函数性质的探求单调性、奇偶性、周期性、对称性.doc

函数性质的探求　　　　　　　单调性、奇偶性、周期性、对称性
1 定义域为R的函数在区间上为减函数，函数为偶函数，则
A. B. C. D.
2 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
3设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
A 是奇函数 B 是奇函数
C 是偶函数 D 是偶函数
4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
A －1 B 0 C 1 D 2
5设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5
6定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
A.0 B.1 C.3 D.5
7设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当,
且，则不等式的解集是
A B C D
8与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
A B C D
10已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． 　 B． 　　 　C． D．
11函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
12已知函数．给下列命题：①必是偶函数；②当时，的图像必关于直线x＝1对称；③若，则在区间[a，＋∞上是增函数；④有最大值．
　 其中正确的序号是__
13.已知偶函数f (x)，对任意x1，x2∈R，恒有：．
（1）求f (0)，f (1)，f (2)的值； （2）求f (x)；
（3）判断在（0，+∞）上的单调性

14 已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< (1)试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

15 (1) 函数是奇函数，又，求的值.
(2) 设偶函数在上为减函数， 求不等式的解集.

16 已知定义在R上的偶函数f(x)满足：(1) ;
(2) 当x∈[0，1]时，，求的值.

17 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求f(0)的值；(2)证明函数f(x)是周期函数；
(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈R时，f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)的一个周期的图象．

18 设函数，
且在闭区间[0，7]上，只有
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

19已知函数f(x)=x4－4x3+ax2－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2）上单调递减.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx2－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

练习：
１函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
２已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A． B．
C． D．
３已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是　　　　
A． B． C． D．
４已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则 当时， .
５设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7 5)等于( )
A 0 5 B －0 5 C 1 5 D －1 5
６若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________
７ 函数f(x)=的图象
A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于原点对称 D关于直线x=1对称
８ 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是____
９ 若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________
10 已知函数f(x)=ax+ (a>1)
(1)证明 函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根

11已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,
且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0
(1)求证 f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证

答案1D2B3D4B5B6D7D8A9C10D12③
10解析： ，记=．
当a>1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，
t∈[, ]，要求对称轴，矛盾；当0<a<1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t∈[,]，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是

11 ，则。

13（1） f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3； （2），
又，f (0) = -1，故；（3）．用定义可证明在［，+∞）上是增函数，在（0，］上为减函数

14解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，
当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,
由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+
(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则　　消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±
∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称

15 解： (1) 由f (－x)＝－f (x)
得－bx＋c＝－(bx＋c)
又f (1)＝2，得a＋1＝2b，而f (2)<3,得
< 3－1< a< 2，又
所以a＝0或a＝1，当a＝0时，b＝（舍去）,当a＝1时，b＝1，
(2) 由题意，不等式可化为，又在上为减函数，所以不等式可化为或x>－．
所以，不等式的解集为(－∞，－1)∪(－，＋∞).

16 ∵ f (x)是周期函数，2是它的一个周期
∵ < < ，∴ 3 < < 4
令3≤x≤4，∴ －1≤x－4≤00≤4－x≤1
f (x)的周期是2，且是偶函数
∴ x∈[3，4]，f (x)＝f (x－4)
f [－(x－4)]＝f (4－x)＝3x－4－1
∵ x＝，x－4＝－
＝＝
∴ f ()＝－1＝－1＝－

17 解：①f (x)是R上的奇函数令x＝0
②依题意有：

③∵
∴

18解:（1）由已知得f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)¹0，故f(-1)¹±f(1),
从而知函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数；
(2)由
Þ f(x)= f(x+10),从而知函数y= f(x)的周期为T=10
由f(7-x)=f(7+x)得，f(x)的图象关于x=7对称，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.
∴在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴10是f(x)的最小正周期，
∵在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴在每一个最小正周期内f(x)=0只有两个根，
∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．

19解：（Ⅰ）由函数f(x)=x4－4x3+ax2－1，在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减，∴x=1时，f(x)取得极大值，∴f′(1)=0.
f′(x)=4x3－12x2+2ax, ∴4－12+2a=0a=4.
(Ⅱ)点A（x0,f(x0)）关于x=1的对称点B坐标为（2－x0,f(x0)）,
f(2－x0)=(2－x0)4－4(2－x0)3+4(2－x0)2－1=(2－x0)2［(2－x0)－2］2－1
=x04－4x03+4x02－1=f(x0).
∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.
（Ⅲ）函数g(x)=bx2－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程x4－4x3+4x2－1=bx2－1恰有3个不等实根，x4－4x3+4x2－1=bx2－1x4－4x3+(4－b)x2=0.
∵x=0是其中一个根，∴方程x2－4x+(4－b)=0有两个非0不等实根.
∴∴b＞0且b≠4.

练习答案：
１解析：(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 选D　本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把与搞混,其实
２解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=，∴ ，选D.
３D　４解：当x∈(0,+∞) 时，有-x∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 ．从而应填-x-x4．
５B 解析 f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)
=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5
６ 解析 由题意可知 xf(x)＜0
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
７C 解析 f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称
８ 令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，y=f(x)在R上递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减
９ 解析 ∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0 f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0 又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0 答案 (－∞,0）
10 证明 (1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且>0,
∴>0,又x1+1>0,x2+1>0
∴>0,
于是f(x2)－f(x1)=+ >0
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数
(2）证法一 设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,
则且由0＜＜1得0＜－＜1,
即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根
证法二 设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,
则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，
若x0＜－1,则>0, >0，
∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根
11 (1）证明 设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)
=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,
∴f(x)是单调递增函数
(2)解 f(x)=2x+1 验证过程略

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