线段的定比分点.docx

线段的定比分点 数学学科 吉学静教学目的：理解线段的定比分点的概念,掌握线段定比分点的坐标公式、线段的中点坐标公式、重心公式培养学生应用公式解决实际问题能力通过用代数方法研究共线点问题，用数量关系深刻揭示几何现象本质，培养学生应用数形结合的数学思想解决数学问题的能力教学重点：线段的定比分点的概念定比分点坐标公式的应用教学难点：的取值范围内外分的灵活性与统一性教学关键：理解点分有向线段所成比的含义明确点的位置及范围的关系教学过程：该内容是研究解析几何的重要基础知识，要求熟练掌握公式及变形以及基本应用。一、 线段的定比分点概念1 线段：指的是有向线段2 点：点在有向线段所在直线上3 分：由内分和外分之分，取决于分点的位置（）如果分点在有向线段上，则称内分有向线段（）如果分点在有向线段的延长线上，则称外分有向线段4 定比：分点分有向线段所成的比，记为。 线段的定比分点的定义：设，是直线上的两点，设点是上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分有向线段所成的比。5 点的位置对的影响在之间，当点从向右做靠近点的运动时，值怎样随着点位置的变化而变化呢？分析：由于有向线段与有向线段的方向相同，故。所以，又因为越向右，逐渐增大，逐渐减小，因此可取的一切值。在的延长线上，）当点从左向右运动到点的左边时，值怎样随着点位置的变化而变化呢？分析：因为有向线段与有向线段的方向相反，故。所以，又因为, 所以 。）当点从点继续向右移动时，值怎样随着点位置的变化而变化呢？分析：因为有向线段与有向线段的方向相反，故。所以，又因为, 所以 。 是的中点，； 考虑如果可以与或重合，会有下面的情况： 若与重合时， ；若与重合时，不存在 考虑可以取吗？如果，则，即，即，这与、是不同的两点相矛盾，所以，6的取值范围 且二、 线段的定比分点公式1线段的定比分点的坐标公式 （1） 研究分的定比的坐标公式设，求 ， 由得 由得 有向线段定比分点的坐标公式为 （2）特例：当时，是线段的中点 有向线段中点的坐标公式为（3）对公式的深刻认识）认识公式的结构与分离，分母均为，分子分母下标序号为，与序号为的字母乘. ）认识字母的原始意义 为分点坐标，为起点坐标，为终点坐标，为点分有向线段而成的比。）内外分的灵活性与统一性 可根据实际需要确定内分，外分。想一想：（1 ）设，且，那么点分的定比分点坐标公式与上式是否相同？（2） 点分所成的比和点分所成的比是否相同？这两者什么关系？2有向线段定比分点的向量公式在平面内任取一点，设， 线段的定比分点的向量公式。当时 向量的中点公式三、 例题与练习例1.已知点分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为_,点分有向线段所成的比为_解：如图,显然是的外分点，所以分所成的比；是的外分点，分所成的比说明：利用数形结合，画出图形一目了然例2.已知，延长到，使，求点的坐标。解法如图，设点外分，则代入定比分点坐标公式：可得点的坐标为解法：设，且点内分，则，代入定比分点坐标公式：可得点的坐标为 说明：在采用定比分点公式解题时，起点，终点，分点及相应的比值都是相对的，我们可以根据实际情况把外分点转化成内分点来处理。 例3.已知正三角形的边长为，在平面上求一点，使最小，并求此最小值。解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系。则，设，则当且仅当，时等号成立，所求最小值为，此时，点为正的中心例4.求证的三条中线相交于一点，且FEBCOA1G证明：在平面上任取一点。设，又设为上一点，且则： 是的中点同理，设，也可证得，三点重合设交点为，则有重要结论:设是的重心，如果，则如果，则练习1：线段AB的端点为A（x,5）,B(-2,y),直线AB上的点C（1，1），使，求x, y 的值.练习2.设的顶点，重心，求：（1）边上中线的长； （2）的平分线的长。练习3.已知三点，点内分的比为，在上，且使的面积是面积的一半，求向量的坐标。