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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,Chapter 1(1),函数及其图形,第1页,同时创造了微积分，微积分研究主要对象就是函数。,微积分(,Calculus,)是一门以变量为研究对象、以,极限,方法作为研究工具数学学科，应用极限方法研究各类改变率问题和几何学中曲线切线问题，就产生了,微分学,；应用极限方法研究诸如曲边梯形面积等包括到微小量无穷积累问题，就产生了,积分学,。英国数学家,牛顿,和德国数学家,莱布尼兹,第2页,教学要求：,1.了解函数概念，掌握函数表示法;,2.了解函数有界性、单调性、奇偶性和周期性;,3.了解复合函数概念，了解反函数概念;,4.掌握基本初等函数性质及其图形;,5.会建立简单应用问题中函数关系式.,重点：,掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式,关系，分段函数是否是初等函数.,第3页,第4页,1.定义,设,x,与,y,是两个变量，分别在实数集合,A,与,B,中取值.,对每一个值,x,A,，按照某一法则，,y,存在着唯一确定,值,y,B,与之对应，记为,f,(,x,)(,x,f,(,x,),则称,y,是,x,函,数，或称这种对应关系,f,为函数，记作,因变量,自变量,数集,A,叫做这个函数,定义域,注意,定义域和对应法则是函数两要素.要判断两函数是,否为同一函数也得从两要素入手.,第5页,(3)单值函数与多值函数,假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数,值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；不然叫做,多值函数,(4)只有一个自变量函数，称为一元函数.,2.定义域,(1)由实际问题决定.,第6页,(2)自然定义域.当函数由公式（表示式）给出时，使公,式有意义自变量取值范围.如：,分式分母不为0；,(3)定义域表示法：,不等式法，集正当，区间法，叙述法与图示法.,第7页,区间:,是指介于某两个实数之间全体实数.这两个实数叫做区间端点.,称为开区间,称为闭区间,第8页,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度定义:,两端点间距离(线段长度)称为区间长度.,第9页,邻域:,第10页,ex,1.求函数定义域,Solution.,所以函数定义域为(1,2.,Solution.,第11页,ex,3.函数,f,与,g,是否是同一函数？,3.函数图形,第12页,4.分段函数,对于自变量不一样值（或在不一样区间上），函数表,达式不一样，这种函数称为分段函数.,(1)绝对值函数,(2)符号函数,1,1,x,y,o,第13页,(3)取整函数,y=,x,x,表示不超出,x,最大整数,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,(4)(Dirichlet)狄利克雷函数,有理数点,无理数点,1,x,y,o,第14页,(5)取最值函数,y,x,o,y,x,o,(6)整标函数,以自然数为自变量函数:,图形为一些离散点组成.,第15页,1.函数单调性,则称,f,(,x,)在,I,上严格单调上升或严格单调增（严格单调,降下或严格单调减）.,则称,f,(,x,)在,I,上单调上升或单调增(单调降下或单调减).,第16页,以上函数统称为单调函数，,I,称为单调区间.,由有限个单调函数组成函数，称为分段单调函数.如,2.函数有界性,通常函数有界性与区间相关，,第17页,3.函数奇偶性,偶函数图形关于,y,轴对称,y,x,o,x,-,x,奇函数图形关于原点对称,y,x,o,x,-,x,第18页,注意：,(1)若,f,(,x,)定义域关于原点不对称，则,f,(,x,)一定不是奇,函数或偶函数.,即,f,(,x,)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.,(3)奇偶函数性质,偶函数和与差仍是偶函数，,奇函数和与差仍是奇函数；,第19页,两个奇（或偶）函数商是偶函数；,奇函数与偶函数积（或商）是奇函数；,有限个偶函数积仍是偶函数；,偶数个奇函数积是偶函数.,4.函数周期性,任一周期函数都有没有穷多个周期.若在无穷多个周期,中，存在一个最小正数，则这个正数称为最小周,期，简称周期.,第20页,1.四则运算,2.复合函数,定义：,注意：,(2)复合函数能够由两个以上函数经过复合组成.,即不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数.,第21页,复合函数求法：,(1)对于非分段函数惯用直接代入方法；,(2)对于分段函数惯用讨论方法.,3.反函数,定义：,这么对应关系所决定,Y,到,X,函数，称为,y,=,f,(,x,),反函数，记为,注意：,(1)反函数定义域和值域恰好是原来函数,值域和定义域.,第22页,D,W,D,W,(2)直接函数与反函数,图形关于,y,=,x,对称.,第23页,反函数求法：,(1)普通先从方程,y,=,f,(,x,)中解出,x,然后再将所得结果中,x,与,y,交换位置即可;,(2)对分段函数,只要分段求出反函数便得.,1.基本初等函数,(1)常数函数,(2)幂函数,第24页,(3)指数函数,(4)对数函数,(5)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,(6)反三角函数,第25页,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次,函数复合步骤所组成并可用,一个式子表示,函数,称为,初等函数,.,并非全部函数都是初等函数,分段函数普通不是初等函数.,但也有例外!,3.双曲函数与反双曲函数,-都是初等函数.,第26页,Solution.,Solution.,由此可求得,x,取值范围，即为定义域.,第27页,Solution.,易知该函数定义域为：,Solution.,第28页,Solution.,因为,所以,第29页,Proof.,两式联立可求得，,第30页,Proof.,由单调性及已知不等式有，,第31页,Solution.,故所求反函数为,第32页,Solution.,The end,第33页,大学数学,一元函数微积分与无穷级数,线性代数与空间解析几何,多元函数微积分与常微分方程,概率论与数理统计,第34页,购置,练习册,与,经典习题解答,通知,时间:9月28日(星期四)下午2:306:00,地点:二教 216(二楼西),价格:40元/套,第35页,
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