T，=(1,2,0,1)T，=(-1,1,-3,0)T，=(1,1,1,1)T，
求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其
余向量. （中等）
26.求齐次线性方程组的基础解系与通解.（中等）
27.求非齐次方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系.（中等）
四、证明题
28. 设线性无关，证明也线性无关.（简单）
29. 已知向量组线性无关，证明：向量组线性无关.（简单）
30. 设维向量组(I)：；向量组(II)：，，，证明：R(I)=R(II)。（较难）
线性方程组
一、选择题
1.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）(中等)
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2
B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2
C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0
D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0
2．设A为m×n矩阵，m≠n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（　　　）（中等）
A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n
3．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则( )（中等）
A．A=0 B．A=E C．秩(A)=n D．0<秩(A)<n
4．设A为m×n矩阵，且m＜n，则齐次方程AX=0必( )（较难）
A．无解 B．只有唯一解 C．有无穷解 D．不能确定
5.若方程组有无穷多解，则λ=( )（较难）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知线性方程组无解，则数a=( )（中等）
A. B. 0 C. D. 1
7.若方程组 有唯一解，则=( )（较难）
A.1或2 B．-1或3 C．1 或3 D．-1或-3
8．设齐次线性方程组有非零解，则为（ ）（中等）
A．-1 B．0 C．1 D．2
9.设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的（）（较易）
A．+是Ax=0的解 B．+是Ax=b的解
C．-是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解
10.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（中等）
A.1 B.2 C.3 D.4
11. 下列矩阵不是初等矩阵的是（）(较易)
A. B. C. D.
二、填空题
12.设线性方程组有无穷多个解，则=_________.（较难）
13．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_________.（中等）
14.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=_________.（较易）
15.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为___________.（难）
16.三元方程x1+x3=1的通解是______（中等）.
17.设方程组有非零解，且数则__________（较难）
18.设，，求=__________________.（中等）
19.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为________________. （中等）
20．矩阵方程X=的解X=_________.（中等）
21.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=，α2=，且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.（难）
22.若为齐次方程组的解，则为方程组________的解.（中等）
23.若为非齐次方程组的解，则为方程组________的解.（中等）
三、计算题
24.求下列齐次线性方程组的基础解系和通解：（较难）
（1）
（2）
25.用对应导出组的基础解系表示下列非齐次线性方程组的通解：（较难）

26.求该非齐次线性方程组的通解：（较难）

27.确定a的值使下列线性方程组有解，并求其解。（较难）

28. 确定a的值使下列线性方程组有解，并求其解。（难）

29．问a为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其通解.（较难）
30. 设非齐次线性方程组
(1) 确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解. （难）