线段的定比分点.docx

线段的定比分点
数学学科 吉学静
教学目的：１．理解线段的定比分点的概念,掌握线段定比分点的坐标公式、线段的中点坐标公式、重心公式．
　　　　　２．培养学生应用公式解决实际问题能力．
　　　　　３．通过用代数方法研究共线点问题，用数量关系深刻揭示几何现象本质，培养学生应用数形结合的数学思想解决数学问题的能力．
教学重点：１．线段的定比分点的概念
２．定比分点坐标公式的应用
教学难点：１．的取值范围
　　　　　２．内外分的灵活性与统一性
教学关键：１．理解点分有向线段所成比的含义
　　　　　２．明确点的位置及范围的关系
教学过程：
该内容是研究解析几何的重要基础知识，要求熟练掌握公式及变形以及基本应用。
一、 线段的定比分点概念
1． 线段：指的是有向线段
2． 点：　点在有向线段所在直线上
3． 分：　由内分和外分之分，取决于分点的位置
（１）如果分点在有向线段上，则称内分有向线段
（２）如果分点在有向线段的延长线上，则称外分有向线段
4． 定比：分点分有向线段所成的比，记为。
线段的定比分点的定义：设，是直线上的两点，设点是上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分有向线段所成的比。
5． 点的位置对的影响　
①在之间，
当点从向右做靠近点的运动时，值怎样随着点位置的变化而变化呢？

分析：由于有向线段与有向线段的方向相同，故。所以，又因为越向右，逐渐增大，逐渐减小，因此可取的一切值。
②在的延长线上，

ⅰ）当点从左向右运动到点的左边时，值怎样随着点位置的变化而变化呢？

分析：因为有向线段与有向线段的方向相反，故。所以，
又因为, 所以 。
ⅱ）当点从点继续向右移动时，值怎样随着点位置的变化而变化呢？

分析：因为有向线段与有向线段的方向相反，故。所以，又因为, 所以 。

③是的中点，；
考虑如果可以与或重合，会有下面的情况：
若与重合时， ；若与重合时，不存在
考虑可以取吗？
如果，则，即，即，这与、是不同的两点相矛盾，所以，
6．的取值范围 且
二、 线段的定比分点公式
1．线段的定比分点的坐标公式
（1） 研究分的定比的坐标公式
设，，求

，

由①得
由②得
有向线段定比分点的坐标公式为
（2）特例：当时，是线段的中点
有向线段中点的坐标公式为
（3）对公式的深刻认识
ⅰ）认识公式的结构
与分离，分母均为，分子分母下标序号为，与序号为的字母乘.
ⅱ）认识字母的原始意义
为分点坐标，为起点坐标，为终点坐标，
为点分有向线段而成的比。
ⅲ）内外分的灵活性与统一性
可根据实际需要确定内分，外分。
想一想：（1 ）设，，且，那么点分的定比分点坐标公式与上式是否相同？
（2） 点分所成的比和点分所成的比是否相同？这两者什么关系？
Ｏ

2．有向线段定比分点的向量公式
在平面内任取一点，设，

————线段的定比分点的向量公式。
当时 ————向量的中点公式
三、 例题与练习
例1.　已知点分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为______,
点分有向线段所成的比为______
Ａ

Ｐ

Ｂ

解：如图,

显然是的外分点，所以分所成的比；
是的外分点，分所成的比．
说明：利用数形结合，画出图形一目了然
ｘ

Ａ

ｙ

Ｏ

Ｂ

Ｐ

例2.　已知，，延长到，使，求点的坐标。
解法１：如图，设点外分，则
　　　代入定比分点坐标公式：可得点的坐标为
解法２：设，且点内分，则，
代入定比分点坐标公式：可得点的坐标为
　 说明：在采用定比分点公式解题时，起点，终点，分点及相应的比值都是相对的，我们可以根据实际情况把外分点转化成内分点来处理。
ｘ

Ｃ

ＡＡ

Ｐ

ｙ

Ｏ

Ｂ

例3.已知正三角形的边长为，在平面上求一点，使最小，并求此最小值。
解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系。
则，，，设，
则

　当且仅当，时等号成立，所求最小值为，
此时，点为正的中心　
例4.求证的三条中线相交于一点，且
F

E

B

C

O

A

1

G

Ｄ

证明：在平面上任取一点。设，
又设为上一点，且
则：

是的中点
同理，设，
也可证得，
三点重合
设交点为，则有
重要结论:
设是的重心，
如果，，，则
如果，，，则
练习1：线段AB的端点为A（x,5）,B(-2,y),直线AB上的点C（1，1），使，求x, y 的值.
练习2.设的顶点，，，重心，
求：（1）边上中线的长；
（2）的平分线的长。
练习3.已知三点，，，点内分的比为，在上，且使的面积是面积的一半，求向量的坐标。