大学物理 第1章习题解答.doc

第1章 运动学

内容提要
一、 运动学物理量：位矢、位移、速度、加速度
1. 在直角坐标系中
（1-1）
大小 （1-2a）
方向 (1-2b)
(1-3)
(1-4)
速率 (1-5)
(1-6a)
(1-6b)
2. 在自然坐标系中
(1-7)
(1-8)
3. 在平面极坐标系中*
(1-9)
(1-10)
(1-11)
二、 圆周运动的角量描述
(1-12)
(1-13)
(1-14)
线量与角量的关系 (1-15)
(1-16)
三、 两类运动学问题
1. 第一类：已知运动方程、求速度、加速度。 （导数运算）
几何法：求（或比较）x-t图、v-t图上曲线的斜率
2. 第二类：已知加速度函数和初始条件，求运动方程。 （积分运算）
若，即加速度为时间的函数
（1-17）
（1-18）
y、z分量如出一辙。
条件合适时可用几何法求解，即求（或比较）a-t图、v-t图上曲线与坐标轴围定的面积。
若，以直线运动为例，由于
则 （1-19）
求出t，再解出，就可以求出运动方程了
（1-20）
若,由恒等变换
（1-21）
解出，再由
（1-22）
求出t，就可以解出运动方程了。
四、 相对运动的描述方法
1. 约定系统
在地面参照系中建立直角坐标系，对地面以匀速直线运动的参照系中建立直角坐标系。取和轴沿相对运动的直线，和 、和分别平行。假定，时刻，与相重合。以后我们称所在的参照系为惯性系；所在的参照系为惯性系。这样设定的条件称为约定系统。
2. 伽利略变换
在远小于光速的条件下，在约定系统中，两个不同惯性系上的观察者对同一质点运动的描述可能不同（物理量不同），这两套运动学物理量之间的转换关系称为伽利略变换，其形式为
（1-23）
速度变换（速度合成公式） （1-24）
加速度变换 （1-25）
投影式见教材（1-35式）

解题指导与示例

例1-1 一艘巡逻艇离开港口并向正东航行了231km的距离，为躲避暴风雨，它转向东偏南42.1°航行了209km，然后又向东偏北54.8°航行了262km，求合位移的大小和方向（忽略地球表面的弯曲，假定所有的位移都位于同一平面内）。
解：作图、建坐标，将各段位移依次称为（），并将其在图中各坐标轴上投影，计算出投影分量，即
θ
42.3°
54.8°
y N
W E

S

X

例1-1 图

注意的角度用表示。因为从x轴正向顺时针度量角度为负（依据右手螺旋法则）。合位移的两个分量分别为

给出了两个分量，合位移就算得到了。但按照题目的要求，必须明确给出合位移的大小和方向

例1-2 假设一长雪橇沿一直的雪坡向上滑，速度减慢至瞬时停顿后又往回滑下斜坡，分析雪橇的运动得出其运动方程为。
请画出雪橇运动的x-t图；
求雪橇在1-7秒间的位移和路程；
求雪橇在1-7秒和1-4秒间的平均速度；
求雪橇速度随时间的函数关系；
画出雪橇在0-8秒间的v-t图；
求雪橇加速度随时间的函数关系；
解：由于运动有往返，找出折返时刻（由x-t图可以看出）
令 （x极大点或者说是速度为零的点）
得 （这结果也可以由x-t图看出） 例1-2 图
则

平均速度

（可见在变速运动中，不同时段的平均速度大小和方向都可能不一样）
雪橇的速度
雪橇的加速度 （显然这是匀加速运动）

例1-3 一质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为，b、c均为常数，且，其切向加速度和法向加速度相等所经历的最小时间使多少？
解：由于

故，当时
得

例1-4 一作直线运动得质点，其加速度为（k为常数），时，。当质点速度减为（）时，求质点经过得距离与质点所能行经的总距离之比。
解：由题设，质点任一时刻的加速度为

分离变量，积分
得
所以
再由
分离变量，积分
得
式中是时的x值，即质点所能行经的总距离。（物理上不可能有，这是数学模型上的问题。实际上，用不了很长时间，质点就能达到静止状态。因此，在物理上理解为“时间足够长”。）
设时刻，质点的速度减为
于是
取对数，得
相应经过的距离x1与xmax之比为
另解：按原题的要求，只要找到v与x的关系就可以了，无需解出时间函数，这样一来解题过程可以简化。
由加速度的定义，利用恒等变换直接消去t

积分
得
当时，x达到最大值
所以，当质点速度减为（）时

可以推出，在任一时刻，该质点的位置与速度遵循以下规律

例：1-5宽L的河流，流速与离岸的距离成正比，而两岸处的流速为零，河中心的流速为v0。一艘小船以恒定的相对速度vr垂直于水流从一岸驶向另一岸。在离岸L/4处因故突然调头，以相对速度vr/2垂直于水流驶回本岸。试求：①小船的运动轨迹；②小船返回后的靠岸点与原出发点之间的距离是多少？（较难的运动学综合题）
分析：
⑴为便于表述，建立直角坐标系。
⑵根据题目给定的条件写出河流流速的函数表达式，再写出已知的船相对水流的速度的函数表达式，于是小船的绝对速度的表达式可得。
⑶由的两个坐标分量及的表达式消去t，即可得到能确定小船轨迹的微分方程，然后积分，得到轨迹方程。
⑷用同样的方法，可得到小船返回本岸时的轨迹方程；全程轨迹得到后，位移自然可以给出。
解：取平面直角坐标，沿本岸水流方向为x轴，y轴指向对岸，坐标原点设于出发点。
设流速 （k为比例系数）
由题意 处 ； 处
得
所以
小船的相对速度
于是，小船的绝对速度
相应的坐标分量式为
消去dt，得
分离变量
此即关于小船驶出阶段轨迹的微分方程。积分

得
这是一条抛物线。在离岸L/4处，小船的坐标为

返回本岸阶段
（注意第二项，区别矢量和分量的符号表述）（为避免混淆，这里转而采用大写符号，以区别前段的运动）
则
消去dt，得
分离变量
此即小船返回本岸阶段轨迹的微分方程。积分（从前段的终点开始）

得
这仍然是一条抛物线。回到本岸时，小船的坐标为

若设，，河宽，运动轨迹如下图所示。可见前段位移的x分量为25m；后段位移的x分量为50m；全程位移为75m。
例1-5图

例：1-6猎豹捕羚羊(自动跟踪问题中的轨道与追及时间)问题
⑴这类问题一般都很复杂，即使给出微分方程，也找不到解析解，必须采用数值计算方法。
⑵你可以先建立一个最简化模型，试着给出它的微分方程（常常被称为数学模型）（挑战你的建模能力）
⑶尝试给出该模型的解析解和数值解，用计算机绘图给出运动轨迹。有可能的话，编写一段计算机程序模拟整个猎捕过程，这时你可以预先给羚羊设计一个较复杂的逃遁路线，看看你的模型中猎豹的追捕能力。
建模：将机灵的羚羊换成水面上速率为vf的无人驾驶训练靶艇，该艇只会作匀速直线运动；同样将猎豹换成有自动跟踪能力的导弹鱼雷，其速率（为常数）。取直角坐标系，沿海岸建x轴，y轴当然指向外海域，
解∶设地面直角坐标系。
靶艇A(xf ，yf)，运动方程
导弹B(x，y)追踪A(xf ，yf)的效果是它的速度矢量始终指向目标物A，故连线为导弹轨迹的切线，因而可以考虑建立切线方程

这是B、A系统必须满足的相互关系式，所以它就是我们要的数学模型。是变量，所以由此式还不能直接得到轨迹方程，将其改写

试着先对y求导数（目的是消去变量，经验来自于多见、多作、多思考）
得
由题意
又据运动学定义
所以
则
这就是关于x、y的二阶常微分方程，即关于导弹轨迹的常微分方程（方程中已无其它变量）
用降阶法求解，令
则
分离变量
积分（注意时，有及！）

得
解出
回到u 的定义，分离变量
积分
得轨迹方程
导弹击中靶艇时，代入轨迹方程，得到击中点的x坐标
B
A

例1-6图

追及时间即靶艇到达该坐标点历经的时间，
由
得

若定义数值：；，则靶艇和导弹鱼雷的轨迹见图。
如果设计其它复杂一些的靶艇运动方式，同样能建立它的数学模型，但恐怕只能作数值计算求其解了。

教材习题解答
1-1
解：
（1）第二秒内的平均速度，即秒到秒内的平均速度
m

（2）

（3）由
令得秒
第2秒内路程

1-2
解：设时，质量在轴距点处。
则 任意点P处

（2）若，，，即图中A点
则

因此，与反向，指向圆心。
1-3
解：（1）
∴

（2）
∵

1-4
解：

∴

∴
（m）
1-5
解：

∴
1-6
如图所示，一高为的足球运动员，背向某照明灯以匀速带球，灯离地面高度为，求人影顶端点沿地面移动的速度及影长变化率。
解如图示坐标
人的坐标，则
人影顶端
由图知
∴

影长变化率

1-7
如图所示，某人用绳拉一高台上的小车在地面上以匀速奔跑，设绳端与小车的高度差为，求小车的速度及加速度。
解：建止标如图
绳长
小车位置
人位置

绳长不变

沿轴正向

沿轴正向
1-8
解解时
（m）
根据计算，在B处，
故解时，质点已经进入半径为R的圆周内
∴

秒代入，得

1-9
解：

从到经历时间应满足

∵
触得
1-10
解：
而秒， ∴秒

，

1-11
解：取如图所示坐标系

当质点达到与抛出点同一高度，即

代入
而

在处，即
由 ∴
1-12
解

（m）
1-13
解 由

即
得

1-14
解

即

°北偏东
1-15
由于车生产时，
与竖直成30°
车以向右运动，斜偏车尾45°，如图2
由
方面有 °=°
方面有 °°=
解得：
1-16
解 小球对地面速度抛后，以向上作匀速运动

当时，小球达最高点

电梯坐标

当时，小球回到电梯
即

自测题一

一、填空题
1.一物体在某瞬时，以初速度从某点开始运动，在Δｔ时间内，经一长度为s的曲线路径后，又回到出发点，此时速度为－，则在这段时间内：
（１） 物体的平均速率是 ；
（２） 物体的平均加速度是 。
2.质点沿半径为Ｒ的圆周运动，运动方程为 ＝３＋２ｔ2（SI），则ｔ时刻质点的法向加速度大小为
ａn＝__________________；角加速度 ＝_________________________．
3.一质点的运动方程为ｘ＝６ｔ－ｔ2（SI），则在ｔ由０至４ｓ的时间间隔内，质点的位移大小为 ___________，在ｔ由０到４ｓ的时间间隔内质点走过的路程为_________________．
4.在一个转动的齿轮上，一个齿尖Ｐ沿半径为Ｒ的圆周运动，其路程Ｓ随时间的变化规律为
Ｓ＝ｖ0ｔ＋1/2ｂｔ2，其中ｖ0和ｂ都是正的常量．则 ｔ时刻齿尖Ｐ的
速度大小为____________________________，加速度大小为____________________．
5.一质点，以m/s的匀速率作半径为５m的圆周运动，则该质点在 ５s内
位移的大小是__________________；经过的路程是__________________．
6.一质点在平面上作曲线运动，其速率ｖ与路程s的关系为ｖ＝１＋s2（SI）则其切向加速度以路程s来表示的表达式为ａt＝________________________（SI）．
7. 一物体作斜抛运动，测得在轨道上升段某点处速度的大小为ｖ，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在Ａ点的切向加速度ａt＝_____________，轨道在Ａ点的曲率半径＝________________．
8. 河水自西向东流动，速度为10km/h．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30°，相对于河水的航速为20km/h．此时风向为正西，风速为10km/h．在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向为 ．（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）
9. 已知质点运动方程为（SI）
当ｔ＝２ｓ时，＝__________________________．
10.质点ｐ在一直线上运动，其坐标ｘ与时间ｔ有如下关系：
M
h1
h2
（SI） （A为常数）
(1)任意时刻ｔ时质点的加速度ａ＝____________；
(2)质点速度为零的时刻ｔ＝______________．
11.灯距地面高度为ｈ1，一个人身高为ｈ2，在灯下以匀速率ｖ沿水平直线行走，如图所示．则他的头顶在地上的影子Ｍ点沿地面移动的速度ｖM＝________________． 填空题11.图
12.，一质点从静止出发沿半径R=1m的圆周运动，其角加速度随时间ｔ的变化规律是
（SI）则质点的角速度＝ ；切向加速度ａt＝ 。
13.距河岸（看成直线）500 ｍ处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为ｎ＝１r/min转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度ｖ＝______________．
14.一船以速度在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速在船中竖直向上抛出一石子，则站在岸上的观察者看石子运动的轨迹是__________，其轨迹方程是______________________________．
15.试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（ｖ≠０）：
（１） ａt≠０，ａn≠０；____________________________________
（２） ａt≠０，ａn＝０；____________________________________
ａt、ａn分别表示切向加速度和法向加速度．
16.在下列各图中质点Ｍ作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？
M
V
a
(2)
a=0
M
V

(1)

M
V
a
(3)

M
V
a
(4)

填空题16.图

17.以一定初速度斜向上抛出一个物体，若忽略空气阻力，当该物体的速度与水平面的夹角为时，它的切向加速度ａt的大小为______________，
法向加速度ａn的大小为__________________．
t
v
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
18.在ｘ轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为ｖ0，初始位置为ｘ0，加速度ａ＝Ｃｔ2（其中Ｃ为常量），则其速度与时间的关系为ｖ＝_______________，运动方程为
ｘ＝__________________________．
19.在ｖ－ｔ图中所示的三条直线都表示同一类型的运动：
（１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三条直线表示的是______________运动； （２）__________直线所表示的运动的加速度最大．
填空题19.图
20.一质点Ｐ从Ｏ点出发以匀速率１cm/s作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为１m，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是______， 这段时间内的平均速度大小为__________________，方向是____________．
21.已知质点的运动方程为＝４ｔ2＋（２ｔ＋３），则该质点的轨道方程为________________．
22.一质点作直线运动，其ｖ─ｔ曲线如图所示，则ＢＣ和ＣＤ段时间内的加速度分别为____________，_______________．
O
P
x
y
20
A
B
C
D
1
0
3
2
t(s)
V(m/s)
30
10
4
5

填空题22.图 填空题20.图
23.一质点从静止出发，沿半径R＝3ｍ的圆周运动．切向加速度ａt＝3 m/s2，当总加速度与半径成450角时，所经过的时间ｔ＝__________， 在上述时间内质点经过的路程S＝____________________．
24.一质点沿半径为0.10ｍ的圆周运动，其角位移θ可用下式表示
＝２＋４ｔ3 （SI）．
（１） 当ｔ＝２ｓ时，切向加速度ａt＝______________；
（２） 当ａt的大小恰为总加速度大小的一半时，＝______．
25.以初速率ｖ0、抛射角0抛出一物体，则其抛物线轨道最高点处的曲率半径为________________.
26.在表达式中，位置矢量是_______________；位移矢量是_____________________.
27.当一列火车以10ｍ／ｓ的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于地面的速率是__________；相对于列车的速率是 .
28.一质点从静止（ｔ＝０）出发，沿半径为Ｒ＝３ｍ的圆周运动，切向加速度大小保持不变，为ａt＝３m/s2．在ｔ时刻，其总加速度恰与半径成45°角，此时ｔ＝____________．
29.一质点沿半径为Ｒ的圆周运动，在ｔ=０时经过Ｐ点，此后它的速率ｖ按ｖ＝Ａ＋Ｂｔ（Ａ，Ｂ为正的已知常量）变化．则质点沿圆周运动一周再 经过Ｐ点时的切向加速度ａt＝___________ ，法向加速度ａn＝______________．
30.设质点的运动方程为 ＝Ｒｃｏｓｔ＋Ｒｓｉｎｔ（式中Ｒ、皆为常量）则质点的
＝_________________，ｄｖ／ｄｔ＝____________________________．
31.飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动方程为s=0.1t3 (SI)。飞轮半径为2米。当此点的速率v=30m/s时，其切向加速度为 ，发向加速度为 。
二、选择题
1.一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为ｖ，某 一段时间内的平均速度为，平均速率为v，它们之间的关系必定有
（Ａ）┃┃＝ｖ，┃┃＝v． （Ｂ）┃┃ｖ，┃┃＝v．
（Ｃ）┃┃ｖ，┃┃v． （Ｄ）┃┃＝ｖ，┃┃v． ［ ］
2.一飞机相对空气的速度大小为 200km/h．风速为56km/h，方向从西向东．地面雷达测得飞机速度大小为 192km/h，方向是
（Ａ）南偏西16.3°． （Ｂ）北偏东16.3°． （Ｃ）向正南或向正北．
（Ｄ）西偏北16.3°． （Ｅ）东偏南16.3°． ［ ］
3.图中ｐ是一圆的竖直直径ｐｃ的上端点，一质点从ｐ开始分别沿不同的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的时间相比较是
（Ａ）到ａ用的时间最短． （Ｂ）到ｂ用的时间最短．
（Ｃ）到ｃ用的时间最短． （Ｄ）所用时间都一样． ［ ］
4.如图所示，几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上．若使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
（Ａ）30°． （Ｂ）45°． （Ｃ）60°． （Ｄ）75°． ［ ］
P
a
b
c
300
450
600
750

选择题3.图 选择题4.图

5.质点沿半径为Ｒ的圆周作匀速率运动，每ｔ秒转一圈．在２ｔ时间间隔
中，其平均速度大小与平均速率大小分别为
（Ａ），． （Ｂ）０，．
（Ｃ）０，０． （Ｄ），０． ［ ］
6.质点作曲线运动， 表示位置矢量，Ｓ表示路程，ａt表示切向加速度，下列表达式中，
（１）ｄｖ／ｄｔ＝ａ， （２）ｄｒ／ｄｔ＝ｖ，
（３）ｄＳ／ｄｔ＝ｖ， （４）┃ｄ／ｄｔ┃＝ａ．
（Ａ）只有（１）、（４）是对的． （Ｂ）只有（２）、（４）是对的．
（Ｃ）只有（２）是对的． （Ｄ）只有（３）是对的． ［ ］
7.某物体的运动规律为ｄｖ／ｄｔ＝－ｋｖ2ｔ，式中的ｋ为大于零的常数．当ｔ＝０时，初速为ｖ0，则速度ｖ与时间ｔ的函数关系是
（Ａ）ｖ＝1/2ｋｔ2＋ｖ0． （Ｂ）ｖ＝－1/2ｋｔ2＋ｖ0．
（Ｃ）． （Ｄ）． ［ ］
8.某人骑自行车以速率ｖ向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？
（Ａ）北偏东30°． （Ｂ）南偏东30°．
（Ｃ）北偏西30°． （Ｄ）西偏南30°． ［ ］
9.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为＝ａｔ2＋ｂｔ2 （其中ａ、ｂ为常量）
则该质点作
（Ａ）匀速直线运动． （Ｂ）变速直线运动．
（Ｃ）抛物线运动． （Ｄ）一般曲线运动． ［ ］
10.某人骑自行车以速率ｖ向正西方行驶，遇到由北向南刮的风（设风速大小也为ｖ），则他感到风是从
（Ａ）东北方向吹来． （Ｂ）东南方向吹来．
（Ｃ）西北方向吹来． （Ｄ）西南方向吹来． ［ ］
11.一个质点在做匀速率圆周运动时
（Ａ）切向加速度改变，法向加速度也改变． （Ｂ）切向加速度不变，法向加速度改变．
（Ｃ）切向加速度不变，法向加速度也不变． （Ｄ）切向加速度改变，法向加速度不变．［ ］
12.质点作半径为Ｒ的变速圆周运动时的加速度大小为（ｖ表示任一时刻质点的速率）
（Ａ）． （Ｂ）．
（Ｃ）． （Ｄ）． ［ ］
13.在相对地面静止的坐标系内，Ａ、Ｂ二船都以２ｍ·ｓ-1的速率匀速行驶，Ａ船沿ｘ轴正向，Ｂ船沿ｙ轴正向．今在Ａ船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（ｘ、ｙ方向单位矢用、表示），那么在Ａ船上的坐标系中，Ｂ船的速度（以m/s为单位）为
（Ａ）２＋２． （Ｂ）－２＋２．
（Ｃ）－２－２． （Ｄ）２－２． ［ ］
14.一运动质点在某瞬时位于矢径（ｘ，ｙ）的端点处，其速度大小为
（Ａ）． （Ｂ）．
（Ｃ） （Ｄ）． ［ ］

三、简答题
1.一质点作直线运动，其ｘ－ｔ曲线如图所示，质点的运动可分为ＯＡ、ＡＢ（平行于ｔ轴的直线）、ＢＣ和ＣＤ（直线）四个区间．试问每一区间速度、加速度分别是正值、负值，还是零？
2.一人骑自行车沿笔直的公路行驶，其速度图线如图中折线ＯＡＢＣＤＥ所示．其中三角形ＯＡＢ的面积等于三角形ＣＤＥ的面积．问
（１） BC线段和CD线段各表示什么运动？
（２） 自行车所经历的路程等于多少？