渐近线的欧氏定义、射影定义一致性证明及求法的多样性.doc

渐近线的欧氏定义、射影定义一致性证明及求法的多样性
摘 要:通过二次曲线的欧氏定义和射影定义,以及两定义一致性的证明,并且从不同的方法和角度介绍了二次曲线渐进线的几种求法。
关键词:渐近线 定义 切线 方程
中图分类号:g633.3 文献标识码:a 文章编号:1673-9795(2012)03(a)-0096-02
1 几种简单曲线的渐近线
1.1 的渐进线
分析:由渐近线的定义及的图形
分析可知,当时,,即
当时,的图像无限靠近轴,即
轴为的一条渐近线;同理,轴也为的一条渐近线。
1.2 (,)的渐近线
分析:由《中学几何》对圆锥曲线的了解,若曲线的上的某点到某直线的距离为,当点趋向无穷远时能趋近于0,则这条曲线称为该曲线的渐近线。若把曲线看成点的轨迹,就要证明动点到直线的距离越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线的距离表示出来,即通常所说的目标函数,然后看它是否趋向于零。因此,我们把倾斜的线段的计算,转化成竖直线段的计算(如图1)。
先取双曲线第一象限内的部分进行整理,这部分方程可写为=(),设是它上面的点,是直线=上与有相同横坐标的点,即=。为了让||更简单,即把绝对值符号去掉,又进行了一个估计,与y的大小问题。
由===,
||=-=(-)
=
=
对于目标函数||来说,当逐渐增大时,||逐渐减小,无限增大,+也无限增大,||接近于,而||是△的斜边,||>||也随之接近于,即证明了,双曲线在第一象限部分的射线的下放逐渐接近于射线。在其他象限内也可证明类似的情况。
其渐近线方程则为。
2 渐近线的欧氏定义、射影定义及一致性的证明
2.1 欧氏定义
定义1.1对于二次曲线
(1)
满足的方向称为的渐近方向。
定义1.2通过二次曲线的中心,且以渐进方向为方向的直线叫做这二次曲线的渐近线。
2.2 射影定义
定义1.3过二次曲线上的无穷远点的切线,如果不是无穷远直线,则称为二次曲线的渐近线。
定义1.4渐近线为曲线上的无穷远点与中心的连线。
定义1.5渐近线是自共轭直径。
定义1.6渐近线为通过二次曲线中心的切线。
2.3 一致性证明
证明:设二次曲线的渐近线l为
其中为渐近方向,为二次曲线中心且为正常点,则渐近线与二次曲线交点满足
。
由于
而,则渐近线与二次曲线在欧氏平面上没有交点。但当→∞时,为上的无穷远点,且
+。
可知渐近线与二次曲线在无穷远处有交点。
又因为
δ=
成立,说明渐近线是二次曲线在无穷远点处的切线,从而说明渐近线的欧氏定义和射影定义一致。
3 渐近线的几种求法
3.1 利用射影定义的求法
根据射影几何中切点与切线的关系恰好是极点与极线的关系及渐近线的射影定义,利用求二次曲线无穷远点的极线即可求得渐近线方程。
将方程化成二次曲线齐次坐标方程为

二次曲线上一点的极线方程为
(2)
而渐近线是二次曲线上无穷远点处相切的直线,所以为无穷远点,其中为渐近方向,故渐近线方程为
。
即
。
3.2 利用中心和渐近方向的求法
将方程(1)化成二次曲线齐次坐标方程(2)的形式,只需求得中心和渐近方向,就能确定渐近线的方程。
由于二次曲线与无穷远直线的交点满足方程
。(4)
方程(4)表示两条相交于原点的直线。因为这两条直线与渐近线又有公共的无穷远点,所以这两直线平行于渐近方向。将方程(1)化为非齐次坐标方程,得
。
又由于渐近线经过中心,所以,若二次曲线的中心的非齐次坐标为,则渐近线的非齐次坐标方程为
这里的中心坐标可以由公式,求得(其中分别是的代数余子式)。
3.3 利用不变量的求法
由前面知识可知,二次曲线过其中心的渐近线方程为(5)式。经过配方容易得
φ=---。
而x0和y0又可表示为
,-。
代入其中
-+。
记。
因此,二次曲线的渐近线方程为-,
其中
,。
3.4 利用中心切线的求法
根据二次曲线的切线定义为与曲线仅交于一点的直线这一概念,可得二次曲线通过中心的切线为
这里
而为中心,所以有
(),()。
从而()。将的坐标代入,得
。
又,于是有
||·=||2。
由于,所以渐近线方程为
或写成+λ(λ=-)。
若令,有
或λ(λ=-).
参考文献
[1] 吕林根.许子道.解析几何[m].北京:高等教育出版社,1987.
[2] 方得植,等.射影几何[m].北京:高等教育出版社,1985.