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也谈正三角形在解(证)题中的作用
干一镇中心学校初中分校 谢红涛
对于竞赛而言,几何中角度的计算占一定的比例.如果是选择题和填空题,可以通过量角器与尺规作图就可以达到几近正确的选项.然而,是解答的话,往往通过准确的画图,得到比较正确的结论以后,再动手答题.我在这些年的辅导中,找出比较典型的几个例子.说明几何的特色是三种简单的思维转换.即角的替换,边的替换,比的替换.而正三角形可以达到多边替换与多角替换,是我们不能忽略的.在解题中往往简单明了.给人耳目一新,振聋发聩.那么,我找出几个例子,和大家共同探讨.
例题1:已知等腰三角形ABC,AB=AC,P为三角形内一点,角PBC=10度,角PCB=20度,角BAC=80度,试求BAP的度数?

解法:以边BC作正三角形BCE,连AE过点A作AF平行PC交BP延长线于F,连CF,EF.
AB=AC,EB=EC,则AE为BC中垂线,由三线合一可得,角BAE=40度,角BEA=30度
AF平行PC,角CPF=角AFP=30度,角ABF=40度.AB公共.三角形ABF全等于三角形ABE
角BAE=角ABF=40度,AE=BF,可以得到ABEF为等腰梯形,即ABEF四点共圆,角BFE=角BAE=40度.角FBE=70度,可以得到FB=FE.CB=CE,则FC为BE中垂线,由三线合一,则角BFC=20度.
同理.APCF四点共圆,角BFC=20度=角PAC
所以角BAP=60度
通过构建正三角形,得到两个等腰梯形,运用等腰梯形的性质.让解答简洁,明了.解法新颖独特!
例2:已知等腰三角形ABC,AB=AC,P为三角形内一点,角PBC=10度,角PCB=30度,角BAC=80度,试求BAP的度数?

解法:以边BC作正三角形BCE,连AE.BE.CE.
BE=CE,BA=CA,,则AE为BC中垂线,由三线合一可得角BEA=30度,角EAB=10度
三角形ABE全等于三角形BPC,BP=BA,可得角BAP=70度
正三角形的构建,能够产生多角替换和多边替换,实行全等位移,然后通过等腰三角形的性质解题,使整个解答过程酣畅洒脱,赋有美感.
例3::已知等腰三角形ABC,AB=AC.角BAC=100度,BC=AD,求角BCD的度数

解法:以边BC作正三角形BCE,连AE.BE.CE.
AB=AC,EB=EC,则AE为BC中垂线,由三线合一可得BAE=50度,ABE=100度.
AB=AC,BE=BC=AD,角CAD=100度,三角形ACD全等于三角形ABE,所以角ACD=角BAE=50度.故BCD=10度
我们常说.代数之妙在于提,几何之妙在于补.将图形合理的补充.解题思路形成思维定势,用一个一个知识点去完善嫁接.这道题目的解题思路是构建等边三角形------>中垂线的产生---->全等转换----->外角性质
例4:在三角形ABE中,AB=BC=CD.角ABC=78度,角 BCD=162度.求角E的度数

解答:以AB为边作正三角形ABF,连AF,BF,DF,
则角FBC=角DCE=18度,BF//CD.BF=CD=BC,则四边形BFDC为菱形.DF=AF ,则角AFB=60度=2倍的角E+18度
角E=21度
此题之妙,在于构建正三角形后,能够得到菱形.
其解题思路是:正三角形--->菱形------>外角性质
多边替换是这道题的特色!
例5:如图,在三角形ABC中,角BAC=角BCA=44度,M为三角形ABC内一点,使得角MCA=30度,角MAC=16度.求角BMC的度数?解答:以AC为边作正三角形ABE,连BE.
AB=CB,AE=CE,那么EB为AC的中垂线,由三线合一可得,角AEB=30度,角ACM=30度,有已知条件可得,角EAB=角MAC=16度,AE=AC,所以三角形ABE全等于三角形CMA,即AB=AM,角BAM=28度,所以,角BMC=360-134-76=150度.
此题解答方法同例2,让我们加深这样的一个循环过程.正三角形的构造------>中垂线的应用------>全等转换--------->角度计算
例6:在三角形ABC中,M为三角形内一点,角ABC=60度,角MBC=20度,CM平分角ACB,且角ACB=20度,求角BAM的度数?
解答:延长CA至点E,使得CB=CE,CM公共,CM平分角BCA,所以三角形CBM全等于三角形CEM,则ME=MB,角EMB=60度,三角形BME为正三角形,BE=BM,角EBA=20度,角BEC=80度,由三角形内角和可得,角BEA=角BAE=80度,所以BE=BA,故BA=BM,角ABM=40度,所以角BAM=70度
这里,抓住角平分线构造图形翻折,形成正三角形.再实施多边替换,从而达到解题的目的.整个过程轻松而回味无穷!
例7:如图所示:等腰梯形ABCD,AB=CD,AD//BC,角BAD=100度,角ACD=20度,E为CD上一点,角ABE=30度,连AE,求角DAE的度数?

解答:作角BCF=20度,交AB于F,角ABC=80度,在三角形BCF中,由三角形内角和可得:角ABC=角AFC=80度,所以CB=CF(1)
,在三角形BCE中,角CBE=50度,角BCD=80度,由三角形内角和得:角CBE=角CEB=50度,所以CB=CE,CB=CE=CF(2),角ECF=60度,所以三角形CEF为正三角形,CF=EF(3),在三角形AFC中,角AFC=100度,角FCA=40度,由三角形内角和可得,角ECA=角FAC=40度,所以FA=FC(4),由(1),(2),(3),(4)可得到FA=FE=FC,可理解为圆F为三角形ECA的外接圆.弧CE所对的圆心角为60度,所以角CAE=30度,故EAD=30度
此题最大的特色是多边替换,由边等推到角等,在互相替换的过程中达到解题的目的.更深远一点的思考,在图形正确的情况下,应用圆周角是圆心角的一半来解答,可能就是我解题的初衷.
通过以上几例可以看出.几何中的解题与证题之中,构建正三角形不仅必要,而且行之有效.只要同学们知识积累到一定程度.掌握扎实的基本功.就能够让你的解答更新颖独特,轻松自如.