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小学数学论文
以模型为支点 撬起数学思维

摘要：从优化数学模型教学入手，在教学中对数学的概念性知识进行模型优化设计，把数学模型教学表象化、形象化、系统化和现实化，增加学生数学形象思维和空间思维的知识储备，让学生在具体、形象、感性经验的基础上进行理解、判断和推理，理解概念性知识，促进学生形象思维、抽象逻辑思维、发散性思维、创造性思维等的多元化发展，有效地提高课堂教学效果与水平，促进学生数学素养的提高。

关键词：优化 模型教学 思维发展

在小学数学研究中，对某些客观现象进行观察，并对所获得的数学事实进行初步的概括之后，常常要利用想象、抽象、类比等方法，建立一个适当的模型来反映和替代客观对象，并通过研究这个模型来揭示客观对象的形态、特征和本质。这就是模型方法。数学是一门严谨的学科，包括数与代数、空间与图形、统计及数学广角。应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。
现行九年制义务教育中小学数学中有很多的事在现实中很难直接观察到，有些数学概念知识很难理解透彻，小学阶段又是中学生多元思维发展的初级阶段。为了学生在学习中理解数学概念知识，尽可能的简化知识难度，建立合理数学模型代替原型，把复杂隐含的问题化繁为简、化难为易，使学生更好掌握理解数学知识，促使学生多种思维协调发展，解题能力的提高起到事半功倍的效果，从而也丰富了数学教学。
一、从表象或现象出发，优化数学模型设计，促学生形象思维的提高
回顾自然数学的发展史可以发现，许多新实验的构思、新观念的提出、新理论的形成都是形象思维的结果。形象思维是凭借事物的形象或表象所进行的思维。思维的任务和分析综合的思维过程是形象或表象进行的。例如牛顿发现万有引力定律是典型事例之一。牛顿常常在假期里来到母亲的家中，在花园里小坐片刻。有一次，象以往屡次发生的那样，一个苹果从树上掉了下来。它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍，引起他的沉思：究竟是什么原因使一切物体都受到差不多总是朝向地心的吸引呢？牛顿思索着。终于，他发现了对人类具有划时代意义的万有引力。他认为太阳吸引行星，行星吸引行星，以及吸引地面上一切物体的力都是具有相同性质的力，并用微积分证明了开普勒定律中太阳对行星的作用力是吸引力。爱因斯坦创立的广义相对论，法拉第用磁力线描述磁场等都是富有创造的形象思维的结晶。这些研究成果，极大程度是建立在合理的数学模型基础上得到的。
在数学课堂上，进行合理的数学模型教学，增加学生必要的数学表象的贮备，促使形象思维的发展，对抽象的数学知识能建立起理解的模式。在概念和规律教学中，需要对原始的、各种各样的感性材料、数学形象进行加工、改造、重组，通过分析、对比、归纳、想像等一系列思维操作，概括形成反映事物本质特征的。
例如在学习人教版数学四年级《植树问题》一课时，
一、创设表象
1、教学“间隔”的含义
师：同学们，咱们身上有件法宝，他不但会写字、画画、干活，猜猜他是什么？
师：对了！他是我们宝贵的手，在他里面还藏着有趣的数学知识，你想了解他吗？请举起你的右手。（五指伸直、并拢、张开）
师：张开的五指中有几个空隙？（4个）数学中我们把这个“空隙”叫“间隔”。（板书）我们发现5根手指中有4个间隔，那么4根手指呢？3根呢？
2、举例生活中的“间隔”
师：生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗？（两棵树之间、两个同学之间、钟声…）
3、根据生活实景信息回答问题。
（1）公园的一侧一些树，数了数有6个间隔，一共栽了几棵树呢？(7棵)
（2）庄老师家在6楼，从1楼到6楼要爬几层楼？（5层）
（3）河边的护栏有5根铁链，需要几根柱子？（6根）
4、引入课题
师：同学们刚才我们了解的5根手指间有几个间隔；爬楼梯要几层；铁链需要几根柱子等，数学中统称为植树问题。（板书）
二、构建模型
1、用图象语言描述“植树棵数与间隔数”之间的关系。
师：（右手）我把5根手指看作5棵树，他有4个间隔。那么，6棵树、7棵树之间有几个间隔呢？你能用一个图来展示说明吗？（生作图，展示）
2、构建植树问题的数学模型
(1)我们一起来看一下这几位同学画的图，你能说说你是怎么画的吗？
(2)比较一下这几种作图方法，你觉得哪种方法简便，看起来清楚？（是啊，用线段图的方法最简便，因此它也是我们最常用的。）
(3)通过画图，我们发现这条路的两端都栽了树，这就是我们今天研究的植树问题的一种类型。（板书：两端都栽）
(4)在线段图上，我们用点表示栽的树，几个点就是几棵树。通过画图，我们知道6棵树之间有5个间隔，7棵树之间有6个间隔，那么你能想象一下10棵树之间、50棵树之间、100棵树之间有几个间隔吗？你发现了什么规律？
植树棵数 间隔数
6 5
7 6
10 9
50 49

（板书：棵数－1=间隔数 间隔数+1=棵数）
师：今天表现真不错，一下子就能找到这其中的规律，老师真为你们感到高兴。
数学模型的建立，对小学学生形象思维能力的提高有一定的促进作用，使他们的思考更加具有“活”性，无形激发他们对数学研究的热爱。
二、构建形象化概念知识模型，促学生抽象逻辑思维的发展
数学知识概念是客观事物的本质在人脑中的反映，客观事物的本质属性是抽象的、理性的。无论数学家数学研究、探索发现数学规律，还是学生理解、掌握数学的概念和原理以及日常生活中人们分析、解决问题等，都离不开抽象逻辑思维。数学中的公式、定理、法则的推导、证明与判断等，都需要抽象逻辑思维。
小学学生的抽象逻辑思维已在小学高年级得到了迅速发展，到中学这种思维已开始占主导地位。抽象逻辑思维是以概念、判断、推理的形式达到对事物的本质特性和内在联系认识的思维。但他们的逻辑思维发展还是“经验型”的，在思考过程中具体形象成分仍然起主要作用。进行抽象逻辑思维的时候，常常还需要具体、形象、感性经验的支持，不然会出现理解、判断、推理的困难。要想使抽象事物在人脑中有深刻的反映，必须将它与人脑中已有的事物联系起来，在课堂上建立合理的数学模型，使之形象化、具体化，才能促使抽象逻辑思维的健康发展。
例如：在教学《圆锥的体积》推导圆锥体积的计算公式
1.师：同学们，我们已经知道了长方体、圆柱的体积都可以用底面积*高来计算，，请大家大胆猜测一下：如何计算圆锥的体积呢？
（学生根据自己的已有经验进行猜测，圆锥的体积应该和它的底面积和高有关系，具体的关系可能学生会说不出来。教师可以继续引导。）
2.师：大家说的有一定的道理,但是，底面积*高求出来的是与这个锥等底等高的圆柱的体积啊，圆锥的体积显然没有圆柱的体积大，圆锥的体积应该怎么求呢？
（学生可能继续猜测：圆锥的体积可能是与它等底等高的圆柱的一部分，但是说不出具体的数量关系。）
3.师：下面 ，我们用实验的方法来验证大家的猜想。老师给每组同学都准备了一个圆柱体容器、一个圆锥体容器和一些沙土。其中，圆锥体和圆柱体容器的底和高是相等的。请同学们想一想，实验时可以怎么做啊？在做的时候要注意什么啊？
（预测：学生应该会回答：可以先往圆锥体容器里装满沙土，倒入圆柱体容器里。要注意圆锥体容器里的沙土装满后，应该用尺子刮一刮，将多余的沙土刮掉。）
4.学生分组做实验。
5.学生汇报实验结果：圆锥的体积是圆柱体积的1/3，也可以说圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
6.教师引导思考：想一想，圆锥的体积应该怎么求？
（学生小组讨论后回答：圆锥的体积=底面积*高/3 V=1/3Sh）
从符号到符号，概念到概念，抽象思维得到形象有力“支持”。学生在理解这些概念时，很难把握其实质，数学模型大都是以理想化模型为对象建立起来的。而建立概念模型则是一种有效的思维方式。 
三、从系统联系出发构建数学模型，促进学生知识的迁移，活化学生的发散性思维
发散思维又称求异思维、辐射思维，是从一个目标出发，以新的视角去探索和寻求各种答案的思维，使问题得到圆满解决的思维方法。在数学研究中对某一问题的解决提出多种猜想。小学生的发散性思维能力在进入中学以后发展很快，发散性思维好的学生，思维快，知识迁移迅速。小学学生只有在正确理解数学知识的基础上，思维发散的快，知识迁移更加有效。建立合理的数学模型，给学生理解掌握数学知识提供一个平台，为学生发散性思维的活化提供了条件。例如在复习教学中，把数学知识之间联系构建成模型。使学生对所学的知识通过模型进行系统化，更有利于记忆。
如平行四边形的面积的复习，我们把有关学过的平面图形的面积公式建成数学模型：
S=½(a+b)h

S=½ah

S=ab

S=ab

课后，学生在系统的理解了已学平面图形的面积计算的知识，自觉在原有模型的基础，补充了梯形的面积计算模型，活化了发散性思维。
四、利用现实具体材料优化模型教学，促学生创造性思维的发展
有些模型是客观实际中并不存在的事物，人们能够创造出未知或实际不存在的事物的形象。控制论的创始人维纳说过：“有了强烈的创造欲，你就可用自己手里拥有的材料进行创造……”。教师在课堂上通过数学模型进行有效的教学，恰好给学生创造性思维的发展建立一个平台，让学生自己有机会亲手利用身边的事例来检验数学真知，去建立创造新的数学模型去解决未知的知识。如在教学体积这一概念时，我们发现课本上对于体积概念是这样概括的：“物体所占空间的大小，叫做物体的体积。”在这里，“空间”一词比较抽象，可以进行这样的设计：利用课件出示学生熟悉的故事——《乌鸦喝水》，把它作为新知识的载体，将新知识寓于故事情境之中，让学生在课件的演示中发现石头占了瓶子的空间，从而水面上升，初步理解空间这一概念。为了让学生更好地建立体积这一数学模型，还可以让学生把书包从桌内拿出，用手摸一摸桌内，然后再将书包放入后用手摸一摸桌内。通过这样的亲自感受、对比，学生对于体积这一概念就能理解了。从一个脍炙人口的故事情境和一个拿、放书包的简单动作中，学生很自然就抽象出体积的概念，而这个学习过程，正是一个以抽象概括方式建立数学模型的过程。
新课标注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程。对于教材中对一些空间图形的概念，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等模型的建立，我们就可以先提供一些具体的几何图形的实物，引导学生观察，让学生通过观察再进行抽象概括，从而正确建构数学模型。当然由于上课时间的所限，教师不可能将所有数学知识等一一告诉给学生,更无法一一将它们解释,但借助一些典型的数学模型或课后布置一些任务，激发学生创造性思维，可将易进行实践的生活的材料展现给学生、指导学生进行自主学习。例如在学习光的直线传播时，用蜡烛小孔成像实验后，通过实验模型进一步解释实验现象的形成过程，从而引发学生思考，激发创造性思维。
在课堂教学中，我们尽可能的建立合理的数学模型，多让学生思考，把时间还给学生，不要求学生死记课本上文字知识，也不要求学生死记模型的概念，而是要在平时的教学中多用生活中常用的模型去认识它们，这样才能有效地促进学生形象思维、抽象逻辑思维、发散性思维、创造性思维等的协调发展，才能达到“教为了不教”的境界。

参考文献
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