概率论与数理统计考试试卷与答案.doc

05——06
一.填空题（每空题2分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知，则 0.6 , 0.1 ，= 0.4 , 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ．

0 1
-1
1
0.2 0.3
0.4
5、设二维随机向量的分布律如右，则0.1, 0.4，的协方差为: - 0.2 ，

1 2
概率
0.6 0.4
的分布律为:

6、若随机变量~且，,则0.815 ， 5 ， 16 ）。
7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则： - 4 ， 6 。
8、设，则 30
9、设是总体的容量为26的样本，为样本均值，为样本方差。则：N（8 ， 8/13 ），， 。
10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之<a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为： 显著性 检验。
二、（6分）已知随机变量X的密度函数
求：（1）常数， （2）（3）X的分布函数F（x）。
解:(1)由 2’
(2) = 2’
(3) 2’
三、（6分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：
求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。
解:(1) X，Y的边缘密度分别为:
4’
(2)由(1)可见, 可知: X，Y相互独立 2’
四、（8分）设总体X~N(0，),。是一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计。
解: X的二阶矩为: 1‘
X的二阶样本矩为 1’
令： , 1’
解得: ,
的矩估计量 2’
, 它为的无偏估计量. 3’
五、（10分） 从总体~中抽取容量为16的一个样本，样本均值和样本方差分别是，
求u的置信度为0.95的置信区间和 的置信度为0.95的置信区间。
解: (1)n=16,置信水平,
由此u的置信水平为0.95的置信区间为:
, 即 5’
(2) n=16,置信水平,
由此的置信水平为0.95的置信区间为:
5’
六 、 （10分）设某工厂生产工件的直径服从正态分布，要求它们的均值，现检验了一组由16只工件，计算得样本均值、样本方差分别，试在显著水平下，对该厂生产的工件的均值和方差进行检验，看它们是否符合标准。
此题中，
解:（1）首先对工件的均值进行检验: H0: 1分
取统计量为, 可得拒绝域为: ， 2分
经计算, ,不在拒绝域内,因此接受H0.认为这批工件的均值符合标准。 2分
其次首先对工件的方差进行检验: H0: 1分
取统计量为, 可得拒绝域为: 2分
经计算, ,在拒绝域内,因此拒绝H0.认为这批工件的方差不符合标准。 2分

XX大学（本科）试卷（ B卷）
2005 -2006 学年第一学期

一. 填空题（每小题2分，共计60分）
1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。
2．。若与独立，则 0。28 ；若已知中至少有一个事件发生的概率为，则 0.3， 1/3 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。
4、。若服从泊松分布，则；若服从均匀分布，则 0 。
5、设，且，则 2 ； 0.8 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。
7、若随机变量，则 0.75 ；__7___，
12 ．
8、设，则，并简化计算。
9、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则： -4 ， 6 。
10、设是总体的容量为16的样本，为样本均值，为样本方差。
则：N（20， 1/4 ），= 0.0556 ，
， t(15)。
此题中。
11、随机变量的概率密度 ，则称服从指数分布，。
12、做假设检验时，容易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是： 取伪 错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然 增加 另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之《a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验，a称为 显著水平。

0 1
0
1
0.4 0.3
0.3 0
13、设二维随机向量的分布律是：

则的方差 0.21 ；
的相关系数为: 3/7 。

二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率．
解：设分别表示产品取自甲、乙、丙厂，
有： 2’
B 表示取到次品，， 2’
由贝叶斯公式：= 4’
三、（7分）已知随机变量X的密度函数
求：（1）常数， （2）（3）X的分布函数F（x）。
解:(1)由 2’
(2) = 3’
(3) 2’
四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：
求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。
解:(1) X，Y的边缘密度分别为:
5’
(2)由(1)可见, 可知: X，Y相互独立 2’

五、（7分） 从总体~中抽取容量为16的一个样本，样本均值和样本方差分别是，
求u的置信度为0.95的置信区间和 的置信度为0.95的置信区间。
解: (1)n=16,置信水平,
由此u的置信水平为0.95的置信区间为:
, 即 4’
(2) n=16,置信水平,
由此的置信水平为0.95的置信区间为:
3’
六 、（7分）设总体X~N(u，1), 未知。是一个样本，求的最大似然估计量，并证明它为的无偏估计。
解: 样本的似然函数为:
2’
而 1’
令: , 1’
解得: 的最大似然估量 1’
, 它为的无偏估计量.
七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知，。
解:设X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X∽B(10000,0.0064)。
该保险公司的利润函数为：。 2‘
所以
用中心极限定理
3‘
答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413

XX大学（本科）试卷（ A 卷）答案
2006-2007 学年第二学期
二. 填空题（每小题2分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知，则
a) 若互斥，则 0.5 ;
b) 若独立,则 0.65 ;
c) 若,则 3/7 .
2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，
(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .
3、设随机变量X服从泊松分布，则 8 .
4、设随机变量X服从B（2，0. 8）的二项分布,则 0.64 , Y服从B（8，0. 8）的二项分布, 且X与Y相互独立，则=1- 0.210，8 。
5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比为 0.0228 。
其中标准正态分布函数值.

0 1
-1
1
0.3 0.3
0.3
6、设二维随机向量的分布律是有
则_0.1_，的数学期望___0.4_______，的相关系数___-0.25______。
7、设及分别是总体的容量为16，8的两个独立样本，分别为样本均值，分别为样本方差。
则： N(8,1) ， N(0,1.5) ，= 0.0456 ，
， F(15,7) 。
此题中
8、设是总体的样本，下列的统计量中，A，B，C 是的无偏统计量，的无偏统计量中统计量 C 最有效。
A. B. C. D.
9. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布,为总体的样本，的矩估计量为，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则的矩估计值为 160
10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H0 成立的条件下拒绝H0 的错误 ,也称为弃真错误。
二、（6分）已知随机变量X的密度函数
求：（1）常数， （2）（3）X的分布函数F（X）。
解:(1)由 2’
(2) = 2’
(3) 2’
三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：
，且随机变量X，Y相互独立。
（1）求（X，Y）的联合概率密度为：
（2）计算概率值。
解:(1)
X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为,
2’
（2） 3’
= 1’
四、（8分） 从总体~中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是：，
求u的置信度为0.95的置信区间和 的置信度为0.95的置信区间。
解: (1)n=25,置信水平,
由此u的置信水平为0.95的置信区间为
, 即 4’
(2) n=25,置信水平,
由此的置信水平为0.95的置信区间为:
4’

五 、（8分）设总体X服从均匀分布,是X的一个样本，求的矩估计量
解:设的一阶样本矩、二阶样本矩分别为，
的一阶矩、二阶矩分别为,令 4’
2’
可解出
2’
六、（8分）某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布,该校校长声称学生 平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平下，检验该校长的断言是否正确。（此题中）
解: 按题意学生成绩 未知,现取检验假设:
2’
用t检验,现有,拒绝域为: 2’
, 2’
由:, , 1’
t值在拒绝域内,故拒绝,认为该校长的断言不正确. 1’
七、（8分） 设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10克, 现检验了一组16只数显称重器,得标准差12克，试检验制造商的言是否正确（取），此题中。
解: 按题意数显称重器读数 未知,现取检验假设
2’
在成立的条件下，用检验,现有, 2’
拒绝域为,
> 2’
算得: 1’
不在拒绝域内,故接受,认为读数的标准差不显著超过10克. 1’
八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知，提示用中心极限定理）
解 总体服从为参数的0-1分布，
2’
为总体的样本，在成立条件下，选择统计量
，由 中心极限定理，近似服从标准正态分布，则拒绝域为
经计算该体，即得 Z在拒绝域内,故拒绝，
认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求

XX大学（本科）试卷（ B 卷）
2006-2007 学年第二学期
1、A、B是两个随机事件，已知，则
0.125 ; 0.875 ; 0.5 .
2、袋子中有大小相同的5只白球， 4只红球， 3只黑球， 在其中任取4只
(1)4只中恰有2只白球1只红球1只黑球的概率为：.
(2) 4只中至少有2只白球的概率为：.
(3) 4只中没有白球的概率为：
3、设随机变量X服从泊松分布，则 6 .
4、设随机变量X服从B（2，0. 6）的二项分布,则 0.36 , Y服从B（8，0. 6）的二项分布, 且X与Y相互独立，则= 1-0.410 ， 6 。
5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（70，16），则该学校学生的及格率为 0.9938 ，成绩超过74分的学生占比为 0.1587 。
其中标准正态分布函数值.
6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%，次品率为10%；乙生产的产品占40%，次品率为20%。(1) 若随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为 0.14 ；（2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 .
7、设及分别是总体的容量为10，15的两个独立样本，分别为样本均值，分别为样本方差。
则： N(20,3/5) ， N(0,1) ，= 0.3174 ，
， F(9,14) 。
此题中。此题中
8、设是总体的样本，下列的统计量中， C 最有效。
A. B. C.
9. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布,为总体的样本，的矩估计量为，15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，则的矩估计值为 16
10、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指 H0 成立的条件下拒绝H0 的错误 ,第二类错误是指 H1 成立的条件下拒绝H1 的错误 ,显著水平是指控制第一类错误的概率 小于 .
二、（6分）已知随机变量X的密度函数
求：（1）常数， （2）（3）X的分布函数F（X）。
解:(1)由 2’
(2) = 2’
(3) 2’
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三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：
，且随机变量X，Y相互独立。
（1）求（X，Y）的联合概率密度为：
（2）计算概率值。
解:(1)X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为,
2’
（2） = 3’
四、（8分） 从总体~中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是，
分别求u、的置信度为0.95的单侧置信下限。
解: (1)n=25,置信水平,
由此u的置信水平为0.95的单侧置信下限为:
, 4’
(2) n=25,置信水平,
由此的置信水平为0.95的单侧置信下限为:
5.93 4’
五 、（8分）设总体X服从未知。是X的一个样本，求的极大似然估计量，并证明它为的无偏估计。
解: 样本的似然函数为:
2’
而 1’
令: , 1’
解得: 的最大似然估量 2’
, 它为的无偏估计量. 2’
. 六、（8分）一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨, 现测得最近5天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为800吨。（取），此题中。
解: 按题意日产量 未知,现取检验假设:
1’
用t检验,现有,拒绝域为:
, 1’
算得:, , 2’
t值不在拒绝域内,故接受,认为日产量没有显著变化. 1
七、（8分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布,现他声称他的温度计读数的标准差为不超过0.5, 现检验了一组16只温度计,得标准0。7度，试检验制造商的言是否正确（取），此题中。解: 按题意温度计读数 未知,现取检验假设:
1’
用检验,现有,拒绝域为:
>
2’
在拒绝域内,故拒绝,认为温度计读数的标准差为显著超过0.5. 1
八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知，提示用中心极限定理）
解 总体服从为参数的0-1分布，
2’
为总体的样本，在成立条件下，选择统计量
，由 中心极限定理，近似服从标准正态分布，则拒绝域为
经计算该体，即得 Z在拒绝域内,故拒绝，
认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求

2008-2009 学年第二学期

三. 填空题（每空题3分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知，则
0.8 、 0.6 ,事件A,B的相互独立性为： 相互独立 。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球3只、白球1只，
(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到红球的概率为： 1/3 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到红球的概率为： 9/25 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到红球的概率为： 21/55 .
3、设随机变量X服从参数为100的泊松分布，则 100 ,利用“3” 法则，可以认为X的取值大多集中在 70 ---130 范围。
4、设随机变量X服从N（500，1600）的正态分布,则 0.0228 , Y服从N（500，900）的二项分布, 且X与Y相互独立，则服从 N（1000，2500） 分布;若 1082.5 。；,
5.已知随机变量X的密度函数
则:（1）= 0.75

（2）X的分布函数F（）= 。
6、设随机变量(X,Y)具有，，则= 11 ，= 51 。
7、两个可靠性为p>0的电子元件独立工作，
（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：；
（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：；
8、若随机变量，则 2/3；_1.5 ，
3 ．

二、（6分）计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件。则根据全概率公式有
　，
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
，
，
。

三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：，，且随机变量X，Y相互独立。
（1）求（X，Y）的联合概率密度为：
（2）计算概率值。
解:(1)
X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为,
3’
3‘

四、（8分）一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）
16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.1
15.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.4
15.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8
设样本来自正态总体，均未知。经计算， ，
求（1）的置信水平为90%的置信区间；（2）的置信水平为90%的置信区间。
解： （1）的置信水平为90%的置信区间为
（2）的置信水平为90%的置信区间为

五 、（10分）设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计量。，并证明它为的无偏估计。
解: 似然函数为 ，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
2’
, 它为的无偏估计量.

六、(10分)测得某地区16个成年男子的体重（以公斤计）为
77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.20
69.01, 77.63, 74.00, 77.18, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47
设样本来自正态总体，均未知，试取检验假设：。（取），此题中
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤。。