整数划分问题.doc

整数划分是把一个正整数 N 拆分成一组数相加并且等于 N 的问题.
比如:
6
5 + 1 (序列)
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
假设F(N,M) 整数 N 的划分个数,其中 M 表示将 N 拆分后的序列中最大数
考虑边界状态:
M = 1 或者 N = 1 只有一个划分 既: F(1,1) = 1
M = N : 等于把M - 1 的划分数加 1 既: F(N,N) = F(N,N-1) + 1
M > N: 按理说,N 划分后的序列中最大数是不会超过 N 的,所以 F(N,M ) = F(N,N)
M < N: 这个是最常见的, 他应该是序列中最大数为 M-1 的划分和 N-M 的划分之和, 比如F(6,4),上面例子第三行, 他应该等于对整数 3 的划分, 然后加上 2 的划分(6-4) 所以 F(N,M) = F(N, M-1) + F(N-M,M)
整数划分问题
数 n 的划分是将 n 表示成多个正整数之和的形式
划分可以分为两种情况：
A  划分的多个正整数中，正整数的数量是任意的
   这又可以分为划分的正整数中，正整数可以相同与不同两类
 1.  划分的多个正整数可以相同, 递推方程可以表示为：

     (1)   dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]

           dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
           则划分数可以分为两种情况:

           a. 划分中每个数都小于 m， 相当于每个数不大于 m- 1, 故
              划分数为 dp[n][m-1].

           b. 划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m , 剩下的就相当
              于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];

     (2)   dp[n][m]= dp[n][m+1]+ dp[n-m][m]

           dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不小于 m 的划分数。
           同理可证明该式。

 2.  划分的多个正整数互不相同，递推方程可以表示为：

     (1)    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]

            dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
            同样划分情况分为两种情况：

            a.  划分中每个数都小于 m, 相当于每个数不大于 m- 1,
            划分数为 dp[n][m-1].

            b.  划分中有一个数为 m. 在 n 中减去 m, 剩下相当对
            n- m 进行划分，并且每一个数不大于 m- 1，故划分数
            为 dp[n-m][m-1]

     (2)    dp[n][m]= dp[n][m+1]+ dp[n-m][m]

            dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不小于 m 的划分数。
B  划分的多个正整数中，正整数的数量是固定的

   把一个整数 n 无序划分成 k 份互不相同的正整数之和的方法总数。
   方程为：

   dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];
   证明方法参考： http://www.mydrs.org/program/html/0369.htm
   另一种理解，总方法可以分为两类：
   第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分
   到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
   第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩
   下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]
相关习题：

:8080/online/?action=problem&type=show&id=11299&courseid=0
#include<iostream>   
#include<stdio.h>   
using namespace std;   
int dp[4505][4505];   
int solve(int n,int m)   
{   
int i,j;   
for(i=1;i<=n;++i)   
{   
   dp[i][0]=0;   
   for(j=1;j<=m;++j)   
   {   
    dp[0][j]=0;   
    if(i>=j)   
     dp[i][j]=dp[j-1][j]+1;   
    else  
    {   
     dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i];   
     if(dp[i][j]>=1000000007)   
      dp[i][j]-=1000000007;   
    }   
   }   
}   
return dp[n][m];   
}   
int main()   
{   
int n,m;   
scanf("%d %d",&n,&m);   
printf("%d\n",solve(n,m));   
return 0;   
}
类似问题：M个小球装N个盒子，或者苹果装盘问题
把M个球放到N个盒子,允许有空的盒子(不放球),有多少种放法?

典型的DP问题:
用F(m,n)表示有多少种放法:

如果m=0 或者 m=1 , F = 1
如果n=0 或者 n=1   , F =1
既F(0,0) = F(0,1) = F(1,0) = F(1,1) = 1

否则 F = F(m-n,n) + F(m,n-1)这就是DP的解空间递归解

每一次DP应用,都是一次创造
#include <stdio.h>   

int F(int m,int n);   

int main()   
{   
    int m;   
    int n;   
    int f;   
    printf("Intput the number of M and N \n");   
    scanf("%d %d",&m,&n);   
    f = F(m,n);   
    printf("There are total %d methods\n\n",f);   
};   
int F(int m,int n)   
{   
    if(m==0||m==1) return 1;   
    if(n==0||n==1) return 1;   
    if(m<n) return F(m,m);   
    else return F(m-n,n)+F(m,n-1);   
}; 

三、关于整数的质因子和分解
【问题描述】
歌德巴赫猜想说任何一个不小于6的偶数都可以分解为两个奇素数之和。对此问题扩展，如果一个整数能够表示成两个或多个素数之和，则得到一个素数和分解式。对于一个给定的整数，输出所有这种素数和分解式。注意，对于同构的分解只输出一次（比如5只有一个分解2 + 3，而3 + 2是2 + 3的同构分解式）。
例如，对于整数8，可以作为如下三种分解：
(1) 8 = 2 + 2 + 2 + 2
(2) 8 = 2 + 3 + 3
(3) 8 = 3 + 5
【算法分析】
由于要将指定整数N分解为素数之和，则首先需要计算出该整数N内的所有素数，然后递归求解所有素数和分解即可。
C++代码实现如下：

#include <iostream>   
#include <vector>   
#include <iterator>   
#include <cmath>   
using namespace std;   

// 计算num内的所有素数（不包括num）   
void CalcPrimes(int num, vector<int> &primes)   
{   
    primes.clear();   
    if (num <= 2)   
        return;   

    primes.push_back(2);   
    for (int i = 3; i < num; i += 2) 
    {   
        int root = int(sqrt(i));   
        int j = 2;   
        for (j = 2; j <= root; ++j)
        {   
            if (i % j == 0)   
                break;   
        }   
        if (j > root)   
            primes.push_back(i);   
    }   
}   

// 输出所有素数组合(递归实现)   
int PrintCombinations(int num, const vector<int> &primes, int from, vector<int> &numbers)   
{   
    if (num == 0) 
    {   
        cout << "Found: ";   
        copy(numbers.begin(), numbers.end(), ostream_iterator<int>(cout, " "));   
        cout << '\n';   
        return 1;   
    }   

    int count = 0;   

    // 从第from个素数搜索，从而避免输出同构的多个组合   
    int primesNum = primes.size();   
    for (int i = from; i < primesNum; ++i)
    {   
        if (num < primes[i])   
            break;   
        numbers.push_back(primes[i]);   
        count += PrintCombinations(num - primes[i], primes, i, numbers);   
        numbers.pop_back();   
    }   

    return count;   
}   

// 计算num的所有素数和分解   
int ExpandedGoldbach(int num)   
{   
    if (num <= 3)   
        return 0;   

    vector<int> primes;   
    CalcPrimes(num, primes);   

    vector<int> numbers;   
    return PrintCombinations(num, primes, 0, numbers);   
}   

int main()   
{   
    for (int i = 1; i <= 20; ++i)
    {   
        cout << "When i = " << i << ":\n";   
        int count = ExpandedGoldbach(i);   
        cout << "Total: " << count << "\n\n";   
    }   
}