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,-,*,-,第九章,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第一节 二重积分概念与性质,二重积分性质,二重积分概念,1/18,1,曲顶柱体体积,1.两个实例,解法:,类似定积分处理问题思想:,给定曲顶柱体:,底：,xoy,面上闭区域,D,顶:,连续曲面,侧面：,以,D,边界为准线,母线平行于,z,轴柱面，,“分割,近似代替,求和,取 极限”,求其体积.,一.二重积分概念,2/18,2,1)“分割”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,同时把曲顶柱体分为,n,个,2)“近似代替”,在每个,3)“求和”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,3/18,3,4)“取极限”,令,4/18,4,.平面薄片质量,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片质量,M,.,度为,设,D,面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“分割,近似代替,求和,取 极限”,处理.,1)“分割”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,对应把薄片也分为小区域.,5/18,5,2)“近似代替”,中,任取,一点,3)“求和”,4)“取极限”,则第,k,小块质量,6/18,6,两个问题,共性,：,(1)处理问题步骤相同,(2)所求量结构式相同,“分割,近似代替,求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片质量:,7/18,7,2.二重积分定义及可积性,定义:,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表示式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上有界函数,8/18,8,假如 在,D,上可积,二重积分,记作:,区域,D,则面积元素,用平行坐标轴直线来划分,曲顶柱体体积:,平面薄板质量:,（,直角坐标下面积元素,），,D,9/18,9,二重积分存在定理:,若函数,在,D,上可积.,在有界闭区域,D,则,上连续,二重积分几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体体积,当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体体积负值,选取也是任意。,说明,10/18,10,二,、,二重积分性质,（与定积分性质类似）,性质,当 为常数时，,性质,性质,对区域含有可加性,11/18,11,性质,性质,若在D上,则有,特殊地,12/18,12,性质,（二重积分估值不等式）,性质,（二重积分中值定理）,13/18,13,例1.,比较以下积分大小:,其中,解:,它与,x,轴交于点(1,0),而域,D,位,从而,于直线上方,故在,D,上,积分域,D,边界为圆周,14/18,14,例2.,判断积分,正负号.,解:,则,原式=,舍去此项,分积分域为,15/18,15,解：,例3,16/18,16,例,4,求,其中,解：,由积分中值定理 使得：,17/18,17,将二重积分定义与定积分定义进行比较，,找出它们相同之处与不一样之处.,定积分与二重积分都表示某个和式极限值，,定积分积分范围为区间，被积函数为定义在区间,上一元函数，且此值只与被积函数及积分区域相关,被积函数为定义在平面区域上二元函数,解答:,不一样是而二重积分积分范围为平面区域，,？,18/18,18,