第4讲 复内积空间 (酉空间).doc

第4讲 复内积空间 (酉空间)

内容：1. 复内积空间
2. 正规矩阵
3. Hermite二次型
欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.

§1 复内积空间 (酉空间)
1. 复内积空间 (酉空间)
定义1.1 设是复线性空间,若对于中任意两个元素（向量）和,总能对应唯一的复数，记作,且满足以下的性质：
（1）对称性
（2）可加性
（3）齐次性
（4）非负性 当且仅当时,
则称该复数是中元素（向量）和的内积.称定义了内积的复线性空间为酉空间(或称空间或复内积空间).
例1.1 在维向量空间中，任意两个向量
，，
若规定 ，则容易验证，它是中向量和的内积.
2. 酉空间的性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
3. 酉空间的一些结论
(1) 向量的长度
(2) 不等式:
(3) 两个非零向量的夹角

(4) 当时，称与正交，积作.
与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且中的任一组基均可通过方法化为一组标准正交基.
4. 酉变换和复对称变换
定义1.2 设是空间中的一个线性变换，若对，均有成立，则称为空间上的酉变换，而满足的矩阵称为酉矩阵.
定理1.1 设是酉空间上的一个线性变换，则下列命题是等价的：
(1) 是一个酉变换
(2) 保持元素的长度不变,即对任意的，有
(3) 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基
(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即
定义1.3 设是空间中的一个线性变换，若对，均有成立，则称为空间上的复对称变换，满足的矩阵分别称为Hermite矩阵与反Hermite矩阵.

§2 正规矩阵
定义2.1 设,若满足,则称为正规矩阵.特别,当时，若满足,称为实正规矩阵.
显然，对角矩阵, Hermite矩阵，反Hermite矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.
定义2.2 设，如果存在阶正交（酉）矩阵，使得，（），则称正交（酉）相似于．
定理2.1 设为正规阵,则与酉相似的矩阵都是正规阵；必有个线性无关的特征向量；的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。
定理2.2 矩阵是正规阵的充要条件是存在酉矩阵，使得，其中是的特征值.
例2.1 已知是酉矩阵，且可逆，试证明
是反Hermite矩阵.
证明 因为，由于
，从而
,
即,故是反Hermite矩阵.

§3 Hermite二次型
在线性代数中，讨论了实二次型，现在将其推广至复系数的情形，引入Hermite二次型.
定义3.1 设为个复变量，则元二次齐次函数

称为复变量的元二次型.当时，称为Hermite二次型.
若记 ，则Hermite二次型可简记为，其中是一个Hermite矩阵，矩阵元满足 .
定义3.2 当时，二次型化为
，
称之为Hermite二次型的标准形.
与实二次型相似，作满秩的线性变换，其中C为满秩复阵，则.可以证明：矩阵也是Hermite阵，从而的复二次型化成了的复二次型.当时,二次可化为标准形
.
定理3.1 任给一个Hermite二次型,总存在一个酉变换，把二次型化为标准形，其中是的特征值.
例3.1 设,求酉变换将其化为标准形.
解 二次型的矩阵为,的特征多项式
,
的特征值为,对应于各个特征值的特征向量分别为,,.将其正交单位化得酉矩阵，作酉变换,则可得,这即为要求的标准形.