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圆锥曲线高考热点题型归纳
山东 王光天

圆锥曲线的考题一般以两个选择、一个填空、一个解答题，客观题的难度为中等，解答题目相对较难，同时平面向量的介入，增加了本专题高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查。
下面对圆锥曲线在高考中出现的热点题型作简单的探究：
一、圆锥曲线的定义与标准方程：
例1、设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
解析．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，
且，则=，选B。
点评：圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图、解题的依据和基础，在实际问题中正确的使用定义可以使问题的解决更加灵活。同时平面向量与圆锥曲线的有机结合也是考查的重点和难点，是高考常常考查的重要内容之一。
变式练习：已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一个动点，则的最大值为（ ）
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
解析：本题主要考查了椭圆的定义，根据条件，
所以，所以的最大值为4
故答案选 D

二、圆锥曲线的几何性质：
例2、设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为
(A) (B) (C) (D)
解析．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，
使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。
点评：本题主要考查圆锥曲线的离心率的求解问题，这类问题的一般解法是将题目提供的曲线的几何关系转化为关于曲线基本量的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，这是求离心率的的值或范围问题的常用解法。
变式练习：
1、若双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：由于到原点O和右焦点F的距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为，依题意，在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点两个，所以直线与右支有两个交点，故应满足，即，
得。故答案选 C
2、经过点且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是
A、 B、 C、 D、
解析：由与有相同的渐近线，则可设所求双曲线为，
把点代入得，，
所以 故答案选 C
三、与圆锥曲线有关的综合应用问题
例5、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
点评：存在性问题： ①对这类问题，若能将所观察色对象联系其几何背景进行数与形的转化，常能将复杂抽象的问题变得直观、具体，有利探明结论；②解析几何中的存在与否的问题常用，或曲线方程本身的取值范围，或题意中变量的取值范围进行判断。

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