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第4讲 复内积空间 (酉空间)
内容：1. 复内积空间
2. 正规矩阵
3. Hermite二次型
欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.
§1 复内积空间 (酉空间)
1. 复内积空间 (酉空间)
定义1.1 设是复线性空间,若对于中任意两个元素（向量）和,总能对应唯一的复数，记作,且满足以下的性质：
（1）对称性
（2）可加性
（3）齐次性
（4）非负性 当且仅当时,
则称该复数是中元素（向量）和的内积.称定义了内积的复线性
2、空间为酉空间(或称空间或复内积空间).
例1.1 在维向量空间中，任意两个向量
，，
若规定 ，则容易验证，它是中向量和的内积.
2. 酉空间的性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
3. 酉空间的一些结论
(1) 向量的长度
(2) 不等式:
(3) 两个非零向量的夹角
(4) 当时，称与正交，积作.
与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且中的任一组基均可通过方法化为一组标准正交基.
4. 酉变换和复对称变换
定义1.2 设是空间中的一个线性变换，若对，均有成立，则称为空间上的酉变换，而满足的矩阵称为酉矩阵
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定理1.1 设是酉空间上的一个线性变换，则下列命题是等价的：
(1) 是一个酉变换
(2) 保持元素的长度不变,即对任意的，有
(3) 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基
(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即
定义1.3 设是空间中的一个线性变换，若对，均有成立，则称为空间上的复对称变换，满足的矩阵分别称为Hermite矩阵与反Hermite矩阵.
§2 正规矩阵
定义2.1 设,若满足,则称为正规矩阵.特别,当时，若满足,称为实正规矩阵.
显然，对角矩阵, Hermite矩阵，反Hermite矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和
4、实反对称矩阵都是实正规矩阵.
定义2.2 设，如果存在阶正交（酉）矩阵，使得，（），则称正交（酉）相似于．
定理2.1 设为正规阵,则与酉相似的矩阵都是正规阵；必有个线性无关的特征向量；的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。
定理2.2 矩阵是正规阵的充要条件是存在酉矩阵，使得，其中是的特征值.
例2.1 已知是酉矩阵，且可逆，试证明
是反Hermite矩阵.
证明 因为，由于
，从而
,
即,故是反Hermite矩阵.
§3 Hermite二次型
在线性代数中，讨论了实二次型，现在将其推广至复系数的情形，引入Hermite二次型.
定义3.1 设为
5、个复变量，则元二次齐次函数
称为复变量的元二次型.当时，称为Hermite二次型.
若记 ，则Hermite二次型可简记为，其中是一个Hermite矩阵，矩阵元满足 .
定义3.2 当时，二次型化为
，
称之为Hermite二次型的标准形.
与实二次型相似，作满秩的线性变换，其中C为满秩复阵，则.可以证明：矩阵也是Hermite阵，从而的复二次型化成了的复二次型.当时,二次可化为标准形
.
定理3.1 任给一个Hermite二次型,总存在一个酉变换，把二次型化为标准形，其中是的特征值.
例3.1 设,求酉变换将其化为标准形.
解 二次型的矩阵为,的特征多项式
,
的特征值为,对应于各个特征值的特征向量分别为,,.将其正交单位化得酉矩阵，作酉变换,则可得,这即为要求的标准形.
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