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概率论与数理统计及其应用习题解答
第1章 随机变量及其概率
1，写出下列试验的样本空间：
（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）；（2）；（3）；（4）。
2，设是两个事件，已知，求。
解：，
，
，
3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为，所以所求得概率为
4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有个。（1）该数是奇数的可能个数为个，所以出现奇数的概率为
（2）该数大于330的可能个数为，所以该数大于330的概率为
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为；
（2） 所求概率为；
（3）所求概率为。
6，一公司向个销售点分发张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到张提货单的概率。
解：根据题意，张提货单分发给个销售点的总的可能分法有种，某一特定的销售点得到张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到张提货单的概率为。
7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。
（1）求3只球至少有1只配对的概率。
（2）求没有配对的概率。
解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以
（2）没有配对的概率为；
（1）至少有1只配对的概率为。
8，（1）设，求,
.
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
解：（1）由题意可得，所以
， ，
，
，
。
（2）设表示“第次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为（根据乘法公式）
。
9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件，“另一只也是红球”记为事件。则事件的概率为
（先红后白，先白后红，先红后红）
所求概率为
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以表示事件“一病人以为自己患癌症”，以表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解：（1）根据题意可得
；
；
（2）根据条件概率公式：；
（3）；
（4）；
（5）。
11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
；或者。
12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求
（1）该人两种症状都没有的概率；
（2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为；
（2）至少有一种症状的概率为；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为。
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线
通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1
0.4
0.9998
2
0.3
0.9999
3
0.1
0.9997
4
0.2
0.9996
解：设“讯号通过通讯线进入计算机系统”记为事件，“进入讯号被无误差地接受”记为事件。则根据全概率公式有
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。
解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件。根据全概率公式有
，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件。则根据全概率公式有
，
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
，
，
。
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件，“一讯息是可信的”记为事件。根据Bayes公式，所要求的概率为
17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。
解：根据题意，求出以下概率为
， ；
， ，。
所以有
，，。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是
所以A,B,C不是相互独立。
18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：设“A,B,C进球”分别记为事件。
（1）设恰有一人进球的概率为，则
（由独立性）
（2）设恰有二人进球的概率为，则
（由独立性）
（3）设至少有一人进球的概率为，则
。
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.60.4=0.24；
第三次才检验出该型血的概率为0.620.4=0.144；
第四次才检验出该型血的概率为0.630.4=0.0864；
所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
2
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为，试求系统的可靠性。
1
第20题
5
4
3
解：设“元件能够正常工作”记为事件。
那么系统的可靠性为
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件。则要求的概率为，根据Bayes公式可得
又设“产品被检出含有杂质”记为事件，根据题意有，而且，，所以
；
故，
（第1章习题解答完毕）
第2章 随机变量及其分布
1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取表明第个人是A型血而前个人都不是A型血，因此有
， （）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。
解：X只能取值0，1，2。设以记第个阀门没有打开这一事件。则
，
类似有，
A
B
2
1
3
,综上所述，可得分布律为
X
0
1
2
0.072
0.512
0.416
3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
。
（1）
（2）；
（3）；
（4）
4，设有一由个元件组成的系统，记为，这一系统的运行方式是当且仅当个元件中至少有个元件正常工作时，系统正常工作。现有一系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）
解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
（查表得）。
6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~，求
（2）已知随机变量X~，且有，求。
解：（1）；
（2）根据，得到。所以。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。
解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数。
（1）；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为， （1）确定；（2）求；（3）求；（4）求。
解：（1）根据，得到；
（2）；
（3）；
（4）。
9，设随机变量X的概率密度为，求t的方程有实根的概率。
解：方程有实根表明，即，从而要求或者。因为
，
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
（1） 求寿命不到一周的概率；
（2） 求寿命超过一年的概率；
（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
解：（1）；
（2）；
（3）。
11，设实验室的温度X（以计）为随机变量，其概率密度为
（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。
（3） 求，。
解：（1）；
（2）根据题意，所以其分布律为
（3） ，
。
12，（1）设随机变量Y的概率密度为
试确定常数C，求分布函数，并求，。
（2）设随机变量X的概率密度为
求分布函数，并求，。
解：（1）根据，得到。
；
（2）
；
。
13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。
解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
，（，且）
当n取3时， ,（，且）,表格形式为
Y
X
1
2
3
1
0
1/6
1/6
2
1/6
0
1/6
3
1/6
1/6
0
14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
Y
X
0
1
2
0
0.10
0.08
0.06
1
0.04
0.20
0.14
2
0.02
0.06
0.30
（1） 求，；
（2） 求至少有一根软管在使用的概率；
（3） 求，。
解：（1）由表直接可得=0.2，
=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
（3）=0.1+0.2+0.3=0.6
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
试确定常数，并求，，。
解：根据，可得
，
所以。
；
。
16，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。
（1） 求（X，Y）的概率密度；
（2） 求边缘概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由
，得到。
（2）；
18，设是两个随机变量，它们的联合概率密度为
，
（1） 求关于的边缘概率密度；
（2） 求条件概率密度，写出当时的条件概率密度；
（3） 求条件概率。
解：（1）。
（2）当时，
。
特别地，当时
。
（3）。
19，（1）在第14题中求在的条件下的条件分布律；在的条件下的条件分布律。
（2）在16题中求条件概率密度，，。
解：（1）根据公式，得到在的条件下的条件分布律为
0
1
2
5/12
1/3
1/4
类似地，在的条件下的条件分布律为
0
1
2
4/17
10/17
3/17
（2）因为。
；。
所以，当时，；
当时，；
当时，；
当时，。
20，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度；
（2） 求边缘概率密度；
（3） 求条件概率密度，并写出当时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由
，得到。
（2）；
。
（3）当时，。
特别地，当时的条件概率密度为
。
21，设是二维随机变量，的概率密度为
且当时的条件概率密度为
，
（1） 求联合概率密度；
（2） 求关于的边缘概率密度；
（3） 求在的条件下的条件概率密度。
解：（1）；
（2）；
（3）当时，。
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为
-1 0 1
又设是两个相互独立的随机变量，且都与有相同的分布律。求的联合分布律。并求。
（2）问在14题中是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得的联合分布律为
，
结果写成表格为
Y1 Y2
-1
0
1
-1
0
1
。
（2）14题中，求出边缘分布律为
Y
X
0
1
2
0
0.10
0.08
0.06
0.24
1
0.04
0.20
0.14
0.38
2
0.02
0.06
0.30
0.38
0.16
0.34
0.50
1
很显然，，所以不是相互独立。
23，设是两个相互独立的随机变量，，的概率密度为
试写出的联合概率密度，并求。
解：根据题意，的概率密度为
所以根据独立定，的联合概率密度为
。
24，设随机变量具有分布律
-2 -1 0 1 3
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为
1 2 5 10
1/5 7/30 1/5 11/30
25，设随机变量，求的概率密度。
解：设的概率密度分别为，的分布函数为。则
当时，，；
当时，，
。
所以，。
26，（1）设随机变量的概率密度为
求的概率密度。
（2）设随机变量，求的概率密度。
（3）设随机变量，求的概率密度。
解：设的概率密度分别为，分布函数分别为。则
（1）当时，，；
当时，，
。
所以，。
（2）此时。
因为，
故， ，
所以，。
（3）当时，
，
故， 。
所以，。
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
求圆面积A的概率密度。
解：圆面积，设其概率密度和分布函数分别为。则
， 故
所以，。
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布，验证的概率密度为
。
解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
。
先求分布函数，当时，
，
故， 。
29，设随机变量，随机变量Y具有概率密度，，设X,Y相互独立，求的概率密度。
解：因为，所以的概率密度为
。
30随机变量X和Y的概率密度分别为
，
，X,Y相互独立。求的概率密度。
解： 根据卷积公式，得
，。
所以的概率密度为
。
31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求的概率密度。
解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
，
根据卷积公式，得
。
32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为
（1） 求边缘概率密度。
（2） 求的分布函数。
（3） 求概率。
解：（1）；
。
（2）的分布函数为
因为 ； ，
所以，。
（3）。
33，（1）一条绳子长为，将它随机地分为两段，以表示短的一段的长度，写出的概率密度。
（2）两条绳子长度均为，将它们独立地各自分成两段，以表示四段绳子中最短的一段的长度，验证的概率密度为
。
解：（1）根据题意，随机变量，所以概率密度为
。
（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为，则它们都在上服从均匀分布。，其分布函数为
，
所以密度函数为
。
34，设随机变量X和Y的联合分布律为
（1） 求的分布律。
（2） 求的分布律。
（3） 求的分布律。
Y
X
0
1
2
0
1/12
1/6
1/24
1
1/4
1/4
1/40
2
1/8
1/20
0
3
1/120
0
0
解：（1）的分布律为
如，
，
其余类似。结果写成表格形式为
0 1 2 3
1/12 2/3 29/120 1/120
（2）的分布律为
如，，
其余类似。结果写成表格形式为
0 1
27/40 13/40
（3）的分布律为
如，，
其余类似。结果写成表格形式为
0 1 2 3
1/12 5/12 5/12 1/12
（第2章习题解答完毕）
第3章 随机变量的数字特征
1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为
4 5 6 7
1/5 1/5 1/5 2/5
.
2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为
4 5 6 7
4/29 5/29 6/29 14/29
.
3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
， ， 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
。
4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为
1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
得分的数学期望为
。
5，解：（1）根据，可得，因此计算得到，即。所以=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
，
因此期望存在。（利用了）（不符书上答案）
6，解：（1）一天的平均耗水量为
（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
（年）。
7，解：
=1/4。
8，解：。
9，解：
。
（对第一个积分进行变量代换）
10， 解：
。（不符书上答案）
11，解：R的概率密度函数为，所以
。
12，解：
（不符书上答案）
13，解：因为的分布函数为，所以可以求出的分布函数为
， 。
的密度函数为
，。
所以的数学期望为
，
。
14，解：求出边缘分布律如下
Y
X
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
3/14
3/14
0
12/28
2
1/28
0
0
1/28
10/28
15/28
3/28
1
， ，
，
，
。
15，解：，
。
16，解：，
，
。
17，解：根据题意，可得利润的分布律为
2000 1000 0 -1000 -2000
0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
因此，
（元）
。
18解，
，
，。
（本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
19，解：，
，
所以，。
本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设，则，所以。类似的，设，则经过两次积分以后可得到，在经过两次求导得到。
20，解：（1）当时，。
（2）当时，，即不存在。
（3），当时，，
所以，。
（4）当时，，所以不存在。
21，解：（1）根据14题中结果，得到
；
因为， ，
所以，，
。
（2）根据16题结果可得：
；
因为 ，
，
所以，，
，
。
（3）在第2章14题中，由以下结果
Y
X
0
1
2
0
0.10
0.08
0.06
0.24
1
0.04
0.20
0.14
0.38
2
0.02
0.06
0.30
0.38
0.16
0.34
0.50
1
得到，，，，，，
所以，；
，,
.
22，解：根据题意有
。
。
23，解：（1）因为相互独立，所以
。
（2）根据题意，可得，。
。
24，解：因为 ，
，
，
所以，，
即，验证了X,Y不相关。
又因为，；
，
显然，，所以验证了X,Y不是相互独立的。
25，解：引入随机变量定义如下
则总的配对数，而且因为，所以，。
故所以，。
第4章 正态分布
1，（1）设，求，，；
（2）设，且，，求。
解：（1），
（2），所以；
，所以，即。
2，设，求，。
解：因为，所以。
。
3，（1）设，试确定，使得。
（2）设，试确定，使得。
解：（1）因为
所以得到,即，。
（2）因为，所以，即
，从而，。
4，已知美国新生儿的体重（以g计）。
（1） 求；
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求。
解：根据题意可得。
（1）
（或0.8673）
（2），
根据题意，所以
。
5，设洗衣机的寿命（以年计），一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。
解：所要求的概率为
6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量则，
（1）
；
（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为
。
7，一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从均值，均方差为的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解：根据题意，。所以有
，
即，，从而。
故允许最大不超过31.25。
8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在，液体的温度（以计）是一个随机变量，且，
（1） 若，求小于89的概率；
（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问至少为多少？
解：因为，所以。
（1）；
（2）若要求，那么就有，即或者，从而，最后得到，即至少应为81.163。
9，设相互独立，且服从数学期望为150，方差为9的正态分布，服从数学期望为100，方差为16的正态分布。
（1） 求，，的分布；
（2） 求，。
解：根据题意。
（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）的性质，立刻得到
， ，
（2） 因为 ，，所以
，。
因此，
10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计），垫圈直径（以mm计），相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。
（2）在（1）中若，，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。
解：（1）根据题意可得。螺栓能装入垫圈的概率为。
（2），所以若要控制
，
即要求，计算可得。表明至多为0.3348才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。
11,设某地区女子的身高（以m计），男子身高（以m计）。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。
解：（1）因为，所以
；
（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为
，
随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为
（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量，。则，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为
12，（1）设随机变量，已知，，求和；
（2）相互独立且都服从标准正态分布，求。
解：（1）由，得到；
，得到；
联立和，计算得到。
（2）由相互独立且都服从标准正态分布，得到。
故所以
13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到时结束。以记容器中饮料的重量。设台秤的误差为，以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）
（1）写出的关系式；
（2）求的分布；
（3）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。
解：（1）根据题意有关系式或者；
（2）因为，所以；
（3）要使得，即要
，
所以要求，即，。所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，至少为492.4g。
14,在上题中若容器的重量也是一个随机变量，，设相互独立。
（1）求的分布；
（2）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。
解：（1）此时，根据，，可得
。
（2），
可得 ，即 。
15，某种电子元件的寿命（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。
解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量，。则，。根据独立同分布的中心极限定理可得
16，以记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，服从同一分布，且相互独立。，求的近似值。
解：根据题意可得。由独立同分布的中心极限定理可得
17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）
解：以记这400个数据的舍入误差，。则。利用独立同分布的中心极限定理可得
18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为，求，，；（2）问至少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。
解：（1）根据题意，，且。
由De Moivre-Laplace定理，计算得
；
；
。
（2）设要安装部电话。则要使得
就要求，即，从而
，解出或者（舍去）。
所以最少要安装305部电话。
19，一射手射击一次的得分是一个随机变量，具有分布律
8 9 10
0.01 0.29 0.70
（1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。
（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。
解：根据题意，，。
（1）以分别记10次射击的得分，则
（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量，则。由De Moivre-Laplace定理，计算得
。
（第4章习题解答完毕）
第5章 样本及抽样分布
1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，是来自总体的容量为4的样本，求
（1）的联合概率密度；（2）；
（3）；（4），；（5）。
解：因为X的概率密度为，，所以
（1） 联合概率密度为
，（）
（2）的联合概率密度为，所以
（3） ；
（4），（由独立性）
；
（5）
。
2，设总体，是来自的容量为3的样本，求
（1），（2），
（3），（4），，
（5）。
解：（1）
；
（2）
（本题与答案不符）
（3）
；
（4）
；
；
（5）因为，所以
。
3，设总体，是来自的容量为3的样本，求
（1）；（2）。
解：（1）因为相互独立，所以
；
（2）
。
4，（1）设总体，是来自的容量为36的样本，求；
（2）设总体，是来自的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
解：（1）根据题意得，所以
；
（2） 因为，
所以。
5，求总体的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为和，
则，，所以，
。
6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。
解：易得，，
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