资源描述
方程与实际问题的应用
(九年级数学中考专题复习课)
主讲:南宁市第四十五中学 廖玺辉
教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
知识技能
经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
重难点、关键点
重点:列一元二次方程解有关问题的应用题
难点:发现问题中的等量关系
关键:根据等量关系建立一元二次方程的数学模型
教学准备
教师准备:制作课件,精选习题
学生准备:复习有关知识,预习本节课内容
教学过程
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法?
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2.列一元一次方程解应用题的步骤是什么?
(1)审:弄清题意和题目中的数量关系;
(2)设:用字母表示题目中的一个未知数;
(3)找:找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系;
(4)列:根据这个等量关系列出代数式,从而列出方程;
(5)解:解所列的方程,求出未知数的值;
(6)验:检验方程的解是否符合题意;
(7)答:写出答案(包括单位名称).
★考点梳理★
1.工程问题:
基本数量关系为:工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。
2.利润赢亏问题
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
3.存款利率问题:
利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率(20%)
4.行程问题:
基本数量关系:路程=速度×时间,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间,
路程=速度×时间。
①相遇问题:快行距+慢行距=原距;
②追及问题:快行距-慢行距=原距;
③航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度,
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
5. 增长率问题:增长后的量=基础量x(1+增长率)
6 .面积问题
(一) 增长率问题
例 题
某市2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元,求这两年教育投入年平均增长率.
解:设这两年的年平均增长率为x,则
2500(1+x)²=3025
整理,得 (1+x)²=1.21
解得 x1=0.1=10%, x2=-2.1、增长率X2=-2.1是负增长,这与题意不符,因此舍去,故取x=0.1=10%.
答:这两年的年平均增长率为10%.
跟踪训练
为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率。
解:设平均每次降价的百分率为x,得
100(1-x)²=81
解得 x1=0.1=10%, x2=1.9
X2=1.9与实际问题不符,舍去,故取x=0.1=10%.
答:平均每次降价的百分率为10%.
(二)商品利润问题.
例 题:某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元,则可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%.若该商店计划从这批商品中获取400元利润问需要卖出多少件商品,此时的售价是多少?
(售价-进价)×销售量=利润
解:(x-21)(350-10x)=400
整理得 x²-56x+775=0
解得 x1=25, x2=31
21×120%=25.2,即售价不能超过25.2元,所以x=31不合题意,应当舍去.故x=25.
从而卖出350-10x=350-10×25=100(件)
答:该商店需要卖出100件商品,且每件商品的售价是25元.
跟踪训练
某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件,每件可盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售出5件.若要平均每天盈利1600元,则应降价多少元?
解: 设应降价x元,则
(44-x)(20+5x)=1600
整理,得 x²-40x+144=0
解得 x1=36, x2=4
答:应降价36元或4元。
课后小测
1、某公司一月份营业额为100万元,第一季度总营业额为331万元,问:该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少?
解:设该公司二、三月份营业额平均增长率是x.
根据题意得100+100(1+x)+100(1+x)²=331,
解得x1=0.1,x2=﹣3.1(不合题意,舍去).
答:该公司二、三月份营业额平均增长率是10%.
2、前一阶段,我校成功的举办了首届数学节,某种活动所需材料经过两次降价后,从原来的20元减少到12.8元,若两次降价的百分率相同,请你求出降价的百分率.
解:设平均每次降价的百分率为x,根据题意得:
20(1-x)²=12.8
解得:x1=0.2,x2=1.8(不符合题意舍去).
答:每次降价的百分率为:20%.
3、据媒体报道,我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人,2013年公民出境旅游总人数约7200万人,若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答如下问题:
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
(2)如果2014年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人?
解:(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.
根据题意得:5000(1+x)²=7200,
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2 (不合题意,舍去).
答:这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.
(2)如果2014年仍保持相同的年平均增长率,
则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200(1+x)=7200×(1+20%)=8640(万人次).
答:预测2014年我国公民出境旅游总人数约8640万人次.
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