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课时知能训练
一、选择题
1．某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝
其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．30
2．(2012·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
3．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为( )
A．5 h B．10 h C．15 h D．30 h
4．某市2012年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )
A．2014年 B．2015年
C．2016年 D．2017年
5．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g(2)＝4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元，下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
二、填空题
6．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数，即R(Q)＝4Q－Q2，则总利润y的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)．
7．(2012·珠海模拟)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时，才能开车．(精确到1小时)
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值为________．
三、解答题
9．(2012·韶关模拟)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；
(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
10．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e0.05≈1.051)
11．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
答案及解析
1．【解析】 若x∈[1,10]，则y＝4x≤40.
若x∈(100，＋∞)，则y＝1.5x＞150.
∴60＝2x＋10，∴x＝25.
【答案】 C
2．【解析】 设仓库建在离车站x km处，则y1＝，y2＝k2x，根据已知数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和y＝＋0.8x≥2 ＝8，当且仅当x＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km处．
【答案】 A
3．【解析】 假设一开始两种细菌数量为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是f(x)＝m·2，细菌B的数量是g(x)＝m·4，
令m·2＝2·m·4，解得x＝10.
【答案】 B
4．【解析】 设第n年新建住房面积为an＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为bn＝25＋10n.
由2bn＞an得：2(25＋10n)＞100(1＋5%)n，
利用已知条件解得n＝4时，不等式成立，
所以在2016年时满足题意．
【答案】 C
5．【解析】 f(0)与g(0)，应该相等，故排除A，B中开始交易平均价格高于即时价格，D中恰好相反，故正确选项为C.
【答案】 C
6．【解析】 ∵y＝4Q－Q2－(200＋Q)
＝－(Q－300)2＋250，
故当Q＝300时，ymax＝250(万元)．
【答案】 250 300
7．【解析】 设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/ml，则有0.3·()x≤0.09，即()x≤0.3，
估算或取对数计算得5小时后，可以开车．
【答案】 5
8．【解析】 七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份至十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，
根据题意，有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，
令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥或者t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，解得x≥20.∴x的最小值为20.
【答案】 20
9．【解】 (1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*.
P(x)＝R(x)－C(x)
＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.
(2)P(x)＝－20(x－)2＋74 125，
当x＝62或x＝63时，P(x)取得最大值74 120；
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)取得最大值2 440.
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680.
10．【解】 (1)证明 当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝.
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)·(x－4)＞0.
故f(x＋1)－f(x)单调递减．
∴当x≥7，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15 ln＝0.85.
整理得＝e0.05，
解得a＝·6≈20.50×6＝123.0，
又123.0∈(121,127]．
由此可知，该学科是乙学科．
11．【解】 (1)当0＜x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x＞10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
∴W＝
(2)①当0＜x≤10时，由W′＝8.1－＝0得x＝9，
又当x∈(0,9)时，W′＞0；当x∈(9,10)时，W′＜0.
∴当x＝9时，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－·93－10＝38.6.
②当x＞10时，
W＝98－(＋2.7x)≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，
故当x＝时，W取最大值38.
综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元．
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
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