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第十三章 机械波
一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个～5个答案，其中有的只有1个正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1.在下列关于机械波的表述中，不正确的是
A.机械波实际上就是在波的传播方向上，介质中各质元的集体受迫振动；
B.在波的传播方向上，相位差为2π的两质元之间的距离称为波长；
C.振动状态在介质中传播时，波线上各质元均可视为新的子波波源；
D.波的振幅、频率、相位与波源相同;
E.波线上离波源越远的质元，相位越落后。 （ ）
解：选（D）。简谐波的频率与波源的频率相同。对于平面简谐波，我们假设了介质是均匀、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变，且与波源的振幅相同，但对于简谐球面波，其振幅与离开波源的距离成反比。波的相位与位置有关，且总是落后于波源的相位。
2.已知一平面简谐波的波函数为y=Acos（at-bx）(a、b为正值)，则：
A.波的频率为a；
B.波的传播速度为；
C.波长为
D.周期为（ ）
解：选（D）。沿Ox轴正方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：
。
将题中给出的波函数化为，与标准形式比较得：周期，波长，波速，频率。
3.在下列关于波的能量的表述中，正确的是
A. 波的能量；
B. 机械波在介质中传播时，任一质元的和均随时间t变化，但相位相差；
C. 由于和同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立；
D.和同相位，表明波的传播是能量传播的过程。（ ）
解：选（D）。在有波传播的介质中，任一体积元中的动能和势能随时间变化的规律完全相同，也就是说，当该体积元内的动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。但这并不表明能量守恒定律本身不成立，因能量守恒定律只适用于封闭（孤立）系统，而该体积元是开放系统，它不断从后面的介质中获得能量，又不断地把能量传给前面的介质。这与单个质点的简谐振动不同，当单个质点做简谐振动时，其动能最大时势能为零，势能最大时动能为零，两者之和为，机械能守恒。
4.传播速度为100m/s，频率为50Hz的平面简谐波，在波线上相距为0.5m的两点之间的相位差为：
A. ； B.； C.； D.。 （ ）
图13-1
解：选（C）。波长，相位差。
5.一列平面余弦波t时刻的波形如图13-1所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：A. ； B. ；
C. ； D.。（ ）
解：选（B）。由图可知，该时刻b、d、f三个质元位移为零，说明此时它们正通过平衡位置，因此动能最大，根据波动过程中能量传播的规律，它们的势能也最大。
6.一频率为500Hz的平面简谐波，波速为360m/s，则同一波线上相位差为的两点间距离为：
A. 0.24m； B.0.48m； C.0.36m； D.0.12m。 （ ）
解：选（D）。波长，又因相位差，所以
m。
7.一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，其振幅A=0.01m，频率ν=550Hz，波速u=330m/s。若t=0时，坐标原点处的质点达到负的最大位移，则此波的波函数为：
A.y=0.01cos［2π（550t+1.67x）+π］；
B.y=0.01cos［2π（550t-1.67x）+π］；
C.y=0.01cos［2π（550t+1.67x）-π/2］；
D.y=0.01cos［2π（550t-1.67x）+3π/2］。 （ ）
解：选（A）。沿Ox轴负方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：，其中，，由旋转矢量法易知，，故选A。
8.在下列关于波的干涉的表述中，正确的是：
A.两列波在空间相遇，叠加的结果形成干涉；
B.两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强”，就是“减弱”（即极大或极小）；C.干涉加强意味着合振幅A有极大值，干涉减弱意味着合振幅A有极小值；
D.干涉加强点意味着该质元的y不随时间变化，始终处于极大值位置；
E.两列相干波形成干涉，某时刻介质中P点处的质元距平衡位置为y，且，表明P点一定既不是加强点，也不是减弱点。 （ ）
解：选（C）。波的干涉是指频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强、某些地方振动始终减弱的现象。干涉加强的点合振幅有极大值，干涉减弱的点合振幅有极小值，其它点的合振幅则在极大值和极小值之间。
9.一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由1200Hz变为1000Hz，空气中的声速为330m/s，则火车的速度为
A.30m/s； B.55m/s； C.60m/s； D.90m/s。（ ）
解：选（A）。注意，题中给出的两个频率都是观察者接收到的频率，不是波源（火车）的频率。由多普勒效应的频率公式知，观察者接收到的频率
上式中，假若观察者接近波源，前取正号，反之取负号（本题观察者的速度为）；波源向着观察者运动时，前取负号，远离时取正号，因此有
消去，得到。
10.人耳能辨别同时传来的不同声音，这是因为：
A.波的反射和折射； B.波的干涉； C.波的独立传播性； D. 波的强度不同。（ ）
解：选（C）。
二、填空题
1.已知波源在坐标原点（x=0）的平面简谐波的波函数为y=Acos（Bt-Cx），其中A、B、C为正值常数，则此波的振幅为 A ，波速为，周期为，波长为。在任意时刻，在波传播方向上相距为D的两点的相位差为。
解：参见本章选择题2。此题不需要明确哪点相位超前或落后，故相位差。若将此题改成，求在波传播方向上坐标为和的两点的相位差，则应写成，注意下标、的顺序不能颠倒。
2.波源位于x=-1m处，其振动方程为y=0.05cos（2πt+π/3）m，此波源产生的波无吸收地分别向X轴正、负方向传播，波速u=2m/s。则向X轴正向传播的波动方程为：y1= ，向X轴负向传播的波动方程为y2=。
M
O
P
u
X
Y
-1
x
解：仅分析波沿X轴正方向传播时的情况（如图）。所谓“求波动方程”其实就是求任意质点在任意时刻的位移，其理论依据是：（1）波的传播是状态的传播（这里的“状态”是指质点振动的位移、速度、加速度等）；（2）状态的传播需要时间。为此，任取坐标为x的一点P，显然， P点在t时刻的位移，应该等于波源处（M点）在时刻的位移，于是有m。
3.一沿x轴正方向传播的平面简谐波，波速为u=10m/s，频率为=5Hz，振幅A=0.02m。在t=0时，位于坐标原点处的质元的位移为y0=0.01m，速度，则此列波的波动方程为：y=；位于x1=4m和x2=4.1m处两质元的相位差：Δφ=。解：把坐标原点作为参考点，设参考点的振动方程为，其中A=0.02m，rad/s，如图，由旋转矢量法求得初相，因此。在x轴正向任取一点P,P点在t时刻的位移等于参考点在时刻的位移，因此，波动方程为。
y
0.01
0.02
O
波长，位于x1=4m和x2=4.1m处两质元的相位差：。
4.频率为500Hz的波，其传播速度为350m/s，相位差为的两点间距为m。
解：,由可求出m。
5.一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 损失π，这个现象称为 半波损失 。
解：(略)
6.已知驻波方程为y=0.04cos20xcos800t（SI），则形成该驻波的两列行波的振幅A= 0.02 m，波速u= 40 m/s，相邻两波节的距离为Δx= m。
解：驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿着相反方向传播时叠加形成的。若设这两列相干波的振幅均为A、频率均为、波长均为、且坐标原点处的初位相都为零，则驻波方程可以写成
与题目中给出的驻波方程比较，可以求得，，。从而，波速。由于相邻两波节之间的距离为半个波长，所以。
7.设入射波的表达式为y1=Acos2π（νt+x/λ），波在x=0处发生反射，若反射点为固定端，则反射波的表达式为y2=；若反射点为自由端，则反射波的表达式为y3=。
解：入射波在x=0处引起振动的方程为。若反射点为固定端，则应计入半波损失，于是反射波在x=0处引起振动的方程为，因此，反射波的表达式（亦称反射波的波动方程）为（参见本章填空题第2题解答）。若反射点为自由端，则不存在半波损失，此时反射波的表达式为。
8.一列平面简谐波在介质中传播，波速u=1.0×103m/s，振幅为A=1.0×10-4m，频率为ν=1.0×103Hz，介质密度为ρ=8.0×102kg/m3，则该波的能流密度为I=；在60s内垂直通过面积为S=4.0×104m2的总能量为W=J。
解：波的能流密度
总能量
9.一个功率为W的波源位于O点，以O为球心作两个同心球面，它们的半径分别为r1和r2，则通过这两个球面的能流密度之比为I1：I2=。若在两球面上分别取面积ΔS1和ΔS2，则通过它们的平均能流分别为=和= 。
解：设介质不吸收能量，则在时间内，通过半径为和的两同心球面的能量必相等，即，得。
若在两球面上分别取面积ΔS1和ΔS2，则通过它们的平均能流分别为：
,
图13-2
10.如图13-2所示，可以是某时刻的波形图，图中波长为λ，就驻波而言，a、b两点间的相位差为 ；就行波而言，a、b两点间的相位差为 。
解：如果图13-2表示驻波的波形图，那么当a点到达正向位移最大处时，b点恰在负方向位移最大处；反过来，a点到达负向位移最大处时，则b点正好在正向位移最大处，也就是说，它们始终“唱反调”，换句话说，a、b两点的振动状态反相，其相位差为。若该图表示行波的波形图，则a、b两点间的相位差为。
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