人教A版高中数学必修四三角函数模型的简单应用评估训练.doc

高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《1.6三角函数模型的简单应用》评估训练

双基达标　(限时20分钟)
1．函数y＝sin |x|的图象(　　)．
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．不具有对称性
解析　∵x∈R，
且f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)．
∴函数y＝sin |x|是偶函数，图象关于y轴对称．
答案　C
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)．
A. B．50 C. D．100
解析　由题知T＝＝＝.
答案　A
3．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在上的交点有(　　)．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析　当x＝0时，sin x＝0，tan x＝0，(0,0)为两函数图象的交点，当x∈时，tan x>sin x，两函数图象无交点．
当x∈时，tan x<sin x，两函数图象无交点．
所以所求交点只有1个．
答案　D
4．振动量函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________．
解析　T＝＝，∴ω＝＝3π，
∴相位ωx＋φ＝3πx－π.
答案　3πx－π
5．函数y＝tan 与y＝－a(a∈R)的交点中距离最小为________．
解析　y＝tan 与y＝－a的交点中距离最小为一个周期T＝.
答案　
6．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(0<φ<2π)．

(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解　(1)由图可知，这段时间的最大温差是
30－10＝20(℃)．
(2)∵从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴T＝14－6，∴T＝16，ω＝，A＝(30－10)＝10，
b＝(30＋10)＝20，此时y＝10sin ＋20.
将x＝6，y＝10代入上式，得φ＝，
综上所求的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
综合提高　(限时25分钟)
7．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数解析式为s＝6sin ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)．

A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
解析　单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，∵ω＝2π，∴T＝＝1 s.
答案　D
8．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数”的一个函数是(　　)．
A．y＝sin B．y＝cos 2x
C．y＝sin 2x D．y＝cos
解析　最小正周期为π，可排除A、D；
B、C的周期均为π，
但当x＝时，cos ＝cos ＝0，
∴x＝不是y＝cos 2x的对称轴，排除B.
答案　C
9．(2012·盐城高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转．当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析　经过t s秒针转了t rad.由图知sin＝，所以d＝10sin.

答案　10sin
10．(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
解析　由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
又∴
即f(x)＝2sin ＋7(*)
又过点(3,9)，代入(*)式得sin ＝1.
由＋φ＝，且|φ|<，∴φ＝－，
即f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
答案　f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
11．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．
设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解　(1)T＝＝＝ min.
(2)f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg，
p(t)min＝115－25＝90 mmHg.
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg，比正常值稍高．
12．(创新拓展)某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t(0≤t≤24) (小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)选用一个函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (米)与t时间(小时)的函数关系；
(2)依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？
解　(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下：

依据散点图，可以选用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (米)与t时间(小时)的函数关系．
从表中数据和散点图可知，A＝＝，T＝12，所以＝12，得ω＝.又h＝＝1，于是y＝sin＋1.由图可知，点(0,1.5)是“五点法”中的第二点，即×0＋φ＝，得φ＝，
从而y＝sin＋1，即y＝cos t＋1.
(2)由题意可知，当y≥1时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，所以cos t＋1≥1，即cos t≥0，所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，即12k－3≤t≤12k＋3(t∈Z)．而0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.故一天内的上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即上午9时至下午15时．