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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第一章第四节,条件概率与乘法法则,1/50,在处理许多概率问题时，往往需要求在有一些附加信息,(,条件,),下事件发生概率。,一、条件概率,1.,条件概率概念,通常记事件,B,发生条件下,事件,A,发生概率为,P,(,A,|,B,),。,普通情况下，,P,(,A,|,B,),P,(,A,),。,2/50,P,(,A,)=1/6,，,比如：掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出,2,点,，,B,=,掷出偶数点,，,P,(,A,|,B),=,？,掷骰子,已知事件,B,发生，此时试验全部可能结果组成集合就是,B,。,于是，,P,(,A,|,B,)=1/3,。,B,中共有,3,个元素，每个元素出现是等可能，且其中只有,1,个,(2,点,),在集合,A,中。,轻易看到：,P,(,A,|,B,),3/50,P,(,A,)=3/10,，,又如：,10,件产品中有,7,件正品，,3,件次品,;7,件正品中有,3,件一等品,4,件二等品。现从这,10,件中任取一件，记,B,=,取到正品,，,A,=,取到一等品,，,P(A|B),4/50,P,(,A,)=3/10,，,B,=,取到正品,，,P,(,A,|,B),=3/7,。,本例中，计算,P,(,A,),时，依据前提条件是,10,件产品中一等品百分比。,A,=,取到一等品,，,计算,P,(,A,|,B),时，这个前提条件未变，只是加上“,事件,B,已发生,”这个新条件。,这好象给了我们一个,“,情报,”,，使我们得以在某个缩小了范围内来考虑问题。,5/50,若事件,B,已发生,则为使,A,也发生,试验结果必须是既在,B,中又在,A,中样本点,即此点必属于,AB,。,因为我们已经知道,B,已发生,故,B,就变成了新样本空间,于是,就有,(1),。,设,A,、,B,是两个事件，且,P,(,B,)0,，则称,(1),2.,条件概率定义,为在事件,B,发生条件下，事件,A,条件概率。,6/50,3.,条件概率性质,设,B,是一事件，且,P,(,B,)0,则,1.,对任一事件,A,，,0,P,(,A,|,B,),1;,2.,P(|B)=1；,3.,设,A,1,A,n,互不相容，则,P,(,A,1,+A,n,+)|,B,=,P,(,A,1,|,B,)+,P,(,A,n,|,B,)+,而且，前面对概率所证实一切性质，也都适合用于条件概率。,7/50,比如：对任意事件,A,1,和,A,2,有,P(A,1,A,2,|B)=P(A,1,|B)+P(A,2,|B)-(A,1,A,2,|B),等。,其它性质请同学们自行写出。,8/50,2),从加入条件后改变了情况去算,4.,条件概率计算,1),用定义计算,:,P,(,B,)0,。,掷骰子,例：,A,=,掷出,2,点,，,B,=,掷出偶数点,，,P,(,A,|,B,）,=,B,发生后,缩减样本空间,所含样本点总数,在缩减样本空间,中,A,所含样本点,个数,9/50,例,1,：,掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出,6,点,问,“,掷出点数之和大于,10”,概率是多少,?,解法,1:,解法,2:,解,:,设,A,=,掷出点数之和大于,10,，,B,=,第一颗掷出,6,点,。,应用定义,在,B,发生后,缩减样本空间,中计算,10/50,例,2:,设某种动物由出生算起活到,20,年以上概率为,0.8,，活到,25,年以上概率为,0.4,。问现年,20,岁这种动物，它能活到,25,岁以上概率是多少？,解,:,设,A,=,能活,20,年以上,B,=,能活,25,年以,，,依题意，,P,(,A)=,0.8,P,(,B)=,0.4,，,所求为,P,(,B|A,),。,11/50,条件概率,P,(,A,|,B,),与,P,(,A,),区分,每一个随机试验都是在一定条件下进行，设,A,是随机试验一个事件，则,P,(,A,),是在该试验条件下事件,A,发生可能性大小。,P,(,A,),与,P,(,A,|,B,),区分在于二者发生条件不一样,它们是两个不一样概念,在数值上普通也不一样。,而条件概率,P,(,A,|,B,),是在原条件下又添加,“,B,发生,”,这个条件时,A,发生可能性大小，即,P,(,A,|,B,),仍是概率。,12/50,由条件概率定义：,即,若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),(2),而,P,(,AB,)=,P,(,BA,),，,二、,乘法公式,在已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,),时,可反解出,P,(,AB,),。,将,A,、,B,位置对调，有,故,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),。,(3),若,P,(,A,)0,则,P,(,BA,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),，,(2),和,(3),式都称为乘法公式,利用,它们可计算两个事件同时发生概率。,13/50,例,3:,甲、乙两厂共同生产,1000,个零件，其中,300,件是乙厂生产。而在这,300,个零件中，有,189,个是标准件，现从这,1000,个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产标准件概率是多少？,所求为,P,(,AB,),。,甲、乙共生产,1000,个,189,个是,标准件,300,个,乙厂生产,设,B,=,零件是乙厂生产,，,A,=,是标准件,，,14/50,所求为,P,(,AB,),。,设,B,=,零件是乙厂生产,，,A,=,是标准件,，,若改为,“,发觉它是乙厂生产,问它是标准件概率是多少,?”,求是,P,(,A,|,B,),。,B,发生,在,P(AB),中作为结,果,;,在,P(A|B),中作为条件。,甲、乙共生产,1000,个,189,个,是,标准件,300,个,乙厂生产,15/50,当,P,(,A,1,A,2,A,n-,1,)0,时，有,P,(,A,1,A,2,A,n,）,=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n-,1,),。,推广到多个事件乘法公式,:,16/50,解,:,例,4:,一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品概率。,设A,i,=第i次取到正品,i=1,2,3。,A=第三次才取到正品。则:,17/50,解,:,例,5,:,袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号小球,c个。若B=第一,，第三次取到红球,第二次取到黑球，求P(B)。,设A,i,=第i次取到红球,i=1,2,3,则:,18/50,一场精彩足球赛将要举行,但,5,个球迷只搞到一张球票，但大家都想去。没方法，只好用抽签方法来确定球票归属。,球票,5,张一样卡片，只有一张上写有,“,球票,”,，其余什么也没写,.,将它们放在一起，洗匀，让,5,个人依次抽取。,先抽人比后抽人抽到球票机会大吗？,后抽人比先抽人吃亏吗？,请回答：,19/50,到底谁说对呢？让我们用概率论知识来计算一下,每个人抽到,“,入场券,”,概率到底有多大,?,“,大家无须争，你们一个一个按次序来，,谁抽到,入场券,机会都一样大。,”,“,先抽人当然要比后抽人抽到人机会大。,”,20/50,我们用,A,i,表示,“,第,i,个人抽到入场券,”,，,i,1,2,3,4,5,。,显然，,P,(,A,1,)=1/5,，,P,(),4/5,，,第,1,个人抽到入场券概率是,1/5,。,也就是说，,则,表示,“,第,i,个人未抽到入场券,”,，,21/50,因为若第,2,个人抽到,入场券时，第,1,个人,必定没抽到,。,也就是要想第,2,个人抽到入场券，必须第,1,个人未抽到，,因为,由乘法公式，,得,计算得：,P,(,A,2,)=(4/5)(1/4)=1/5,。,22/50,这就是相关抽签次序问题正确解答,同理，第,3,个人要抽到,“,入场券,”,，必须第,1,、第,2,个人都没有抽到。所以，,=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,，,继续做下去就会发觉,每个人抽到,“,入场券,”,概率都是,1/5,。,抽签无须争先恐后。,23/50,24/50,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件概率,它们实质上是加法公式和乘法公式综合利用。,综合利用,加法公式,P,(,A+B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A,、,B,互斥,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,三、全概率公式和贝叶斯公式,25/50,例,6:,有三个箱子，分别编号为,1,2,3,，,1,号箱装有,1,个红球,4,个白球，,2,号箱装有,2,红,3,白球，,3,号箱装有,3,红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球概率。,解：记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,。,即,B=A,1,B+A,2,B+A,3,B,，,且,A,1,B,、,A,2,B,、,A,3,B,两两互斥。,B,发生总是伴伴随,A,1,，,A,2,，,A,3,之一同时发生，,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),利用加法公式得,1,2,3,26/50,将此例中所用方法推广到普通情形，就得到在概率计算中惯用,全概率公式,。,对求和中每一项,利用乘法公式得,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),代入数据计算得：,P,(,B,)=8/15,。,27/50,设,A,1,A,2,A,n,是两两互斥事件，且,P,(,A,i,)0,，,i=,1,2,n,另有一事件,B,它总是与,A,1,A,2,A,n,之一同时发生，则,全概率公式,:,28/50,设,S,为随机试验样本空间，,A,1,A,2,A,n,是两两互斥事件，且有,P,(,A,i,)0,，,i=,1,2,n,称满足上述条件,A,1,A,2,A,n,为,完备事件组,。,则对任一事件,B,，有,在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：,29/50,在较复杂情况下，直接计算,P,(,B,),不轻易,但总能够适当地结构一组两两互斥,A,i,，,使,B,伴伴随某个,A,i,出现而出现，且每个,轻易计算。可用全部,之和计算,P(B),。,由上式不难看出,:,“,全部,”,概率,P,(,B,),可分成许多,“,部分,”,概率,之和。,它理论和实用意义在于,:,30/50,某一事件,B,发生有各种可能原因,A,i,(,i,=1,2,n,),，假如,B,是由原因,A,i,所引发，则,B,发生概率是,每一原因都可能造成,B,发生，故,B,发生概率是各原因引发,B,发生概率总和，即,全概率公式,。,P,(,BA,i,)=,P,(,A,i,),P,(,B,|,A,i,),全概率公式。,我们还能够从另一个角度去了解,31/50,由此能够形象地把全概率公式看成是,“,由原因推结果,”,，每个原因对结果发生有一定,“,作用,”,，即结果发生可能性与各种原因,“,作用,”,大小相关。全概率公式表示了因果之间关系,。,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,A,7,A,8,B,诸,A,i,是原因,B,是结果,32/50,例,7:,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中概率分别为,0.4,、,0.5,、,0.7,。飞,机被一人击中而击落概率为,0.2,被两人击中而击落概率为,0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落概率。,设,B,=,飞机被击落,，,A,i,=,飞机被,i,人击中,i,=1,2,3,。,由全概率公式，,得,P,(,B,)=,P,(,A,1,),P,(,B,|,A,1,)+,P,(,A,2,),P,(,B,|,A,2,),+,P,(,A,3,),P,(,B,|,A,3,),则,B=A,1,B+A,2,B+A,3,B,，,解,:,依题意，,P,(,B,|,A,1,)=0.2,P,(,B,|,A,2,)=0.6,P,(,B|A,3,)=1,。,33/50,可求得,为求,P,(,A,i,),设,H,i,=,飞机被第,i,人击中,i,=1,2,3,。,将数据代入计算，得,P,(,A,1,)=0.36;,P,(,A,2,)=0.41;,P,(,A,3,)=0.14,。,34/50,于是,，,P,(,B,)=,P,(,A,1,),P,(,B,|,A,1,)+,P,(,A,2,),P,(,B,|,A,2,),+,P,(,A,3,),P,(,B,|,A,3,),=0.458,，,=0.36,0.2+0.41,0.6+0.14,1,即飞机被击落概率为,0.458,。,35/50,该球取自哪号箱可能性大些,?,实际中还有下面一类问题,已知结果求原因,这一类问题在实际中更为常见，它所求是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,某人从任一箱中任意摸出一球,发觉是红球,求该球是取自,1,号箱概率。,1,2,3,1,红,4,白,或者问,:,36/50,接下来我们介绍处理这类问题,贝叶斯公式,37/50,有三个箱子，编号分别为,1,2,3,，,1,号箱装有,1,个红球,4,个白球，,2,号箱装有,2,红球,3,白球，,3,号箱装有,3,红球,.,。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发觉是红球,求该球是取自,1,号箱概率,。,1,2,3,1,红,4,白,?,38/50,某人从任一箱中任意摸出,一球，发觉是红球，求该球是取自,1,号箱概率。,记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,。,求,P,(,A,1,|,B,),。,利用全概率公式,计算,P,(,B,),将这里得到公式普通化，就得到,贝叶斯公式,1,2,3,1,红,4,白,?,39/50,该公式于,1763,年由贝叶斯,(Bayes),给出。,它是在观察到事件,B,已发生条件下，寻找造成,B,发生每个原因概率。,贝叶斯公式：,设,A,1,A,2,A,n,是两两互斥事件，且,P,(,A,i,)0,，,i,=1,2,n,另有一事件,B,，它总是与,A,1,A,2,A,n,之一同时发生，则,40/50,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它能够帮助人们确定某结果（事件,B,）发生最可能原因,.,41/50,例,8:,某一地域患有癌症人占,0.005,，患者对一个试验反应是阳性概率为,0.95,，正常人对这种试验反应是阳性概率为,0.04,，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者概率有多大,?,则,表示,“,抽查人不患癌症,”.,求解以下,:,设,C,=,抽查人患有癌症,，,A,=,试验结果是阳性,，,求,P,(,C,|,A,),。,已知,:P(C)=0.005,P(A|C)=0.95,42/50,现在来分析一下结果意义,由贝叶斯公式，得,代入数据，,计算得,P,(,C,A,)=0.1066,。,2.,检出阳性是否一定患有癌症,?,1.,这种试验对于诊疗一个人是否患有癌症,有没有意义？,43/50,假如不做试验,抽查一人,他是患者概率,P,(,C,)=0.005,。,患者阳性反应概率是,0.95,，若试验后得阳性反应，则依据试验得来信息，此人是患者概率为,P,(,C,A,)=0.1066,。,说明这种试验对于诊疗一个人是否患有癌症有意义。,从,0.005,增加到,0.1066,快要增加约,21,倍。,1.,这种试验对于诊疗一个人是否患有癌症,有没有意义？,44/50,2.,检出阳性是否一定患有癌症,?,试验结果为阳性,此人确患癌症概率为,P,(,C,A,)=0.1066,。,即使你检出阳性，尚可无须过早下结论你有癌症，这种可能性只有,10.66%(,平均来说，,1000,个人中大约只有,107,人确患癌症,),，此时医生常要经过再试验来确认。,45/50,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，,P,(,A,i,),和,P,(,A,i,|,B,),分别称为,原因,先验概率,和,后验概率,。,P,(,A,i,)(,i,=1,2,n,),是在没有深入信息,(,不知道事件,B,是否发生,),情况下,人们对诸事件发生可能性大小认识。,当有了新信息,(,知道,B,发生,),人们对诸事件发生可能性大小,P,(,A,i,|,B,),有了新预计。,贝叶斯公式从数量上刻划了这种改变。,46/50,8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。,一名射手用校准过枪射击时,中靶概率为,0.8;用未校准枪射击时,中靶概率为0.3。,现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。求:所用枪是校准过概率。,设A=射击时中靶,B,1,=使用枪校准过,B,2,=使用枪未校准,则B,1,B,2,是一个划分,由贝叶斯公式,解,:,例,9,：,47/50,解,:,例,10:,一批同型号螺钉由编号为I,II,III三台机器共同生产。各台机器生产螺钉占这批螺钉百分比分别为35%,40%,25%。各台机器,生产螺钉次品率分别为3%,2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I,II,III号机器生产概率各为多少?,设,A=螺钉是次品,B,1,=螺钉由1号机器,生产,B,2,=螺钉由2号机器生产,B,3,=螺钉由3号机器生产。则:,48/50,由贝叶斯公式，得,同理,P(B,1,)=0.35,P(B,2,)=0.40,P(B,3,)=0.25,P(A|B,1,)=0.03,P(A|B,2,)=0.02,P(A|B,3,)=0.01。,49/50,小结,本节首先介绍了条件概率定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；经过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用范围。但这还远远不够，为到达正确了解、熟练利用这些公式目标，我们还需要做一定数量习题，并从中琢磨出这些公式内涵。,50/50,
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