资源描述
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一、选择题
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由已知得，
∴a＝2，c＝4，∴b2＝16－4＝12，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】 A
2．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)＞0，
∴k＜－3或k＞3，
故k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
【答案】 A
3．设F1、F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，如图，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得
∴|AF1|＝3a，|AF2|＝a，
∴4c2＝a2＋9a2＝10a2，
∴＝，∴e＝＝.
【答案】 B
4．(2009年海南模拟)双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为( )
A．4 B.
C．－4 D．－
【解析】 ∵方程x2＋ky2＝1表示双曲线，∴k＜0，∵双曲线x2＋ky2＝1的渐近线方程为x±y＝0，又已知一条渐近线的斜率是2.
∴＝，∴k＝－.
【答案】 D
5．(2009年湖南模拟)焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设双曲线方程为－y2＝λ(λ＜0)，
即－＝1(λ＜0)，
∴a2＝－λ，b2＝－2λ.∴c2＝－3λ.
又焦点为(0,6)，∴c＝6，
∴－3λ＝36，λ＝－12，
∴双曲线方程为－y2＝－12，即－＝1.
【答案】 B
二、填空题
6．(2008年安徽高考)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
【解析】 ∵n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴＝，∴n＝4.
【答案】 4
7．已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且＝，则双曲线的方程为________．
【解析】 直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4,0)和(0,10)，
若(－4,0)为焦点，则c＝4，而＝，
∴a＝.∴b2＝16－＝，
∴双曲线方程为：－＝1，
若(0,10)为焦点，则c＝10，
∴a＝6，∴b2＝100－36＝64，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】 －＝1或－＝1.
8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
【解析】 令x＝－c，得y2＝，
∴|MN|＝，
由题意得a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴()2－－2＝0，
∴＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线方程．
【解析】 设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，
F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2.
∴|PF1|·|PF2|·sin＝2.
∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴双曲线的方程为：－＝1.
10．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
【解析】 (1)将y＝1－x代入双曲线－y2＝1中得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①
所以，
解得0＜a＜，且a≠1，又双曲线的离心率
e＝＝，0＜a＜且a≠1，
∴e＞且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2，由于x1，x2都是方程①的两根，
且1－a2≠0，∴x2＝，x22＝－.
消去x2，得－＝，∴a2＝，∴a＝±.
由a＞0，得a＝
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