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第5章 弹塑性静力推覆分析计算原理
1 钢筋、钢材与混凝土的应力应变方程
E0
E1
ss-E1es
ss
es
图5-1 钢材料模型
E0
s0
e0
eu
su
Es
图5-2 混凝土材料Saenz曲线
钢与钢筋采用同一种材料模式，即理想弹塑性增强模式，图4-1所示
混凝土的单向应力应变关系的Saenz曲线
钢筋混凝土中的混凝土模型称为延性混凝土模式。程序中使用了单向应力应变关系，见图5-3。其中上升段仍然采用Saenz曲线，下降段采用折线。一般情况下，有加密箍筋的地方应该使用延性混凝土模式，比如抗震地区的梁和柱。
图5-4 混凝土在双向应力下强度变化
(5-3)
E0
s0
e0
eu
su
Es
图5-3延性混凝土材料
混凝土在双向应力下强度会发生变化，直接影响了公式中的参数。本程序选择了Kupfer强度包络线，图5-4。各标号混凝土参数取值如下：
标号
E0
(107kN/m2)
σt
(103kN/m2)
σ0
(103kN/m2)
ε0
(m)
σu
(103kN/m2)
εu
(m)
15
2.20
1.27
-10.0
-0.00127
-1.00
-0.018
20
2.55
1.54
-13.4
-0.00134
-1.34
-0.018
25
2.80
1.78
-16.7
-0.00140
-1.67
-0.018
30
3.00
2.01
-20.1
-0.00147
-2.01
-0.018
35
3.15
2.20
-23.4
-0.00153
-2.34
-0.018
40
3.25
2.39
-26.8
-0.00159
-2.68
-0.018
45
3.35
2.51
-29.6
-0.00163
-2.96
-0.018
50
3.45
2.64
-32.4
-0.00168
-3.24
-0.018
55
3.55
2.74
-35.5
-0.00173
-3.55
-0.018
60
3.60
2.85
-38.5
-0.00177
-3.85
-0.018
65
3.65
2.93
-41.5
-0.00181
-4.15
-0.018
70
3.70
2.99
-44.5
-0.00184
-4.45
-0.018
75
3.75
3.05
-47.4
-0.00188
-4.74
-0.018
80
3.80
3.11
-50.2
-0.00192
-5.02
-0.018
2 不考虑剪切变形的弹塑性梁柱单元
Y
Z
X
积分平分线
图5-5 杆单元坐标系
2.1 梁柱单元的位移模式
图5-5 梁柱满足平截面假设，所以位移是Y、Z的一次函数。位移沿X轴采用三次Hermit插值。位移模式的变化主要体现在中轴线的位移。对于一般的杆件，中轴线的位移模式：
其中：
令u，v，w分别表示单元任意一点沿x，y，z轴的位移，则
一般杆单元中都忽略了Y和Z方向的正应力和剪应力，只考虑X方向的正应力，使问题由三维降为一维问题。本程序也采用同样的假设。所以只有X方向的正应变
其中
2.2 梁柱单元的切线刚度和等效力计算
设任意时刻的切线模量则单元切线刚度矩阵为：
上式采用高斯数值积分完成。高斯积分点的密度对积分精度的影响很大，因为积分点控制着塑性区域的变化。对于实心截面，每个单元在X，Y，Z的方向采用8×8×8＝512个高斯积分点。
其他类型的截面则按实际情况进行积分。例如，工字形截面分别沿两个翼缘和腹板各采用8个高斯点积分。
切线刚度在逐步积分过程中是不断更新的。
为了减少数值积分工作量，将上式记为如下形式：
其中，为应变矩阵，为弹（塑）性矩阵
等效结点力为：
其中：
为了减少数值积分工作量，将式记为如下形式：
其中：
为按照面积积分后得到的截面内力
单元的扭转刚度和扭转等效结点力按照弹性方法得到。
钢筋混凝土梁柱是由混凝土实心元和钢筋面积两部分叠成。程序采用了同一种位移模式，各自不同的材料特性和积分过程。钢筋看作连续的板，沿着板数值积分。这种方法称作整体模式。
正应力可以用切线增量公式表示。设任意位置的切线模量和截距，几何意义参见上图，则正应力可以表示为
有限元的平衡方程采用瞬间增量平衡方程的形式，正应力需要用上式的切线增量表示。设任意位置的切线模量和截距，几何意义参见上图，则正应力可以表示为
上公式中的切线模量和截距随在迭代过程中是不断更新的。迭代计算中逐步改进，由改进和，由和建立平衡方程求出位移，由位移求出，再由改进和，如此反复达到理想精度为止。
钢材的切线模量和截距可以直接写成：
一般情况下，切线模量和截距可以通过
根据虚功原理，设虚位移，则可以求出相应的
虚功
将正应力公式代入上式得
单元切线刚度矩阵
单元切线截距矩阵
钢筋
(A) 梁 (B) 柱
图5-6 钢筋混凝土梁柱计算截面
纤维束单元
上两式一般用高斯数值积分完成。高斯积分点的密度对上两式积分精度的影响很大，因为积分点控制着塑性区域的变化。对于实心截面，每一段在X、Y、Z的方向为8´8´8的高斯积分。
其他类型的截面则按实际情况积分。例如，工字形截面分成3片：两个翼缘和腹板每片8´8个高斯点积分，厚度方向看作常量。Gsnap把所有截面分解成多个实心截面和钢片，录入中所有截面支持弹塑性计算。
4种基本截面：矩形、圆形、矩形片和 圆环片，3种基本材料：混凝土，钢筋和钢，组成建筑结构所有的截面和非线性材料。开发了70多个柱梁截面的非线性单元，GSSAP中能线性计算的柱梁，都能进行GSNAP非线性计算，如下19种基本型截面、标准H型钢及组合、实腹式组合和格构式组合。
除自定义截面外，都能进行弹塑性计算。
类型
名称
图示
类型
名称
图示
0
自定义
1
矩形
2
工字形
3
圆形
4
正多边形
5
槽形
6
十字形
7
箱形
8
圆环
9
双槽形
10
交叉工字形
11
梯形
12
钢管混凝土
13
型钢混凝土(矩混凝土形包工字形钢)
14
型钢混凝土(矩混凝土形包箱形钢)
15
型钢混凝土(矩形混凝土包交叉工字形钢)
16
型钢混凝土(矩形混凝土包圆环钢)
17
焊接箱形1
18
焊接箱形2
19
方钢管混凝土
21
高频焊接H型钢
30
热轧等边角钢和不等边角钢
31
热轧工字钢
32
热轧槽钢
33
热轧H形钢
34
剖分T形钢
40
热轧双角钢(等边角钢拼接、不等边角钢长、短边拼接)
44
热轧双槽钢--底边拼接
45
热轧双槽钢--翼缘顶接
类型
名称
图示
类型
名称
图示
71
实腹式型钢组合(热轧工字钢上焊钢板)
72
实腹式型钢组合(热轧双槽钢加钢板)
73
实腹式型钢组合(热轧槽钢＋热轧工字钢或热轧H型钢＋钢板)
74
实腹式型钢组合(热轧双工字钢或热轧双H型钢加钢板)
75
实腹式型钢组合(热轧双角钢带钢板＋热轧工字钢或热轧H型钢＋钢板)
76
实腹式型钢组合(热轧双槽钢＋热轧工字钢或热轧H型钢)
77
实腹式型钢组合(焊接双工字钢＋钢板)
78
实腹式型钢组合(钢板＋热轧工字钢或热轧H型钢＋钢板)
79
实腹式型钢组合(热轧双角钢带钢板＋焊接工字钢＋钢板)
80
实腹式型钢组合(钢板＋焊接工字钢＋钢板)
81
实腹式型钢组合(焊接槽钢＋焊接工字钢＋钢板)
82
实腹式型钢组合(钢板＋焊接箱形钢＋钢板)
83
实腹式型钢组合(钢板＋钢管＋钢板)
84
热轧工字钢加强钢板焊接箱形截面
86
双热轧工字钢加强钢板焊接箱形截面
131
格构式型钢组合(热轧双角钢带钢板＋热轧工字钢或热轧H型钢)
132
格构式型钢组合(热轧槽钢＋热轧工字钢或热轧H型钢)
133
格构式型钢组合(热轧双工字钢或热轧双H型钢)
134
格构式型钢热轧双槽钢截面--底边拼接(工字形)
135
格构式型钢热轧双槽钢截面--翼缘顶接(矩形)
136
格构式型钢热轧四角钢截面--翼缘顶接(矩形),短边是B边
137
格构式型钢组合(圆管组合)
139
格构式型钢组合(热轧双角钢带钢板＋焊接工字钢)
140
格构式型钢组合(热轧槽钢＋焊接工字钢)
141
格构式型钢组合(焊接槽钢＋焊接工字钢)
142
格构式型钢组合(双焊接工字钢)
143
格构式型钢组合(焊接箱形＋焊接工字钢1)
144
格构式型钢组合(焊接箱形＋焊接工字钢2)
145
格构式型钢组合(双焊接箱形1)
146
格构式型钢组合(双焊接箱形2)
2.3 钢筋混凝土梁、柱和支撑
GSNAP中杆的截面分解成4种基本截面类型：矩形、圆形、直线片和圆环片。
钢筋混凝土梁、柱和支撑由混凝土和钢筋两部分组成。可以认为它们具有相同的位移和积分方法，不同的材料特性。为了实现方便，将钢筋用钢筋板带代替，参见下图。
（A）矩形梁 （B）矩形柱 (C)圆形柱
图5-7钢筋混凝土梁、柱和支撑计算截面示意图
混凝土矩形部分采用沿X、Y、Z方向的8×8×8＝512个高斯积分点，每个钢筋直线片采用8×8＝64个高斯积分点。矩形梁共需要512+2×64＝640个高斯积分点，矩形柱共需要512+4×64＝768个高斯积分点。
圆形柱采用了柱坐标，沿径向把圆截面均匀分为4个同心圆环，外环用3×8个高斯积分点，中间两个圆环用2×8个高斯积分点，内圆心用1×8个高斯积分点。钢筋构成的圆环用4×8个高斯积分点。所以共用768个高斯积分点。
同理，异形柱、型钢柱和广厦中的所有梁柱截面自动分解为多个基本类型的截面，刚度为各个基本类型叠加。
2.4 钢梁、柱和支撑
GSNAP中杆的截面分解成4种基本截面类型：矩形、圆形、直线片和圆环片。
程序中考虑了多种截面形式的钢构件，如图4所示。工字形截面分解为3个板带，用3×8×8＝192个高斯积分点。箱形截面分解为4个板带，用4×8×8＝256个高斯积分点。环形截面分解为4个弧带，用4×8×8＝256个高斯积分点。矩形截面用8×8×8＝512个高斯积分点。
(a)工字形 （b）箱形 （c）环形 （d）矩形
（e）单槽形 （f）双槽形 （g）双槽形 （h）双工字形
图5-8钢筋柱的截面型式
同理，异形柱、型钢柱和广厦中的所有梁柱截面自动分解为多个基本类型的截面，刚度为各个基本类型叠加。
2.5 梁柱抗剪强度的验算
在杆系计算假定中，横向应力和剪应力都忽略不计，所以，按能量方法推导单元刚度矩阵时这些应力的功也理所当然可以被忽略掉。因此，在上述推导过程中没有体现箍筋的影响。虽然刚度中忽略了剪切影响，但实际中剪切破坏还是存在的，箍筋对抗剪起重要的作用。
剪切破坏表现为脆性破坏，一旦发生破坏，构件立刻退出工作。所以，抗剪验算可以作为构件是否能继续工作的判断标准。
钢筋混凝土梁柱的抗剪验算根据混凝土规范得
其中：箍筋在单位长度上的面积，
型钢截面和钢构件截面中，考虑钢片在此方向的抗剪作用。
3 弹塑性剪力墙单元
开洞剪力墙自动分解成多个矩形壳元，每个矩形壳元由3部分组成：混凝土部分、水平分布钢筋部分和竖向分布钢筋部分，求刚度后再经子结构凝聚成剪力墙总的刚度。暗柱钢筋作为实心圆钢的柱求刚度。
开洞剪力墙 混凝土部分壳单元 分布钢筋膜单元 暗柱暗梁钢筋
图5-9钢筋混凝土开洞剪力墙单元模型
3.1 四结点等参板壳单元的位移模式
板壳单元采用了带面内物理转角的壳单元，有关位移模式
3.2 板壳单元的应力和刚度矩阵
剪力墙主要在平面内提供刚度，平面外的刚度是次要的。所以，板部分只提供了一个近似的折减刚度矩阵，膜部分按照严格的应力应变关系求刚度矩阵。
剪力墙一般由混凝土和钢筋组成，其中钢筋是沿X、Y正交不藕联的。把钢筋转变为X、Y正交不藕联异性薄膜是合理的。钢筋不能抗剪，所以剪应力一项为“0”。钢筋膜的应力
即
上式可以简记成
根据两个主应力就能用Kupfer包络线求出各自的强度s0和su，代入混凝土的单向应力应变关系式就能近似求出修正后的主应力近似值。如果考虑泊松比的影响，目前找不到实验或理论验证的全量算法。但是，人们普遍参考切线增量算法取如下可接受的近似算法
上式计算出的是主应力。推导单元刚度矩阵需要把主应力坐标转换到X-Y坐标下。实际计算中找到主应力方向是相当困难的。本程序考虑计算效率和满足精度要求的情况下用主应变的方向近似代替主应力方向。主应变与X轴的夹角
坐标转换矩阵
最后得到X-Y坐标下的本构矩阵
X-Y坐标下截距矩阵
计算刚度矩阵和截距矩阵时需要把混凝土和钢筋两部分叠加起来。由于位移模式相同，得到下列计算公式
至此膜部分的问题就全部解决了。程序中用了3´3的高斯积分完成上式的计算。
由于板的效应比较小，所以，计算中没有用类似膜的精确方法，取了膜的平均切线刚度作为板的弹性模量，代入弹性方法计算刚度矩阵。
4 弹塑性静力推覆求解过程
4.1 牛顿-拉弗逊迭代法
牛顿-拉弗逊迭代法是一种切线逼进法，见下图。
(a) 完全牛顿-拉弗逊迭代法 (b) 修正牛顿-拉弗逊迭代法
图5-10 牛顿-拉弗逊迭代法过程
完全牛顿-拉弗逊迭代法需要不断修正斜率的切线逼进真值，而修正牛顿-拉弗逊迭代法的斜率不做修正的。从有限元角度来看，完全牛顿-拉弗逊迭代法是不断修正刚度的切线逼进法-变刚度切线逼进法。而修正牛顿-拉弗逊迭代法是不修正刚度的线逼进法-不变刚度逼进法，或初始切线刚度逼进法。
两种方法的在小范围内收敛性基本等价，但计算时间不等价。变刚度逼进法需要迭代次数少，但是，每次重组和重新分解刚度矩阵需要花费大量时间。不变刚度逼进法只需要组合和分解一次刚度矩阵，但是，需要迭次数明显多于前者。由于修正牛顿-拉弗逊迭代法不修正斜率，大步伐迭代时会出现振荡不收敛现象，所以，修正牛顿-拉弗逊迭代法往往用在局部迭代改进，而完全牛顿-拉弗逊迭代法往往用在大步伐迭代。当然，完全牛顿-拉弗逊迭代法用于局部迭代改进是没有问题的，只是成本问题。
4.2 弹塑性静力推覆的基本迭代方法
图5-11 分级加载的牛顿-拉弗逊综合迭代过程
推覆分析采用逐步增加荷载的加载方式，并且需要得到每步的位移值。一般情况下程序采用图5-11所示的迭代过程。每步初始时刻修正一次刚度，即形成初始切线刚度，但是在步内的局部迭代改进时刚度不再修正。即：完全牛顿-拉弗逊迭代&修正牛顿-拉弗逊迭代综合法。
如果全过程采用完全牛顿-拉弗逊迭代是完全可以的，也就是步内的局部迭代改进时的每小步都要修正刚度。根据经验这种办法效率远远低于上述的综合法。
但是，全过程采用修正牛顿-拉弗逊迭代是不可取的。
加载步长采取4种控制方法：荷载增量控制法、荷载与位移增量合成共同矢量的球面控制法、位移增量柱面控制法和虚功法。
1．荷载增量控制法：通常称为比例加载，即将推覆荷载按照一定的比例增加。它的特点是过程简单、计算效率高。一般表示为
严格保持常量的增量，其中，一般取0.01~0.05之间的常数；是给定的常量荷载。
荷载增量控制法用在初始加载过程中不会出现较大的位移。当结构刚度出现明显退化后不再使用。
2．荷载与位移增量合成共同矢量的球面控制法：通常意义的球面控制法。可以从荷载增量控制法结果中选定一个标准迭代结果，即荷载增量和位移增量，令
定为球面弧长，以后的迭代结果要求满足弧长控制
3．位移增量柱面控制法
这个方法只控制位移增量模，而荷载按照比例增量加载单独控制。可以从荷载增量过程中选定一个标准迭代结果，即荷载增量和位移增量，令
定为柱面弧长，以后的迭代结果要求满足弧长控制
4．虚功法
静力法
虚功法
图5-12 方法转换示意
当结构刚度下降到一定程度时，刚度矩阵会进入病态，然后发展到非正定、负定。对大型结构来说，刚度矩阵一旦失去正定性，静力解将失去可靠性。所以，当计算达到这个某个程度时，程序由静力迭代法转换成虚功法。
虚功法来自虚功原理，即先给定虚位移，通过虚功换算出荷载。程序中参考了静力计算结果，把虚位移的起始量定为最后一轮增量。采用什么样的虚位移是一个需要长期探索的难题之一。
虚功法的优点是解题速度快、不受刚度矩阵状态的影响。但虚位移的选择是影响精度的关键性问题。程序中可以用刚度系数的衰减程度作为阀值来判断程序是否要转入虚功法。
5 结构的能力曲线、需求曲线和抗倒塌验算
GSNAP使用能力谱法(CSM)计算结构的极限承载能力并对结构的抗震性能进行评价。通过Pushover分析可得能力曲线和能力谱，通过有效阻尼原理可由弹性设计反应谱获得需求谱。将两个谱表现在同一个坐标系中可获得两个谱的交叉点，该点就是代表最大需求内力的性能点。利用性能点上的变形和内力值来评价结构的抗震性能和具有的性能水准。
5.1 能力谱和需求谱
Pushover分析中直接获得的是荷载-位移(V -U )关系，而反应谱是加速度-周期(A-T)曲线。为了比较二者需要将二者均转换为加速度-位移谱(acceleration-displacement response spectrum)。
图5-13将荷载-位移曲线转换为加速度-位移谱
图5-14将加速度-周期谱转换为加速度-位移谱
将荷载-位移关系曲线转换为加速度-位移谱的方法如下：
1． 假设第i步得到的荷载、位移、切线刚度矩阵、质量矩阵。如果认为可以代表地震荷载，则根据Wilson提出的里兹矢量法【9】的概念，可以认为是比较好的瞬间振型。
2． 根据结构动力学原理【1】，i瞬间的振型质量
i瞬间的振型刚度
i瞬间瑞利周期
i瞬间的振型加速度谱
同样可利用单自由度体系的位移和加速度的关系公式(参见下式)将将弹性加速度反应谱的加速度-周期谱转换为加速度-位移谱。
5.2 性能点
能力谱和需求谱的交点为性能点， ATC-40的能力谱法(CSM) 中推荐Procedure-A和Procedure-B两种方法计算性能点。两种方法的原理相同，Procedure-A在计算有效阻尼时使用直接迭代计算，而Procedure-B则是使用延性比的假定和有效周期计算有效阻尼。GSNAP采用Procedure-A方法。
(1）等效阻尼(equivalent damping)
能力谱法(CSM)中将能力谱转换为面积相同的双折线模型， 并使用阻尼比为5%的弹性响应谱和能力谱计算结构的等效阻尼。结构阻尼耗散的能量等于双折线模型中的阴影面积，可使用下面式计算。
图5-15使用骨架曲线计算等效阻尼
其中， ED = 结构阻尼耗散的能量
ESO = 结构的最大变形能
用百分比的形式表现如下：
其中βeq为等效阻尼(%)，当超过25%时ATC-40时要求慎重使用，且不能超过50%。
(2) 有效阻尼(effective damping)
钢筋混凝土的滞回曲线不能准确反映钢筋混凝土的刚度退化(stiffness degradation)和强度损伤(strength deterioration)、滑移和挤压(slip or pinching)等特性，ATC-40中为了能反映这些特性使用了阻尼修正系数(damping modification factor)对等效阻尼进行调整，调整后的等效阻尼被称为有效阻尼。
κ
(3) 弹塑性需求谱
有效阻尼对应的反应谱为弹塑性对应的需求谱。
(4) 计算性能点的方法
1) 首先获得能力谱的初始切线刚度直线与阻尼比为5%的弹性需求谱的交点，将该交点作为初始性能点；
2) 计算初始性能点上的等效阻尼以及有效阻尼，利用有效阻尼计算弹塑性需求谱，并获得弹塑性需求谱与能力谱的交点，即获得新的性能点；
3) 反复计算上述过程当性能点上的响应位移和响应加速度满足程序内部设置的误差范围时，将该步骤的性能点作为最终性能点。
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