相对论雅可比方程.doc

相对论哈密顿 －雅可比方程
王雪莲
红河学院,云南省,中国,邮编661100

摘要:利用相对论哈密顿 －雅可比方法求出了电子在激光场中的相对论性运动方程的解析解． 并且在电子与激光脉冲散射的实验室参照系 电子初始静止参照系 电子平均静止系中，对于给定的任意椭圆偏振的激光场，得到了解析表达式。
关键词:相对论；矢势;哈密顿 －雅可比方程;边条件;运动方程

通过求解哈密顿 － 雅可比方程，从而得到力学问题的解，这就是经典力学中的哈密顿 － 雅可比方法 为计算电子在激光场中的辐射，需要知道电．子的运动方程，本文考虑的即是这个问题 当激光脉冲的强度很高时，电子将作相对论性运动，此时必须考虑磁场的作用，因此要采用相对论形式的哈密顿－雅可比方法求解电子运动方程 ．
相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)创立，依据研究的对象不同分为狭义相对论和广义相对论。相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，共同奠定了近代物理学的基础。

1 哈密顿 －雅可比方法
哈密顿一雅可比方程是具特定形式的一阶常微分方程组（运动方程组）与一个相应的偏微分方程的关系的理论。它来源于分析力学，对经典力学、理论物理、微分方程。

一个电荷为e 静止质量为m 的带电粒子在电磁场中运动，则相对论形式的哈密顿 － 雅可比方程为

其中A 为电磁场矢势， φ为标势，S 是哈密顿主函数。
考虑电子被激光脉冲散射的情形，此时，标势.假定入射激光是任意椭圆偏振的横向平面波，波矢为 k，频率满足 ，而洛伦兹不变相位η 可表为 ，并且设激光场矢势是η 的周期函数，在电子与激光束相互作用前后为零，在t =0 时刻脉冲到达原点，于是矢势可写为

将式(2)代入式(1)电子运动的哈密顿 －雅可比方程化为

首先我们注意到当外场A =0 时，式(3)的解是显然的 ，为

由于在哈密顿 －雅可比方程中仅出现 S 的偏微商，因此式(4)略去了一个无关紧要的任意常数项，而常矢量和常数 需满足条件

这就是说在自由粒子情形，该粒子的四动量为哈密顿主函数S， 是四动量与四矢径的标量积 由于 仅仅是相位 的函数，哈密顿主函数也必将包含依赖于相位 的部分，受式(4)启发，我们寻求如下形式的解

其中 和 由初始条件确定，并且为了方便起见，下文的讨论中均将初始时刻取为 ，此时电子位于原点，即 函数 由式(3)确定 。将式(6)代入式(3)有

消去 的导数平方项，并应用横向条件得到Ψ的一阶微分方程:

以 表示初相位，积分可得

．
将 代入式(6)即得到哈密顿主函数的解， 将主函数对常矢量 微商并令其等于初始坐标就得到电子的运动方程:

其中 表示对矢量a 的各分量的偏导。 将主函数对微商并利用 就得到的表示:

这其实就是上文的洛伦兹不变相位 ，在本文的计算中取
将主函数对坐标微商得到正则能动量:

利用式(12)可将能量表为

根据加在电子上的初始条件 可以确定解的具体形式，下文考虑3 种有代表性的情形:电子初始静止的参照系;电子平均静止的参照系;电子与脉冲任意角度散射的实验室参照系。

2 .不同参照系中的运动方程
电子初始静止的参照系 (以下简称 e 系，并用下标e 标记)中，在激光束到达之前电子静止于原点即为在时电子的坐标 ，此时激光脉冲即将到达，场的矢势 ，电子初始动量 ，初始能量 ，由式(12)得到

可见 没有横向分量。 将初始条件代入式(13)即得

故 的纵向分量满足

式(14)和式(16)是加在 和 上的所有限制条件，不失一般性，可取 和 以简化计算，这样方程（10）变为

于是我们就得到了电子初始静止系中的电子运动方程：

a
将 和 代入式(12)和式(13)可解得电子的动量为

而电子的能量为

—
式(18) 式(20)给出了 e 系中电子运动方程的完整解。
当电子处于激光场中时，电子平均动量为零的参照系 (以下简称 R 系，用下标 R 标记)是一个非常有用的参照系。 我们将此参照系相对于 e 系的速度记为 ，称为漂移速度，并取远大于光学周期 而小于脉宽的时间作时间平均，则有

解得
R 系中电子运动方程可通过对式(10)和式(13)加上相应的边条件来确定新的 和 而导出 将 R 系初始条件 应用于式(12)得到

因此 也没有横向分量，并满足限制条件

其中 满足。 我们可取 和以简化计算。时电子位于原点，由式（12）可得电子在R系中的运动为

可见电子在横向按照矢势的频率振动，而纵向振动为其 2 倍频，因此是两个简谐振动的叠加 通过洛伦兹变换，R 系中激光束频率可用 e 系频率的多普勒频移表示为

接下来我们考虑最为一般的情形，即电子与激光脉冲散射的实验室参照系(以下简称 L 系，相应物理量用下标 L 标记)中电子的运动 初始时刻电子位于原点，初始动量为 ，激光场矢势为 0，代入式(12)有

将 和沿垂直和平行于脉冲传播方向分解为横向的 ， 和纵向的 、矢量，即
,
横向的、 矢量垂直于，则由式(27)有

根据式(13)我们得到，

式(29)和式(30)即为实验室系中加在和 上的所有限制 因此我们可取等于0，即 是横向的， ，而以简化计算，代入式(12)电子在 L 系中的运动方程为

其中 如上所述，并且电子的轨迹被表为横向与纵向的叠加。
3. 给定激光场矢势的结果
以上讨论了激光场中电子运动的一般情形，下文我们对给定的矢势来讨论具体结果。如图 1 所示的沿 + z方向传播的任意椭圆偏振的平面波，其矢势可表为

其中 和 是横向单位矢量，常数 表征偏振度 。线偏振对应于，，，而圆偏振为，。 为方便起见，记无量纲激光强度参数为 并定义参数 如下:

将式(32)代入式(25)得到， R 系中电子运动方程

对于线偏振激光，取 =1，由式(34)有，
，
消去 即得 R 系中的轨迹方程

轨迹式(36)为xz 平面内的 8 字形 ，图 2 给出了 分别为0 .1，0 .2 和0 .3 时的轨迹曲线。
同样的对于 e 系，计算可得电子运动方程为

对于 L 系的表述稍复杂，为此引入电子归一化初始速度 和洛伦兹因子 ,并代入 ，计算可得在 L 系的结果为

4 .结论
如上所述，我们利用哈密顿－雅可比方法求出了电子在激光场中的相对论性运动方程的解析解 并且对于给定的任意椭圆偏振的激光场矢势式(32)， 在电子与激光脉冲以任意角度散射的实验室参照系 电子初始静止参照系 、电子平均静止系中，我们分别得到了解析解最后还应指出，在上述讨论中我们忽略了电子的辐射反冲。 由于我们的讨论是经典的，因此该近似的适用条件可以简单的表示为:在电子平均静止参照系中看来，光子能量远远小于电子的静止能量 。不难看出，由于激光波长一般均在可见光或红外波段，光子能量是 eV 量级，所以对于电子与脉冲任意角度散射的实验室参照系而言，电子能量只要小于500 MeV，上述结果不会有显著修正．
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