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数学建模结课论文

题目：A 进货策略

参赛队员信息：

队员1
队员2
队员3
姓名
张鹏飞
马 锋
夏婉彬
学号
20111010242
20111010320
20111010631
专业
数学与应用数学
数学与应用数学
数学与应用数学
电话
18993869416
18093827137

邮箱
2213753451@
2235727463@

论文题目：进货策略
摘要：我们通过对附表1中数据的分析，发现商品的出售具有一定的周期性质。首先，我们利用泊松分布（A商品）和正态分布（B,C商品），找出商店缺货零出的点及其频率，进而得出商店进货的周期。然后因为题中已知数据记录偏多，故而我们以月为单位，将各类商品的出售数量进行统计和作图（可简化题目）。接下来，我们再通过傅里叶变化得出该数据中的幅频最高的点，找出其幅频最高的点对应的周期，验证正态分布中的周期。再接下来，运用最直接的极大值和极小值的方法，得出周期，再去验证之前得到的周期的正确性。
在问题一中，通过一些图形模拟和计算，得出A,B,C商品的进货（缺货）的周期大约是12天。所以就可以很容易的得出，该商店的进货策略和在825天内进了多少次货。
在问题二中，我们通过泊松分布的得出A的日需求量为3.07件，由正态分布很容易得出B的平均值为4.5左右，C的平均值为7左右，即B,C的日需求量约为4.5和7。
在问题三中，通过程序，找出A,B,C中连续点或者是相邻差值非常大的点，再从中挑选出符合缺货条件的点，从而算出，A的缺货时间为93天，缺货量为301件。B缺货时间大约为62天，缺货量大约286件。C缺货时间大约为48天，缺货量大约为339天。
在问题四中，通过计算，A在每个周期内缺货大约为4.36件，确定B在每个周期内缺货大约4.14件，C在每个周期内大约缺货4.91件。由此，我们可以很容易得出当周期为11天时，A,B,C三种商品的缺货损失减半。

关键词：泊松分布 正态分布 傅里叶变换 假设检验

一 问题重述
1.1
背景：
已知某商店取得了某物在该区域的市场经销权，销售该物的三类产品，附表1给出了该店过去连续825天的三类产品销售记录。通过分析附表1，解决下述四个问题。
1.2
问题描述：
（1） 该店三类产品的进货策略是什么？800多天内共进了多少次货？
（2） 该三类产品在该区域的市场需求如何？
（3） 分析现有进货策略下，该店的缺货情况（包括缺货时间及缺货量）。
（4） 如果现有进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，如何改进进货策略，将缺货损失减半，且进货次数尽可能少？
二 问题分析
我们第一眼看到题目时，发现题目中附表的数据颇多，而且绘成图之后没有明显的图象趋势，没有明显的特点。所以我们决定对原始数据进行一系列的处理，包括傅里叶变换，频率分布等处理，希望取得图象深程度的理解，以便简化题目中的大量数据。
在问题（一）中，我们认为这是一个固定周期的模型。只要通过对数据的分析，找出商家去购买商品的大概周期，然后我们再结合数据中的一些特殊情况，就可以找出商家的进货方式了。然后我们用825除以周期，就可以得到商家在825天内大概进了多少次货。
在问题（二）中，我们认为如果找到了，A,B,C的本质分布曲线，就可以通过求平均值或者正态分布平均值的方法，得到居民对于A,B，C的日需求量。
在问题（三）中，我们认为要分析缺货情况，必须要在数据中找到哪些数据是断货或是缺货的，然后我们在找出缺货时间的基础上，去得到缺货量。
在问题（四）中，我们认为只要找到在825天的缺货量，再除以售卖周期，就可以得到在每个周期内的缺货数量。这样就可以通过调整周期得到让让缺货损失减半的方法。
三 模型假设
（一）商家是定期去采购商品；
（二）A,B,C商品储存方式不能替代；
（三）在商品无限充足的自然情况下，商品售出的数量大约呈正态分布。
四 符号说明
P
概率分布（泊松分布和正态分布）
λ
泊松分布中为平均值（方差）
μ
正态分布中的平均值
σ^2
正态分布中的方差
W
傅里叶变换中的频率
ΔP0
标准曲线与实际曲线在零点处的频率差值
ΔPI，NI
标准曲线与实际曲线在大于平均值（方差）处的频率差值和对应的频数
ΔPi，Ni
实际曲线与标准曲线在小于平均值（方差）处的频率差值和对应的频数
T
总的出售时间，即825天
t
总的缺货时间
t1
缺货（不断货）的时间
λ
标准图形中的平均值（方差）

五 模型的建立与求解
对于A商品：
我们首先用matlab将B,C数据进行正态分布处理数据，并作出图象，见下图（其中横坐标为出售数量，纵坐标为频率）：
（一）泊松分布
泊松分布的概率分布函数为：
其中λ >. 0是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P (λ) 。
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。且在泊松分布中，平均值和方差均为λ。
（二)具体问题分析
在A商品的出售量的数据中，我们可以得到，A商品的出售数量平均值为2.76（图中显示为3.76），方差为3.07（图中显示为4.07）。我们取泊松分布中λ=3.07，得到标准的泊松分布函数。
商品A的图象与标准泊松分布图象（为便于观察，图象向右平移一个单位）

结合图形和理论数据，我们可以很容易的看出，A的出售数量与频率的分布图象和泊松分布的图象十分相近。在图象中我们可以看出A的出售数量在零附近的概率非常高，我们认为这是因为A的缺货时间非常长，缺货量非常大而产生的。
对于B,C商品：
（一）正态分布
正态分布，是一种概率分布。公式为：

第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
（二）具体问题分析
我们首先用matlab将B,C数据进行处理，并作出图象，用matlab中的ttest函数，进行拟合分析，得出图象和正态分布的拟合度达到95%以上，几乎可以认为是正态分布。根据数据，我们得到B的出售数量平均值为4.62（图中显示5.62，以下数据相同），C的出售数量平均值为7.49。
根据B商品的出售数据中，我们可以得到它的平均数和每个频数对应的频率。当我们取正态分布中的的参数μ=4.5，并且σ= 2.4018时。就可以得到与B商品出售数量相对应的正态分布曲线。
商品B的图象与标准正态分布图象（其中图象横坐标为出售数量，纵坐标为频率。为便于观察，图象向右平移一个单位）：

根据C商品的出售数据中，我们可以得到它的平均数和每个频数对应的频率。当我们取正态分布中的的参数μ=7，并且σ= 2.9120时。就可以得到与C商品出售数量相对应的正态分布曲线。
商品C的图象与标准正态分布图象（其中图象横坐标为出售数量，纵坐标为频率。为便于观察，图象向右平移一个单位）：

从图象中可以明显看出，B,C图象很符合正态分布的关系。
所以我们可以确信，B,C数据是一种正态分布模型。但是我们可以在模型中明显的看见，在零附近出的概率值明显偏大。经过我们的研究，探讨可以确定，这是由于B,C的缺货，导致了零处的概率偏大。
在A,B,C模型确立之后，我们分析认为，当数据中出现连续的零或者是二天出售量差值非常大时，极有可能是缺货（进货）的时间点。我们通过分析和计算机的筛选，找到了最符合缺货（进货）的点，再通过对筛选出来的点的分析（见附录），初步找出了缺货（进货）的周期在12天左右。
再接下来，我们通过假设检验的方法，对周期进行进一步的确认。
（一） 傅里叶变换
傅里叶表换公式：

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
（二） 具体问题分析
下面是以月为单位，对每月的总的出售数据进行傅里叶变换，得出的一系列图形（其中横坐标为频率，纵坐标为傅里叶变换后的值，周期单位为月）：
右边是A的傅里叶变换图形：
下面是B的傅里叶变换图形：

下面是C的傅里叶变化图形：

从傅里叶变换的图形中，我们可以明显的发现，在频率为15的点附近，傅里叶变换的值最高。转化为该题中的具体数据即为：在周期为2*pi/15*28=11.7（天）为周期的数据最具有周期性。通过傅里叶变换我们可以在另一方面验证出，A,B,C数据的缺货（进货）周期为12天是正确的。
在接下来，我们再次通过以周为单位（源程序见附录），做出A,B,C数据的图形（其中横坐标为周，纵坐标为以周为单位的出售数量）。
A，B，C以周为单位的数据图形：

我们再次运用假设检验的方式，通过观察相邻极大值和极小值的时间差值，再次找出B,C数据的大致周期。通过我们对这些数据的处理，再次找到B,C数据的周期，周期约为12天。而且对图形的观察，我们也可以得出，A,B,C的在一段时间内，上升和下降趋势十分接近。
在A,B,C缺货（进货）周期为12天的基础上，我们进一步做出以12天为周期（源程序见附录），A,B,C数据的分布图象（横坐标为出售的数量，纵坐标是对应的频数）：
A以12天为单位的数据图形：

B以12天为单位的数据图形：

C以12天为单位的数据图形：

在图形上我们可以明显的观察到，B,C商品若以12天为周期，它们的出售数量都集中在一起，而且集中的非常明显。图形很明显的阐述了，当B,C以12天为周期缺货（进货），出售数量是高度集中的，即12天是它的主要周期。
通过以上方法，我们再经过几次验证，得出B,C的缺货（进货）周期就是12天。
在问题（一）中：
对于A,B,C商品，我们通过上述的模型的建立与周期的确立，再结合实际数据。我们可以得出，A,B,C商品的进货周期为12天，在某些时刻（畅销的时候），还会缩短进货周期，并且允许缺货。
在825天内，进货次数为：825/12=68.75（次），取整后，即大约进货69次左右。
在问题（二）中，
对于A商品，我们认为它的出售曲线是一个泊松分布曲线，所以我们通过方差分析，得出方差为3.07，即A的日需求量大约是3.07。
对于B,C商品，我们通过对正态分布模型的建立，得出B商品的出售数量平均值为4.5，C商品的出售数量平均值为7.那么我们就可以得出，B商品的日需求量为4.5，C商品的日需求量为7。
在问题（三）中，
对于A,B,C商品，我们通过对图形的拟合对比，找出缺货的的时间和总的缺货量。计算方法为：
总的时间：t=ΔP0*T+t1;
总的缺货量：Q=Σ(NI*ΔPI-Ni*Pi)+ΔP0*T*
对于A商品我们计算出断货时间为31天，缺货时间（不断货）62天，缺货总时间为：93天，故A商品的缺货量：31*3.07（时间*方差）+206（缺货（不断货）时的缺货量）=301
对于B商品，我们计算出断货时间为29天，缺货时间（不断货）33天，缺货总时间为：62（天），故B商品的缺货量为：29*4.5（断货量=时间*平均值）+156（缺货（不断货）时的缺货量）=286（总的缺货量）
对于C商品，我们计算出出断货时间为17天，缺货（不断货）31天，总的缺货时间为：48天，故C商品的缺货量为：17*7（断货量=时间*平均值）+220（缺货（不断货）时的的缺货量）=339（总的缺货量）
在问题（四）中，
对于A商品，周期为12，共进货69次，总的缺货量为301件，所以在每个周期内缺货4.36（件），结合方差为3.07，我们可以得出当进货周期为11天的时候，A的商品损失率就已经减半了。
对于B商品，周期为12，共进货69次，总的缺货量为286件，所以在每个周期内缺货量为：286/69=4.14（件），结合平均值为4.5，我们可以得出当进货周期为11天的时候，B商品的损失率就接近零了，符合题意。
对于C商品，周期为12天，共进货69次，总的缺货量为339件，所以在每个周期内缺货量为：339/69=4.91（件），结合平均值为7，我们可以得出当进货周期为11天的时候，C商品的损失率就接近零了，符合题意。
总结以上，我们可以得出，当进货周期改为11天的时候，能够将A,B,C的商品损失率减半。
六 模型的检验

七 模型的优缺点分析
模型的优点：
我们的模型对于实际数据具有非常高的拟合度，所以在处理问题的时候具有很强的依据性，而且得出的数据说服力很强。
模型的缺点：
模型仍然只能从经验层面上粗糙的推出进货量和缺货量，缺少一个基于动力系统的销货-缺货模型，不能精确的推导出缺货量和缺货天数，另外计算周期的话傅里叶的突出峰也不明显，这有可能与突然缺货有关，即当严重缺货时老板有可能进货，另外，没有给出季度之类的周期数据也是个缺点。

八 模型的推广与改进
推广：
A的泊松分布模型适用于销量不太多的离散型商品，例如消耗性的香皂，钢笔类型的商品，而不适合刚性需求比较大的商品，比如说食物，卫生纸之类的。同样不适合的连续性商品如大米之类的也不能使用泊松分布。
B,C的正态分布模型适用于销量较稳定的离散型商品，通过该正态分布模型可以适用于缺货的商家来调整自己的进货策略。
改进：
因为商品大多有周期性因素来考虑，而本文的售出天数没有给季节，所以如果给定具体的季节的话，模型还可以从季节方面考虑来调整其进货量。
九 参考文献
[1] 魏宗舒等. 概率论与数理统计教程[M ]. 高等教育出版社.1983. 10.
[2] 赵荣春. 数字图象处理导论[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 1995. 25-73.
ZHAO Rong-chun. Digital image processing guide [M]. Xi’an: Northwestern Polytechnical University Press, 1995. 25-73.
十 附录
附表I
销售量
序号
A
B
C
1
4
5
8
2
10
5
13
3
4
8
8
4
4
5
8
5
6
6
13
6
2
6
7
7
2
3
5
8
2
1
10
9
4
6
5
10
3
9
7
11
2
5
11
12
3
9
7
13
1
3
6
14
0
2
10
15
0
1
2
16
1
5
9
17
3
6
4
18
3
5
4
19
2
5
7
20
2
8
10
21
2
4
13
22
1
6
9
23
5
5
8
24
1
1
2
25
2
2
10
26
5
5
10
27
3
8
11
28
1
3
3
29
3
6
4
30
6
7
13
31
2
3
6
32
1
8
5
33
2
10
5
34
3
3
6
35
4
5
9
36
2
6
10
37
3
6
13
38
5
2
9
39
4
12
10
40
0
6
6
41
4
1
6
42
1
7
6
43
4
3
2
44
3
10
7
45
1
2
5
46
4
0
6
47
5
0
9
48
1
0
6
49
4
4
10
50
2
4
8
51
1
7
6
52
1
0
6
53
5
2
11
54
3
5
7
55
3
0
10
56
3
0
6
57
2
0
8
58
3
6
6
59
3
6
6
60
4
3
15
61
4
5
13
62
3
2
11
63
1
3
3
64
3
5
0
65
1
4
0
66
4
7
5
67
2
3
8
68
1
4
6
69
3
4
4
70
1
4
9
71
2
2
7
72
3
9
8
73
5
4
3
74
5
4
9
75
3
4
15
76
4
4
5
77
2
7
5
78
2
7
9
79
3
5
7
80
2
3
8
81
3
4
6
82
7
2
9
83
3
6
5
84
2
2
12
85
4
6
4
86
2
3
5
87
2
5
6
88
0
6
9
89
2
2
5
90
3
6
8
91
3
4
6
92
3
4
9
93
2
4
6
94
4
4
11
95
8
7
15
96
0
3
9
97
0
3
1
98
2
4
10
99
1
7
5
100
2
4
9
101
4
6
7
102
4
6
6
103
0
4
7
104
2
7
4
105
6
5
7
106
0
2
5
107
3
5
9
108
2
5
8
109
4
1
7
110
4
6
8
111
4
9
9
112
2
4
11
113
2
0
8
114
3
8
12
115
5
3
6
116
7
2
12
117
1
3
4
118
4
3
9
119
4
3
8
120
2
3
13
121
2
5
10
122
3
7
6
123
3
4
15
124
6
3
7
125
4
5
5
126
1
5
6
127
0
5
6
128
0
2
1
129
3
4
6
130
1
7
10
131
4
6
3
132
1
3
11
133
3
0
10
134
3
2
6
135
2
4
9
136
3
6
7
137
4
3
7
138
2
4
7
139
2
2
5
140
3
10
9
141
3
9
8
142
5
4
7
143
4
5
9
144
2
6
6
145
2
4
7
146
5
6
7
147
5
2
12
148
1
6
4
149
3
8
12
150
3
3
6
151
6
1
5
152
4
6
9
153
1
5
6
154
4
3
5
155
1
3
4
156
1
4
8
157
2
2
8
158
3
2
6
159
2
12
7
160
2
5
14
161
2
6
10
162
1
5
4
163
4
6
4
164
0
7
4
165
1
7
8
166
3
8
6
167
7
3
15
168
2
7
4
169
3
9
9
170
3
3
8
171
5
6
6
172
5
8
10
173
3
0
8
174
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3
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7
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6
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1
1
11
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0
4
9
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4
2
11
180
4
4
12
181
3
0
3
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3
5
12
183
1
7
10
184
7
3
8
185
3
3
5
186
2
7
7
187
2
6
8
188
3
6
8
189
2
2
12
190
3
5
4
191
0
2
0
192
3
2
0
193
3
7
0
194
1
5
0
195
7
4
6
196
3
6
10
197
1
9
7
198
0
4
8
199
2
5
10
200
3
7
11
201
0
2
4
202
2
3
13
203
4
4
4
204
2
7
8
205
1
7
10
206
4
4
10
207
6
5
8
208
1
8
5
209
3
0
6
210
4
3
15
211
1
5
6
212
3
5
5
213
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4
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