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课题：简单的线性规划
【学习目标】
1. 了解线性规划的意义、了解可行域的意义；
2. 掌握简单的二元线性规划问题的解法．
【课前导学】
1.点P满足不等式组，请画出点P所在的平面区域．
2直线与直线的位置关系是
【课堂活动】
一、 建构数学
1．问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？
2. 基本概念 对于在约束条件下，若，式中变量、满足上面不等式组，则不等式组叫做变量、的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数．满足线性约束条件的平面区域叫做可行域，（满足线性约束条件的解(x,y)叫叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域 如图（1）所示．
将目标函数变形为斜截式的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．

平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示．
因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．使目标函数取得最值，它叫做这个问题的最优解，本题中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．[来源:Zxxk.Com]
说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
3.求解线性规划的最优解的步骤[来源:
（1）列：设出未知数,列出约束条件,确定目标函数；
（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（4）求：通过解方程组求出最优解；
（5）答：作出答案。
变式练习
变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值
变式２．在例１条件下，求P=2x-y的最大值与最小值
变式3．在例１条件下，求P=4x+3y的最大值与最小值
解：变式１：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为27.5, Ｐ最小值为2０．
变式２：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为５, Ｐ最小值为．
变式３：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为２０， Ｐ最小值为０．4.
例1 （1）已知，求的取值范围；
（2）设，且，，求的取值范围．
【思路分析】先画出可行域，再平移直线即可．
【解】（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，

作一组平行线：，由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，所以，．
（2），，，由（1）知，．
【解后反思】本题还可以借助不等式的性质求解．设，求出m，n．
例2 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值
【思路分析】按照解决线性规划问题的步骤逐一实施：画出可行域——目标函数变形——平移直线——找出最优解．
【解】由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点满足，
即，而且，直线往右平移时，随之增大．[来源:Z§xx§k.Com]
由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
【变题】设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，
∴，．
【解后反思】（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
（2）线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
例3 求的最大值，使式中满足约束条件．
【思路分析】先画出可行域中的网格，找出整点，再去平移直线．注意平移直线时，只能经过整点．
【解】先画出可行域中的网格，找出整点，只有三个：．将目标函数化为直线：，当直线经过点时，．
【解后反思】在网格中整点较少时，可以逐一代入比较；在实际问题中，若从图形中不能清楚的看出最优解，可以将一些“可疑点”代入比较验证．
例4.设x，y，z满足约束条件，求的最大值和最小值．
析：减元，转化成二元一次不等式组条件下求二元函数最值的线性规划问题．
答案：
例5、已知三角形ABC的三个顶点为A（1,1），B（3,1），C（2,5），点P（x,y）是三角形ABC内的任一点（含边界），且z=ax-y取得最大值的最优解有无数个，求a的值。
【变1】：z=ax-y取最小值的最优解有无数个，求a的值。
【变2】：z=ax+y取最大值的最优解有无数个，求a的值。
例6 投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
【思路分析】这是一个二元线性规划问题，求解之前，先将题中的数据整理成表格．

资金 场地
（百万元） （百平方米）
利润
（百万元）
A产品（百吨）
B产品（百吨）

限制

然后根据表，设未知数，列出约束条件和目标函数，最后作图求解．
【解】见课本P79例1
例6某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．
【解】见课本P79例2
三、课后练习
1. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为 ．3，-11
2. 已知满足约束条件则函数取最小值是的最优解是 ．（0,0）
3. 已知，则的取值范围是 ．[4,7]
4.使式中满足约束条件,求在 的最大值为
5. 已知点P(x，y)在如图所示的三角形区域中(包括边界)，其中三顶点 A(1，1)，B(5，2)，C(1，4)，若z=ax+y 取最大值时的最优解有无数个,则正数a的值为 ．
6、在线性约束条件下，则Z＝x+y的取值范围为
Z＝x-y的取值范围为 。
6. 已知则的最小值为 ． 5.
7、已知函数且，求：
（1）的取值范围；（2）的最值；（3）的范围 （4）的最值

8. 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个．又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益?
答：甲乙两种产品各生产20t，24t时，能使得利润总额达到最大．

9、投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m2,可获利润
300万元；投资生产B产品时，每生产100t需要资金300万元，需场地100 m2，可获利
200万元。现某单位可使用资金1400万元，场地900 m2，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？

10、下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素含量及成本：

维生素A
（单位/kg）
维生素B
（单位/kg）
成 本
（元/kg）
X
300
700
5
Y
500
100
4
Z
300
300
3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，如果要使成本最低，那么X、Y、Z应各取多少千克？

11、某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗矿石4 t、煤3 t；生产乙种产品1t，需耗矿石5t、煤10t.每1 t甲种产品的利润是7万元，每1 t乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗矿石不超过200 t、煤不超过200 t、煤不超过300 t，则甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？

12、一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半。该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁，又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元，生产1L乙种饮料得4元。那么厂方每天生产甲乙两种饮料各多少，才能获利最大？

13、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型

钢板类型
A规格

B规格

C规格

第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

14、某工厂工制造Ａ种电子装置45台，Ｂ种装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格，甲种薄钢板每张面积2，可做Ａ、Ｂ的外壳分别为３个和５个；乙种薄钢板每张面积３，可做Ａ、Ｂ的外壳各６个，求两种薄钢板各用多少张才能使总的用料面积最小？

15、某运输公司向某地区运送货物，每天至少运送180t。该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型3次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车为320元，B型车为504元。试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。

16、某运输公司向某地区运送货物，每天至少运送180t。该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型3次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车为320元，B型车为504元。试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。

17、某制药公司有三条生产线生产中成药产品，公司进行产品结构调整，决定用现有产品生产线的剩余生产能力试生产两种新产品。新产品的生产方式为批量生产：400个为一批。目前由于大多数生产设备已用于其他产品的生产，所以首先确定每周生产线可用的生产时间，以及各种产品每批的生产时间，时间单位以小时计。然后由生产中心确定生产成本，市场中心进行定价，得到两种新产品每一批的利润。具体数据如下表所示：
生产线
每批产品的生产时间（h）
每周生产时间（h）
产品一
产品二
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
8
每批利润（千元）
3
5

试问：怎样确定两种产品的生产方式，以使公司每周利润最大。

18、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？