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方程与实际问题的应用
（九年级数学中考专题复习课）

主讲：南宁市第四十五中学 廖玺辉

教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
知识技能
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重难点、关键点
重点：列一元二次方程解有关问题的应用题
难点：发现问题中的等量关系
关键：根据等量关系建立一元二次方程的数学模型
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程
知识回顾 
1．解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；
（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；
（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；
（4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；
（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（6）验：检验方程的解是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）．
★考点梳理★
1.工程问题：
基本数量关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
2.利润赢亏问题
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
3.存款利率问题：
利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
4.行程问题：
基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，
路程=速度×时间。
①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
5. 增长率问题：增长后的量=基础量x(1+增长率)
6 .面积问题

（一） 增长率问题
例 题
某市2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元，求这两年教育投入年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，则
2500（1+x）²=3025
整理，得 （1+x）²=1.21
解得 x1=0.1=10%， x2=-2.1、增长率X2=-2.1是负增长，这与题意不符，因此舍去，故取x=0.1=10%.
答：这两年的年平均增长率为10%.

跟踪训练
为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率。
解：设平均每次降价的百分率为x，得
100（1-x）²=81
解得 x1=0.1=10%, x2=1.9
X2=1.9与实际问题不符，舍去，故取x=0.1=10%.
答：平均每次降价的百分率为10%.

（二）商品利润问题．
例 题：某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
（售价-进价）×销售量=利润
解：（x-21)(350-10x）=400
整理得 x²-56x+775=0
解得 x1=25, x2=31
21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.
从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）
答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元.

跟踪训练
某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？
解： 设应降价x元，则
(44-x)(20+5x)=1600
整理，得 x²-40x+144=0
解得 x1=36, x2=4
答：应降价36元或4元。

课后小测 
1、某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．
根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）²=331，
解得x1=0.1，x2=﹣3.1（不合题意，舍去）．
答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．
2、前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
20（1-x）²=12.8
解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意舍去）．
答：每次降价的百分率为：20%．
3、据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？
解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．
根据题意得：5000（1+x）²=7200，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，
则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．
答：预测2014年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．