弧长与扇形面积教学设计.doc

24.4 弧长和扇形面积教学设计
学校：中枢镇初级中学 学科：数学 备课人：饶树华 备课组长：饶树华
集体备课：2017年5月2日 教学5月8日
一、 内容及其解析
弧长公式

弧长和扇形面积
圆锥侧面积
扇形面积
弧长
应用
扇形面积公式

应用

侧面积公式、全面积公式
应用

1．内容
本单元教学内容如下：
本单元主要内容是弧长和扇形面积及圆锥面积的计算公式和计算，其中核心内容是弧长、扇形面积计算公式。根据核心内容的知识类型，教学应该按公式课的特点来进行教学设计。
2．解析
（1）对核心内容的解析
本单元是 在复习小学学过的圆周长和面积公式的基础上，推导出弧长和扇形面积的计算公式。在此基础上，进一步得出圆锥的侧面积和全面积
（2）对本课题的教学内容的解析
弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式。应用弧长公式和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的图形的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题，学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础。
弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的。运用相同的研究方法，可以再圆面积的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积。再圆面积的基础上推导出扇形面积公式，后分析引导得出圆锥的侧面积和全面积 。
由于学生学习公式容易混淆，不便于记住，计算时容易混淆，所以，教学时进度不宜快。
二、目标及其解析
（一）目标
1、单元目标
（1）理解弧长和扇形的面积计算公式，并会计算弧长、扇形面积；
（2）从弧长和扇形面积计算公式推导出圆锥的面积计算公式并学会应用；
（3）了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．
（4）在探究过程中，感受转化、类比的数学思想。
2、课堂教学目标
（1）能利用弧长表示扇形面积，并能利用公式计算弧长和扇形面积；学会圆锥全面积的计算；
（2）在弧长和扇形面积公式推导的过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体的关系，从而将计算扇形和弧长面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比思想。
（二）解析
（1）理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的，所对的扇形面积等
于圆面积的；
（2）能够发现 n°的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍；
三、教学问题诊断分析
圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别于圆周长和面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解，要解决这一问题，就要利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长；然后求1°的圆心角所对的弧长；再通过求2°，5°的圆心角所对的弧长，逐渐认识弧长；然后探索n°的圆心角所对的弧长，并通过n°圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式，扇形面积公式的推导过程也类似。
学生对圆锥的侧面积的计算不易理解，可以通过扇形的面积进行分析推导得出圆锥侧面积的计算方法。
四、教学支持条件分析
在本单元教学过程中，对弧长和扇形公式的推理，圆锥全面积的推理可以运用多媒体，让学生直观地了解知识并学会应用。
五、教学过程设计
问题一：弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，如何计算弧长？（推导并应用弧长公式）
设计意图：通过对弧长概念的理解展开讨论
师生活动：引导学生感知弧长与半径和圆心角有关。
追问1：在同圆或等圆中，每一个1°的圆心角所对的弧长又怎样的关系？n°圆心角所对的弧长是多少？
师生活动：引导学生回答上面的问题，并独立思考
追问2：你会计算半径为R，圆心角为1°的弧长吗？那么2°呢？5°呢？
师生活动：引导学生获得解答。
追问3：当半径R，圆心角为n°时，你能计算出弧长是多少吗？
师生活动：学生独立思考，n°的圆心角所对的弧长1°的圆心角所对弧长的n倍，半径为R的圆周长为2πR，利用1°圆心角所对的弧长,再乘n,就可
以得到 n°圆心角所对的弧长为L=强调公式
中的n的意义，n表示1°的圆心角的倍数。它是不带单位的，公式中，180也是不带单位的。
设计意图：让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式。
例：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算
“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度L。（结果取整数）
师生活动：学生分析题中条件和解题思路：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，要求弧长需要知道圆心角和半径；而圆心角和半径题目都已给出了，由弧长公式即可求出弧长，进而可求出展直长度L。
设计意图：通过实际问题，加深学生对弧长公式的认识。
问题二：扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形，如何计算扇形面积？如何类比弧长公式的方法推导出扇形面积的公式？（推导扇形面积公式）
设计意图：类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考、归纳出扇形面积公式。
师生活动：由学生独立思考并讨论，类比弧长公式的研究过程可以发现在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR²，所以
1°的圆心角所对的扇形面积就是圆面积的，即，则n°的圆心角所对
的扇形面积为S=。
追问：你能用弧长表示扇形面积吗？
师生活动：学生可以通过观察发现扇形面积公式中，分子含有因式
，则分子可写为·R；分母360可写成180×2.所以可以用弧长来表
示扇形面积S= =·=L·,所以S=。其中L为扇形的弧长，R
为半径。
设计意图：通过对比弧长和扇形面积，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导做准备。
例：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径0.6m,其中水面高0.3m,求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）
追问：
(1)能否在图中标出截面半径0.6m和水高0.3m
(2)分析图形的形状，如何求它的面积
活动：
（1）引导分析并画图，进一步确定计算方法。
（2)让学生独立完成，一名学生板书。
（3）师生共同分析板书学生的过程。
设计意图：结合具体例子介绍弓形面积，加深学生对扇形面积公式的认识。同时小结不规则图形的解法：不规则图形转化为规则图形来解决。
练习：教科书P113页1-3
设计意图：练习1是对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响，练习2是巩固弧长公式，练习3是巩固扇形面积公式。
问题3：探索圆锥侧面积和全面积
设计意图：把直观操作，验证、逻辑推理有机结合，形成教学的一个体系。
师生活动：引导学生结合实物图和简图得出慨念并理解。
追问：圆锥侧面积如何计算？计算公式呢？
让学生结合图形和展开图形观察分析引导进行推理得出结论。
追问：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，
圆锥底面圆的半径为r，圆锥如图所示，那么这个扇形的半径为
_____，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为_______.
师生活动：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=，其中n可由
2r=求得：n=，∴扇形面积S==rL；
追问：那么圆锥的全面积呢？计算公式呢？
师生活动：全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．
六、评价设计
1、课堂目标检测
1、已知扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则这个扇形的弧长是 。
设计意图：考查学生对弧长公式的掌握。
2、已知扇形的圆心角为80°，半径为4cm，则这个扇形的面积是 。
设计意图：考查学生对扇形面积公式的掌握。
3、在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为 。
设计意图：考查学生对扇形面积公式的掌握。
4．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
5．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ）
A．228° B．144° C．72° D．36°
6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，
圆锥的全面积是
设计意图：4是检测圆锥顶点到圆心距离是否掌握， 5是圆锥侧面积公式 的应用及是否掌握扇形面积公式的逆应用 6是否掌握圆锥全面积公式。
2.单元检测
1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．
2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________（用含的代数式表示）
3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．
设计意图：
1.是否记住公式.
2.是否掌握求圆柱体的表面积公式.
3.是否掌握圆锥侧面积公式
4．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？
5．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶
角为60°，求圆锥全面积．
6．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm
的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底
面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个何体的表面积．
设计意图：
4、5、6是否能灵活相关知识解答(培养综合能力)

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