求解极限的若干方法.doc

<临沂大学理学院2012届本科毕业论文（设计）
2014届 　 分 类 号:O175.2
　　　　　　　　　　　　　　　　　 单位代码:10452

毕业论文

求解极限的若干方法

姓 名　 　　　　 　　　　
　　　　　　 学 号　　　 201001120242
　　　　　　　年 级　 2010 　　　
　　　　　　　专 业　　　　信息与计算科学
　　　　　　　系 （院） 　　 理学院
　　　　　　　指导教师　 周建伟

　2014年03月28日

临沂大学2014届本科毕业论文
摘 要

众所周知，极限是数学分析的基础内容之一，并始终贯穿于数学分析的全部章节.数学分析中许多定理的证明，也离不开极限的概念.因此，极限是数学分析中最重要的内容之一，也是整个数学的核心内容之一.在极限的内容中，其计算方法是非常重要的.文中主要介绍一些求极限的方法.本文主要分为两大部分，第一部分主要介绍一元函数求极限的方法，包括：用定义求解或证明极限、四则运算法则求解极限、利用迫敛性求极限、利用两个重要极限、利用单调有界原理求极限、应用斯笃兹定理求极限、利用不动点求解极限、洛比塔法则、泰勒公式法、级数法、利用定积分定义或积分中值定理求极限，以及一类求解方法唯一的问题；第二部分主要介绍的是二元函数求极限的方法，包括：利用定义法求解重极限、用多元函数收敛判别法的方法求解、利用极坐标变换求解重极限、二元函数的洛比塔法则的应用.

关键词：极限；迫敛性；重极限
ABSTRACT

As we all known, the limit is one of the bases of mathematical analysis, mathematical analysis is always through. Mathematical analysis to prove any theorem is also inseparable from the limit. Therefore, the limit is the mathematical analysis of the most important content, but also an important part of the whole of mathematics. Content limit function, the limit for France is very important. I mainly introduce some methods seek limits in this article. This paper is divided into two parts, the first part describes a dollar limit function evaluation methods, including: definitions used to solve or prove limit, four algorithms for solving the limit, seeking convergence limit the use of force, the use of two important limits, use monotonic bounded seeking ultimate principle, fixed point to solve the limit, Marquis de l-Hopital rule, Taylor formula, series method, the use of the definite integral to define or limit demand integral mean value theorem, for solving a class of the only way to function; second part focuses on the limits of the dual function evaluation methods, including: re- use method to solve the limit defined by multivariate discriminant function method for solving convergence method, using polar coordinate transformation to solve the weight limit, the dual function application of rules Marquis de l-Hopital.

Key words: Limit; approximate convergence; heavy limit

目 录
1引言 1
2一元函数求极限的方法 2
2.1用定义求解或证明极限 2
2.2四则运算法则求解极限 3
2.3利用迫敛性求极限 4
2.4利用两个重要极限 5
2.5利用单调有界原理求极限 5
2.6应用斯笃兹定理求极限 6
2.7利用不动点求解极限 7
2.8洛比塔法则 8
2.9泰勒公式法 9
2.10级数法 11
2.11利用定积分定义或积分中值定理求极限 12
2.12一类求解方法唯一的函数 13
3二元函数求极限的方法 13
3.1利用定义法求解重极限 13
3.2用多元函数收敛判别法的方法求解 14
3.3利用极坐标变换求解重极限 14
3.4二元函数的洛比塔法则的应用 15
4总结 17
参 考 文 献 18
致 谢 19

1引言
和一切科学的思想方法一样，极限也是社会实践的产物.极限可追溯到古代，到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思考问题，放弃了归谬法的证明,因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.
极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.
柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：《工科学学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限.并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.
19世纪50年代，魏尔斯特拉斯（weierstrass,1815—1897）在分析严密化方面的工作改进了波尔察诺、阿贝尔和柯西的工作，他力求避免直观而把分析奠基在算数概念上，提出了关于极限的纯算术定义，从而完成了数学分析的严密化工作，从此，极限理论才得以充实和严密的自身体系成为微积分的基础理论，微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切地描述，进入了一个新的发展时期.
极限的求法对于现在数学是非常重要的，对于数学研究者或者数学专业的学生升学考试，是一项必备的数学技能.所以，有必要深入的研究一下极限函数的求解方法.2一元函数求极限的方法
2.1用定义求解或证明极限
用定义求解极限是一个非常重要的方法，也是一个最基础的方法.大部分求极限问题都可以用定义解得，尤其是极限题目的证明.此法是证明函数连续、函数是否可积可微的最重要的方法之一.因此，定义法是非常重要的.下面来介绍此法:
设 为实数数列，为定数．若对任给的正数 ，总存在正整数，使得当 时有, 则称数列 收敛于，定数 称为数列 的极限.
用定义证明求解极限的一般方法是：（1）求最小的N不等式中解出，即证明等价于,因此取；（2）放大法.将不等式放大为，只要即可.注意放大后的必须能够任意小.此种方法的 关键在于放缩适度，必须掌握一定的放缩技巧；（3）分步法.需要对做出某些限制，即不妨设,然后再通过放大解出，取为与中最大的：.

例1 求（）.
解 用定义证明

若，则结果是显然的.现设 则 .
我们有

并由得到

. （1-1）

对任给的，只要取，则当时，由（1-1）式得

.这就证明了

例2 用定义证明

证

所以

例3

证 设，则

.

，则当时，

利用定义求极限，需要先观察出极限值.否则很难求出，所以此法对于证明极限很有效.有一些极限题目用此法很难求出，即使求出来也很麻烦.因此，在做极限类题目是，尽量不用此法.实在没思路时，再用定义法求解.要灵活运用.
2.2四则运算法则求解极限
在求解极限时，常需要使用极限的四则运算法则.
四则运算公式：

例4 求

解
一般的有，

.

2.3利用迫敛性求极限
当极限值不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，做适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值.
设

例5 求

解 因为

所以
2.4利用两个重要极限
有一类题用两个重要极限做非常简单，用其它方法可能会很复杂，甚至做不出来.两个重要极限公式如下：
(1) (2)
例6 求（1） （2）
解

2.5利用单调有界原理求极限
在研究比较复杂的函数时，首先要看其是否有极限.若有极限，再考虑怎样计算极限值.判断函数极限是否存在的一个重要方法就是单调有界定理.对于大部分极限函数，此法都是可以解决.单调有界定理也是是实数完备性的基本定理之一.具体内容如下：

例7
解

2.6应用斯笃兹定理求极限
有些“无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助斯笃兹定理，就可迎刃而解了.
斯笃兹定理：
例8
解

2.7利用不动点求解极限
定义

引理

例9
证明

2.8洛比塔法则
在计算复杂的极限时，我们最想用也最常用的方法就是洛比塔法则.通过对分子和分母分别进行求导，使极限式变的越来越简单.以致于我们很容易解出求导后的极限式的极限值.而所求的极限式的极限值与原式相等.这就使得一些难求的极限式可以很容易解出.掌握此种方法对于解极限题目是非常重要的.具体内容如下：
1．

2.

例10
解

不定式极限还有等类型，虽然不定式极限有多种类型，但是都可以转化为或型.因此，只要熟练掌握这两种类型即可以应对大部分题目.但在做不定使极限式时，要想应用洛比塔法则，必须要注意是否满足3条.这是最容易错的地方.如果满足，即可用；如果不满足，就必须用其它方法解决.
2.9泰勒公式法
当我们在做比较复杂的极限题目并且出现
等函数时，我们首先应该想到的方法是洛比塔法则.但是通过求导后发现比求导前更复杂.此时，我们应该想到的另一种方法是泰勒公式法.在各类函数中，多项式是最简单的一种.运用一些数学方法，用多项式去逼近特殊函数，进而化简式子，这是泰勒公式的基本思想.最常用的就是（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林公式.具体形式如下：

一些常用函数的麦克劳林公式：

例11

解

在运用泰勒公式时，要注意将展开式展开比原式中存在的多项式高一项.
2.10级数法
所谓的级数法就是利用级数收敛的必要条件求极限.这个方法很好用，但是经常被遗忘.就是把所求极限式看成级数的通项，运用级数收敛的方法判断级数是否收敛.如果级数收敛，则所求的极限式为0；如果级数不收敛，则不能说明极限式是否收敛，需要换其它方法进行求解.很多题目如果用此方法，一到两步即可解出，若不用此法，可能会很复杂.所以应该多做此类题目，多加练习，以致熟练掌握此法.此法的核心内容是：
定理
例12
证

2.11利用定积分定义或积分中值定理求极限
定积分是数学分析中非常重要的一部分内容.定积分是由极限定义的，所以一部分极限式可以转化成定积分的定义形式，由于有一部分定积分可以通过牛顿—莱布尼茨公式求解.所以就产生了一种利用定积分定义求解极限的方法.这种方法主要适用于有无限多有规律的项相加的形式.此种方法的关键是找和被积函数.常用的公式有：

例13
解

对于一些题目也可以用积分第一中值定理来求解.具体内容如下：
定理

例14
解

2.12一类求解方法唯一的函数
这是一类非常特殊的函数，只有先通过加，再用诱导公式才能求解.
例15
解

3二元函数求极限方法
3.1利用定义法求解重极限
重极限存在的情况下，先求出曲线沿特殊路径的极限或者求出一个累次极限,然后用定义证明该函数的重极限是.
例16
解

3.2用多元函数收敛判别法的方法求解
通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用函数极限的迫敛性推出结果.
例17
解

3.3利用极坐标变换求解重极限
如果而且函数中出现，可选择极坐标变换求极限.令考察若此极限存在而且是与无关的常数，那么

例18
解

3.4二元函数的洛比塔法则的应用
定理1

定理2

注：在型或型未定式中，如果自变量的变化过程为，则，如果，则，同样，如，则，如，则.
有些二元函数的型或型极限，利用二元函数的洛比塔法则后，得到该极限的常数倍，则该极限与这个常数的范围有关.
定理3

定理4

例19
解
4总结
求解一元函数与二元函数的方法还有很多，但都不常用.熟练掌握掌握上述方法，对于就解决大部分极限题目足以.至于多元函数求极限问题，与二元函数相似，只是过程上更复杂一些.

.

参 考 文 献

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[2]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第3版北京：高等教育出版社,2010.
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[4]郑庆玉 郭政.数学分析方法 [M]. 北京：电子工业出版社，2010.
[5]钱吉林.数学分析题解精粹 [M]（第2版），湖北：崇文书局，2011.
[6]林源渠 方企勤.数学分析题解指南 [M]. 北京：北京大学出版社，2010.
[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 [M]. 北京：高等教育出版社, 1993.
[8]杨守廉.数学分析（上）[M]. 北京：北京师范大学出版社, 1987.
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[10]邓东皋.数学分析简明教程（上）[M].北京：高等教育出版社, 1999.
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[12]Monaghan J．D．．Adolescent’S Understanding of Limits and Infinity，unpublished Ph．D．thesis，Warwick University, 1986.
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[15] 温 军．高等数学教学的几点思考[J].长春大学学报,2003(3):16-18.

致 谢

经过了几个月的努力，我的毕业论文《求解极限的若干方法》终于在规定的时间内完成了，在某种程度上，这意味着我的大学生涯即将结束.回顾历时近四年的大学生活，无论在学习上，还是在思想方面，我的获益都匪浅.
在本论文的写作过程中，我的指导老师周老师给予多方面的指导，从选题到内容，到写作提纲，针对我写的论文，找出稿中存在的各种问题，因势利导循循善诱，在此我表示衷心的谢意，同时也感谢在学校学习期间给予我诸多关心和帮助的各位老师们和同学们.
毕业论文的完成，是终点也是新的起点.我会时刻铭记自己曾是临沂大学的一份子，在今后的工作中，我会将临沂大学的优良传统发扬光大.

2014年03月28日

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