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第六部分 应用统计学

一、简答题
1 .什么是标志和指标？两者有何区别与联系？
标志是说明总体单位具有的特征，指标是说明总体的综合数量特征的。
区别：⑴标志是说明总体单位（个体）特征的；而指标是说明总体特征的。⑵标志中的数量标志是可以用数值表示，品质标志不能用数值表示；而所有的指标都是用数值表示的，不存在不能用数值表示的指标。⑶标志中的数量标志不一定经过汇总，可以直接取得；而指标是由数量标志汇总得来的。⑷标志一般不具备时间、地点等条件；而作为一个完整的统计指标，一定要有时间、地点、范围。
联系：⑴一般来说，指标的数值是由标志值汇总而来的；⑵标志和指标存在着一定的变换关系。

2. 某工业企业为了解本企业工人的文化程度，进一步加强工人业余文化技术学习，于2005年12月28日向所属各车间颁发调查表，要求填报2005年底所有工人的性别、姓名、年龄、工龄、工种、技术等级、现有文化程度等7个项目。
⑴指出上述调查属于什么调查？
⑵调查对象、调查单位、填报单位是什么？
⑶具体指明调查时间

⑴一次性的全面调查
⑵调查对象：该工业企业的全部职工
调查单位：该工业企业的每一职工
填报单位：每一车间
⑶调查时间：2005年底（即2005年12月31日）

3. 什么叫总量指标？计算总量指标有什么重要意义？总量指标的种类如何分法？
⒈总量指标是反映社会经济现象总体规模或水平的统计指标。
计算总量指标的意义是：
⑴总量指标是对社会经济现象总体认识的起点。
⑵总量指标是实行社会管理的依据之一。
⑶总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。
总量指标可按不同的标志进行分类，一般按其反映的内容和时间状况分类。
⑴按反映总体内容的不同划分，可分为总体单位总量和总体标志总量。
⑵按其反映的时间状况不同，可分为时点指标和时期指标。
⑶按其表现形式不同，可分为实物指标、价值指标与劳动指标。

4. 什么是相对指标？相对指标的作用有哪些？
相对指标是运用对比的方法，来反映某些相关事物之间数量联系程度的综合指标。
相对指标的主要作用是：⑴能够表明现象的相对水平、普遍程度及比例关系；⑵可以使一些不能直接对比的现象总量找到对比的基础；⑶可以表明事物的发展程度、内部结构及比例；⑷可以使不能用总量指标直接对比的非同类现象之间，能够进行比较；⑸是进行计划管理和考核企业经济活动成果的重要指标之一。

5. 在分析长期计划执行情况时，水平法和累计法有什么区别？
在分析长期计划执行情况时，水平法和累计法的主要区别在于：水平法适用于检查按水平法规定任务的长期计划，用报告期的实际完成数与长期计划的任务数对比进行检查。累计法适用于检查短期计划和按累计法规定任务的长期计划，用从期初累计至报告期止的实际数与计划任务数对比进行检查。

6. 序时平均数与一般平均数有什么相同点和不同点？
序时平均数和一般平均数的相同点是两种平均数都是所有变量值的代表数值，表现的都是现象的一般水平。不同点是序时平均数平均的是现象在不同时间上指标数值的差别，是从动态上说明现象的一般水平，是根据时间数列计算的；而一般平均数平均的是现象在同一个时间上的数量差别，是从静态上说明现象的一般水平，是根据变量数列计算的。
7. 水平法和累计法计算平均发展速度有什么不同？
水平法和累计法计算平均发展速度的区别在计算平均发展速度时，它们的数理根据、计算方法和应用场合各不相同。水平法侧重点是从最后水平出发来进行研究，而累计法的侧重点是从各年发展水平的累计总和出发来研究的。
8. 什么叫长期趋势？研究长期趋势的主要目的是什么？
所谓长期趋势，是指客观现象在某一个相当长的时期内持续变化的趋势。
⑴测定和分析过去一段相当长的时间之内客观现象持续向上增长或向下降低的发展趋势，从而认识和掌握现象发展变化的规律性。
⑵通过分析现象发展的长期趋势，为统计预测提供必要条件。
⑶测定长期趋势，可以消除原有时间数列中长期趋势的影响，以便更好地来研究季节变动等问题。
9. 时期数列和时点数列有什么不同？
时期数列和时点数列的不同点是：⑴时期数列的指标数值是连续计算的，时点数列的指标数值是间断计算的。⑵时期数列的指标数值可以直接相加，时点数列的指标数值不能直接相加（连续时点数列除外）⑶时期数列指标数值大小与所属时间长短成正比，时点数列的指标数值大小与所属时间长短没有直接关系。

10. 编制时间数列的原则是什么？
⑴时期长短应该相等；⑵总体范围应该一致；⑶指标的经济内容应该相同；⑷指标的计算方法、计算价格和计量单位应该一致。

11. 什么叫综合指数？有什么特点？
综合指数是总指数的基本形式，它是由两个总量指标对比形成的指数。凡是一个总量指标可以分解为两个或两个以上的因素指标时，将其中一个或一个以上的因素固定下来，仅观察其中一个因素指标的变动程度，这样的总指标数就叫做综合指数。
综合指数的特点是：①原则上分子分母所包含的研究对象范围必须一致；②它所反映的现象变动程度是它所综合的资料的范围内该现象的变动程度；③它可以按范围逐步扩大，将分子、分母分别进行综合以编制出更大范围的指数；④它所需要的资料都是全面资料，不存在抽样问题。

12. 综合指数和平均数指数有何联系和区别？
综合指数和平均数指数的区别与联系是：⑴联系：在一定权数下，两类指数间有变形的关系。⑵区别：平均数指数不只是作为综合指数的变形而使用的，它本身也是种独立的指数，具有广泛的使用价值。

13. 平均数指数在什么条件下才能成为综合指数的变形？
平均数指数要成为综合指数的变形，必须在一定权数的条件。具体地讲，加权算术平均数要成为综合指数的变形，必须在p0q0这个特定的权数条件下；加权调和平均数要成为综合指数的变形，必须在p1q1这个特定权数条件下。
14. 什么叫同度量因素？作用是什么
同度量因素是在指数的计算中把不能相加的因素乘上一个因素，变成价值形态再进行动态对比。这里把乘上的这个因素叫同度量因素。它的作用是：①起到同度量的作用，②起到权数的作用。

15. 相关关系与函数关系的区别和联系是什么？
区别在于：函数关系是变量之间的一种完全确定性的关系，一个变量的数值完全由另一个变量的数值所确定与控制；相关关系一般不是完全确定，对自变量的一个值，与之对应的因变量不是唯一的。
联系在于：二者都是反映了变量之间的相互依存关系，当变量之间的相关关系较为密切时，用函数关系来对相关关系作近似的代替，即进行回归分析。

16. 相关关系按形式与程度不同分为哪几类？
⑴按相关关系涉及的变量多少，相关关系可分为单相关和复相关；⑵按相关的方向不同，相关关系可分为正相关和负相关；⑶按相关的表现形式不同，相关关系可分为线性相关（直线相关）和非线性相关（曲线相关）；⑷按相关的密切程度不同，相关关系可分为完全相关、不完全相关和不相关。

17. 相关分析的主要内容有哪些？
⑴确定变量之间有无相关关系，以及相关关系的表现形式；⑵确定相关关系的密切程度；⑶选择合适的数学方程式；⑷测定变量估计值的准确程度；⑸对回归方程进行显著性检验。

二、计算题
⒈某地区工业企业按职工人数分组如下：
100人以下
100-499人
500-999人
1000-2999人
3000人以上
说明分组的标志变量是离散型的还是连续型的，属于什么类型的组距数列。

分组标志是离散型数量标志，组限不重叠；属于开口异距数列，是不连续或离散型变量数列。

⒉下面是某公司工人月收入水平分组情况和各组工人数情况：
月收入（元） 工人数（人）
400-500 20
500-600 30
600-700 50
700-800 10
800-900 10
指出这是什么组距数列，并计算各组的组中值和频率分布状况。

闭口等距组距数列，属于连续变量数列，组限重叠。各组组中值及频率分布如下：
组别
组中值
频率（%）
400-500
450
16.7
500-600
550
25.0
600-700
650
41.7
700-800
750
8.3
800-900
850
8.3

⒊ 抽样调查某省20户城镇居民平均每人全年可支配收入（单位：百元）如下：
88 77 66 85 74 92 67 84 77 94 58 60 74 64 75 66 78 55 70 66
⑴根据上述资料进行分组整理并编制频数分布数列
⑵编制向上和向下累计频数、频率数列
⑶根据所编制的频数分布数列绘制直方图和折线图。

⑴⑵
某省20户城镇居民平均每人全年可支配收入分布表
全年可支配收入
户数
比例（％）
向上累计户数
向上累计比例
向下累计户数
向下累计比例
60以下
3
15.0
3
15.0
20
100.0
60－70
6
30.0
9
45.0
11
85.0
70－80
6
30.0
15
75.0
17
55.0
80－90
3
15.0
18
90.0
5
25.0
90以上
2
10.0
20
100.0
2
10.0
合计
20
100.0
—
—
—
—
⑶图略

4. 某企业生产情况如下：

2005年总产值
2006年总产值
计划（万元）
实际（万元）
完成计划（%）
计划（万元）
实际（万元）
完成计划（%）
一分厂

200
105
230

110
二分厂
300

115
350
315

三分厂

132
110
140

120
企业合计

要求：⑴填满表内空格
⑵对比全厂两年总产值计划完成程度的好坏。

⑴某企业生产情况如下： 单位：（万元）

2005年总产值
2006年总产值
计划
实际
完成计划%
计划
实际
完成计划%
一分厂
（190.48）
200
105
230
（253）
110
二分厂
300
（345）
115
350
315
（90）
三分厂
（120）
132
110
140
（168）
120
企业合计
（610.48）
（677）
（110.90）
（720）
（736）
（102.22）
⑵该企业2005年的计划完成程度相对数为110.90%，而2006年只有102.22%，所以2005年完成任务程度比2006好。

5. 某工厂2006年计划工业总产值为1080万吨，实际完成计划的110%，2006年计划总产值比2005年增长8%，试计算2006年实际总产值为2005年的百分比？
答案：118.8%

6. 某地区2006年计划利税比上年增长20%，实际为上年利税的1.5倍，试计算该地区2006年利税计划完成程度？
答案：125%

7. 某种工业产品单位成本，本期计划比上期下降5%，实际下降了9%，问该种产品成本计划执行结果？
答案：95.79%
8. 我国“十五”计划中规定，到“十五”计划的最后一年，钢产量规定为7200万吨，假设“八五”期最后两年钢产量情况如下：（万吨）

第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
第四年
1700
1700
1750
1750
第五年
1800
1800
1850
1900
根据上表资料计算：
⑴钢产量“十五”计划完成程度；
⑵钢产量“十五”计划提前完成的时间是多少？
答案：⑴102.08%；⑵提前三个月
9. 某地区2005年各月总产值资料如下：
月份
总产值（万元）
月份
总产值（万元）
1
4200
7
5000
2
4400
8
5200
3
4600
9
5400
4
4820
10
5400
5
4850
11
5500
6
4900
12
5600
请计算各季平均每月总产值和全年平均每月总产值。

第一季度平均每月总产值=4400万元
第二季度平均每月总产值≈4856.7万元
第三季度平均每月总产值=5200万元
第四季度平均每月总产值=5500万元
全年平均每月总产值=4989.2万元

10. 某企业2005年各月月初职工人数资料如下：
日期
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
2006年1月1日
职工人数（人）
300
300
304
306
308
314
312
320
320
340
342
345
350
请计算该企业2005年各季平均职工人数和全年平均职工人数。
第一季度平均职工人数≈302人
第二季度平均职工人数≈310人
第三季度平均职工人数=322人
第四季度平均职工人数=344人
全年平均职工人数≈320人

11. 2000年和第十个五年计划时期某地区工业总产值资料如下：
时期
2000年
2001年
2002年
2003年
2004年
2005年
工业总产值（万元）
343.3
447.0
519.7
548.7
703.6
783.9
请计算各种动态指标，并说明如下关系：⑴发展速度和增长速度；⑵定基发展速度和环比发展速度；⑶逐期增长量与累计增长量；⑷平均发展速度与环比发展速度；⑸平均发展速度与平均增长速度。
计算如果如下表：

单位
2000年
2001年
2002年
2003年
2004年
2005年
工业总产值
万元
343.3
447.0
519.7
548.7
703.6
783.9
累计增长量
万元
—
103.7
176.4
205.4
360.3
440.6
逐年增长量
万元
—
103.7
72.7
29.0
154.9
80.3
定基发展速度
%
—
130.21
151.38
159.83
204.95
228.34
环比发展速度
%
—
130.21
116.26
105.58
128.23
111.41
定基增长速度
%
—
30.21
51.38
59.83
104.95
128.34
环比增长速度
%
—
30.21
16.26
5.58
28.23
11.41

“十五”时期工业总产值平均发展速度==117.96%
各种指标的相互关系如下：
⑴增长速度=发展速度－1，如2001年工业总产值发展速度为130.21%，同期增长速度=130.21%－100%=30.21%
⑵定基发展速度=各年环比发展速度连乘积，如2005年工业总产值发展速度228.34%=130.21%×116.2%×105.58%×128.23%×111.41%
⑶累计增长量=各年逐期增长量之和，如2005年累计增长量440.6=103.7+72.7+29.0+154.9+80.3
⑷平均发展速度等于环比发展速度的连乘积再用其项数开方。如“十五”期间工业总产值平均发展速度==117.96%
⑸平均增长速度=平均发展速度－1，如“十五”期间平均增长速度17.96%=117.96%－100%

12. 某国对外贸易总额2003年较2000年增长7.9%，2004年较2003年增长4.5%，2005年又较2004年增长20%，请计算2000-2005每年平均增长速度。
答案：2000-2005年每年平均增长速度=6.2%

13. 某工厂工人和工资情况如下表：
计算：平均工资的可变构成指数，固定构成指数和结构影响指数，并分析。

平均人数（人）
平均工资（元）
基期
报告期
基期
报告期
技术工人
一般工人
200
400
300
900
800
500
1000
600
合计
600
1200
——
——

⑴平均工资可变构成指数116.67%
固定构成指数121.74%
结构影响指数95.83%
⑵全厂工人平均工资提高100元
技工普工平均工资提高使总平均工资提高125元。
由于一般工人增加过快，将全厂工人平均工资拉下25元。

14. 某工业企业甲、乙、丙三种产品产量及价格资料如下：
产品名称
计量单位
产量
价格（元）
基期
报告期
基期
报告期
甲
乙
丙
套
吨
台
300
460
60
320
540
60
360
120
680
340
120
620
要求：⑴计算三种产品的产值指数、产量指数和价格指数；
⑵计算三种产品报告期产值增长的绝对额；
⑶从相对数和绝对数上简要分析产量及价格变动对总产值变动的影响。

产
品
名
称
计 算 单
位
产 量
价格（元）
产 值（元）

基期q0
报告
期
q1

基期p0
报告
期
p1

基 期
q0p0

报告期
q1p1
按基期价格计算的报告 期产值
q1p0
（甲）
（乙）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）=（1）×（3）
（6）=（2）×（4）
（7）=（2）×（3）
甲
套
320
320
360
340
108000
108800
115200
乙
吨
460
540
120
120
55200
64800
64800
丙
台
60
60
680
620
40800
37200
40800
合 计
－
－
－
－
－
204000
210800
220800

⑴三种产品产值指数=1.0333=103.33%
⑵报告期总产值增加的绝对额=210800－204000=6800（元）
⑶产量综合指数=1.0824=108.24%
对产值的影响数额=220800－204000=16800（元）
⑷价格综合指数=0.9547=95.47%
对产值的影响数额=210800－220800=－10000（元）
⑸分析说明：根据上面计算结果可见，报告期总产值比基期增长了3.33%，比基期增加了6800元，这是由于产量增长了8.24%，使产值增加了168000元，价格降低4.53%，使产值减少了10000元，综合影响的结果。
即：103.33%=108.24×95.47%
6800元=16800元+（－10000）元

15. 某市纺织局所属企业有关资料如下：
企业名称
工人数（人）
劳动生产率（元）
基期
报告期
基期
报告期
甲
乙
丙
6000
3000
1000
6400
6000
3600
5000
4000
2500
6000
5000
3000
要求：计算劳动生产率可变构成指数、固定构成指数和结构影响指数；并从相对数和绝对数上对劳动生产率的变动原因进行简要分析。
某市纺织局所属3个企业有关劳动生产率指数计算表
企业名称
工人数（人）
劳动生产率（元）
总产值（万元）
基 期
f0
报告期
f1
基 期
q0
报告期 q1
基 期
f0q0
报告期
f1q1
假定期
f1q0
（甲）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）=（1）×（3）
（6）=（2）×（4）
（7）=（2）×（3）
甲
6000
6400
5000
6000
3000
3840
3200
乙
3000
6000
4000
5000
1200
3000
2400
丙
1000
3600
2500
3000
250
1080
900
合 计
10000
16000
4150
4950
4450
7920
6500

⑴全局的有关的平均劳动生产率为：
基期的=4450（元）
报告期的=4950（元）
假设的=4062.5（元）
⑵劳动生产率可变构成指数及差额
=1.1124=111.24%
=4950－4450=500（元）
⑶劳动生产率固定构成指数及影响数额
=1.2185=121.85%
=4062.5－4450=－387.5（元）
⑷简要分析：计算结果说明，该纺织局劳动生产率提高了11.24%，增加了500元，这是由于各企业劳动生产率提高21.85%，增加887.5元，以及全局不同劳动生产率水平的工人人数构成变动使劳动生产率降低83.71%，减少387.5元，这两个因素综合变动的结果。
即：111.24%=121.85%×91.29%
500=887.5+（－387.5）

16. 某地工业局所属3个生产同种产品的企业单位产品成本及产量资料如下：
企业名称
单位产品成本（元）
产量（万架）
基期
报告期
基期
报告期
代表符号

甲
乙
丙
18
20
24
18
18
12
40
60
60
80
80
40
要求：⑴计算该局所属3个企业基期及报告期的总平均单位产品成本水平及指数；
⑵从相对数和绝对数上分析说明总平均单位产品成本变动中，受单位产品成本水平与产量结构变动的影响。
某地工业局所属3个企业同种产品有关平均单位产品成本指数计算表

单位产品成本（元）
产量（万架）
生产费用总额（万元）
基 期
Z0
报告期
Z1
基 期
q0
报告期 q1
基 期
q0 Z0
报告期
q1 Z1
假设的
q0 Z1
（甲）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）=（1）×（3）
（6）=（2）×（4）
（7）=（1）×（4）

甲
18
185
40
80
720
1440
1440
乙
20
18
60
80
1200
1440
1600
丙
24
24
60
40
1440
960
960
合 计
—
—
160
200
3360
3840
4000

⑴有关的总平均单位产品成本
=21（元）

（元）
（元）
⑵单位产品成本可变构成指数及变动数额
0.9143=91.43%
=19.2－21=－1.8（元）
⑶单位产品成本固定构成指数及影响数额
=0.96=96%
=19.2－20=－0.8（元）
⑷分析说明：计算结果表明，该工业局总平均单位产品成本降低了8.57%，单位成本降低了1.8元，这是由于单位产品成本水平降低了4%，影响总的成本降低0.8元，全局不同的单位产品成本的企业产品产量构成变动影响使总平均成本降低了4.76%，降低1元，综合影响的结果。
即：0.9143=0.96×0.9524
19.2－21=（19.2－20）+（20－21）－1.8=（－0.8）+（－1）

第七部分 运筹学
一、单选题（1．D 2．C 3．D 4．B 5．B）
1．对于线性规划问题，下列说法正确的是（ ）
A、线性规划问题可能没有可行解
B、在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域
C、线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达
D、上述说法都正确
2．下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（ ）
A、所有的变量必须是非负的
B、所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式
C、添加新变量时，可以不考虑变量的正负性
D、求目标函数的最大值
3．在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（ ）
A、西北角法 B、位势法 C、闭回路法 D、以上都是
4．设某一线性规划目标函数极大化问题的单纯形表中有，而Pj<0。则下列说法正确的是（ ）。
A、该线性规划问题无解 B、该线性规划问题的解无界
C、该线性规划问题有唯一解 D、该线性规划问题有无穷多个解
5．下列说法正确的是（ ）。
A、基本解一定是可行解 B、基本可行解每一个分量一定是非负的
C、若B是基，则B一定不可逆 D、以上说法都正确
得分
评分人

二、判断题（1、× 2、√ 3、√ 4、× 5、√ 6、× 7、√ 8、√ 9、× 10、× 11、√ 112、× 13、√ 14、× 1 5、√）
1、图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。( )
2、用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数≥0，则问题达到最优。 ( )
3、在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。 ( )
4、满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。 ( )
5、在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。 ( )
6、对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。 ( )
7、原问题与对偶问题是一一对应的。 ( )
8、运输问题的可行解中基变量的个数一定遵循m＋n－1的规则。 ( )
9、线性规划数学模型中的决策变量必须是非负的。 ( )
10、基本可行解的个数不会超过变量的个数。 ( )
11、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。 ( )
12 网络最大流量是网络起点至终点的一条增广链上的最大流量。 ( )
13、到达排队系统的顾客为泊松分布，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间分布服从指数分布。 ( )
14、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态。 ( )
15、在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。 ( )
三、简答题
1、简述动态规划模型建立的条件。
（1）一个大前提：恰当的划分阶段，把问题描述为多阶段决策问题。
（2）四个条件：①正确的选择状态变量；
②确定决策变量及各阶段的允许决策集合；
③写出状态转移方程；
④根据题意列出阶段效应和目标函数。
（3）一个方程：在明确四个条件的基础上，写出动态规划的基本方程。

2、EOQ分析的主要假设是什么？
答：（1）需求是连续均匀的，需求速度为常数R，则t时间内的需求量为Rt；
（2）当库存量降至零时，可立即补充，不会造成缺货；
（3）每次订购费为C3，单位货物库存费为C1都为常数；
（4）每次订购量相同，均为Q0；
（5）缺货费无穷大。

3、库存的主要原因是什么？
答：适应生产和消费方面的动态需要

4、什么是线性规划问题的标准型？
线性规划模型满足下面四个条件就为标准型：
（1）目标函数取极大值；
（2）所有约束条件用等式表示；
（3）所有决策变量去非负值；
（4）每一约束条件右端常数为非负值。

5、在一个排队系统中，和各代表什么？
表示单位时间内顾客到达的平均数；
表示单位时间内被服务的顾客平均数。

6、排队的起因是什么？在M/M/1/∞/∞模型中，>，结果会怎样？
排队的起因是顾客到达的随机性；
在M/M/1/∞/∞模型中，>会使排队无限长。

四、计算题
1. 图解下列线性规划并指出解的形式：

最优解X＝（1/2，1/2）；最优值Z=－1/2

2. 将下列线性规划化为标准形式

令为松驰变量 ，则标准形式为

3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点。

图解法

单纯形法：
C(j)
1
3
0
0
b
Ratio
　C(i)
Basis　
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C(j)-Z(j)
1
3
0
0
0

3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
7
0
-3
0
6

3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2

1
X1
1
0
-0.375
0.125
3/4

C(j)-Z(j)
0
0
-0.375
-0.875
11.25

对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X(1)=（0，0，2，12）、
X(2)=（0，2，0，6，）、
X(3)=（、
（0，0）
（0，2）

最优解

4.用大M法求解下列线性规划：

（1）标准化

（3）单纯形法求解
C(j)
10
-5
1
0
-M
b.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X5
-M
[5]
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
-
C(j)-Z(j)
10+5M
-5+3M
1+M
0
0
0

X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2

X4
0
0
4
-9
1
1
25

C(j)-Z(j)
0
-11
-1
0
-2
20

最优解X＝(2，0，0) T；Z=20,。

5. 写出下列线性规划的对偶问题

【解】
6． 已知线性规划

的最优解，求对偶问题的最优解。
【解】其对偶问题是：

由原问题的最优解知，原问题约束①等于零，x1、x2不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，y1＝0；解方程

得到对偶问题的最优解Y=(5/2，5/2，0)；w＝55/2＝27.5

7. 某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下：
要求：⑴建立使利润最大的生产计划的数学模型；
⑵将数学模型化为标准形式；
⑶用表解形式的单纯形法求解；
⑷求最大利润。

甲 乙
可用量
原材料（吨/件）
工时（工时/件）
零件（套/件）
2 2
5 2.5
1
3000吨
4000工时
500套
产品利润（元/件）
4 3

解： ⑴设甲、乙两种产品的生产数量为x1、x2，
∵ x1、x2≥0
设z为产品售后总利润，则
max z = 4x1+3x2

s.t.

⑵加入松弛变量x3，x4，x5，得到等效的标准形式：
max z= 4x1+3x2+0 x3+0 x4+0 x5

s.t.

⑶用表解形式的单纯形法求解，列表计算如下：
CB
XB
b
4
3
0
0
0
θL
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
3000
2
2
1
0
0
3000/2 =1500
0
x4
4000
5
2.5
0
1
0
4000/5 =800
0
x5
500
（1）
0
0
0
1
500/1 =500

0
0
0
0
0

4↑
3
0
0
0

0
x3
2000
0
2
1
0
-2
2000/2 =1000
0
x4
1500
0
（2.5）
0
1
-5
1500/2.5 =600
4
x1
500
1
0
0
0
1
——

4
0
0
0
4

0
3↑
0
0
-4

0
x3
800
0
0
1
-0.8
（2）
800/2 =400
3
x2
600
0
1
0
0.4
-2
——
4
x1
500
1
0
0
0
1
500/1 =500

4
3
0
1.2
-2

0
0
0
-1.2
2↑

0
x5
400
0
0
0.5
-0.4
1

3
x2
1400
0
1
1
-0.4
0

4
x1
100
1
0
-0.5
0.4
0

4600
4
3
1
0.4
0

0
0
-1
-0.4
0

据上表，X*=（100，1400，0，0，400）T
⑷最大利润max z =4×100+3×1400=4600（元）

8. 给定下列运输问题：（表中数据为产地Ai到销地Bj的单位运费）
1）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；
2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。

B1 B2 B3 B4
si
A1
A2
A3
20 11  8 6
   5 9  10   2
 18 7   4   1
5
   10
15
dj
   3 3   12 12

解
1）先用最小费用法（最小元素法）求此问题的初始基本可行解：
地
产
用
费
地
销

B1
B2
B3
B4
Si
A1
20

11

8

6

5

3

2

×

×
A2
5

9

10

2

10

×

×

×

10
A3
18

7

4

1

15

×

1

12

2
dj
3
3
12

12
30

30
∴初始方案：

Z=20×3+11