圆周角的概念和圆周角定理….doc

24.1 圆周角教学设计
段店中学：张艳春
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．
教学目标
知识与技能：1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．熟练掌握圆周角的定理的灵活运用．
过程与方法：设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
情感、态度与价值观：（1）经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学的思考能力。
（2）通过积极的引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
二、探索新知
C
A
B
D
O
问题1：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图（1），甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大.如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大.

图（1）

（二）呈现问题    
问题1图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？(角顶点的位置在圆上).
这就是我们今天学习的内容——圆周角.
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一条弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？
老师点评：www.1230.org 初中数学资源网
1．一条弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等
三、实际应用：
下面，我们通过这个定理来解一些题目．
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？

2、求圆中角X的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O
.
X
120°

3、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A

4、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
四、归纳小结
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等
3．应用圆周角的定理解决一些具体问题．
五、布置作业
1.课后思考：“在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧相等”
判断：⑴同弧或等弧所对的圆周角相等……（ ）
⑵等弦所对的圆周角相等……………（ ）
⑶相等的圆周角所对的弧相等………（ ）
思考：在同一圆内，若两条弧相等，则你可以得到哪些结论？
（对于两个相等的圆，有相同的结论。）
思考：在同一个圆内，一条弦所对的圆周角是相等的吗？
2.作业：教材P89 3,5．