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循环冗余校验码（CRC）的基本原理
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式f(X)表示，将f(x)左移R位（则可表示成f(x)*XR），这样f(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过f(x)* XR除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式f(x)。
如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为f(x)=X3+X2+X+1。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做模2除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
N           K           码距d           G(x)多项式           G(x)
7           4           3           x3+x+1           1011
7         4         3           x3+x2+1    1101
7        3          4          x4+x3+x2+1        11101
7           3           4           x4+x2+x+1         10111
15           11          3           x4+x+1            10011
15           7          5           x8+x7+x6+x4+1           111010001
31           26         3           x5+x2+1           100101
31           21         5           x10+x9+x8+x6+x5+x3+1    11101101001
63           57        3           x6+x+1           1000011
63           51        5           x12+x10+x5+x4+x2+1          1010000110101
1041       1024           　    x16+x15+x2+1           11000000000000101
图9 常用的生成多项式
3、模2除（按位除）
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一位的模2减。步骤如下：
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。
b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。
c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。
【例】1111000除以1101：
1011———商
————
1111000-----被除数
1101———— 除数
————
1000
1101
————
1010
1101
————
111————余数
4、CRC码的生成步骤
（1）将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
（2）将信息码左移R位得到多项式f(x)*XR 。
（3）用生成多项式（二进制数）对f(x)*XR做模2除，得到余数（即校验码）。
（4）将余数多项式加到f(x)*XR中，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
（1）将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
（2）此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文F(x)左移3（R）位变成1010000
（3）用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：
1001-------商
------------------------
1010000
1011----------除数
------------
1000
1011
------------
11-------余数（校验位）
（4）编码后的报文（CRC码）：
1010000
+        11
------------------
1010011
CRC码为1010011（和纠错）。
在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0，则码字无误。若得到余数不为0，则接收的数据有错。
5、通信与网络中常用的CRC
在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
供选择的答案
A：① 1111100       ② 1111101        ③ 1111110      ④ 1111111
B：① 1100100       ② 1100101        ③ 1100110      ④ 1100111
C～E：① 0000000      ② 0001100     ③ 0010111      ④ 0011010
   ⑤ 1000110       ⑥ 1001111         ⑦ 1010001        ⑧ 1011000
解：
A：G(x)＝1101，f(x)＝1111，f(x)*x3÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111
得到的CRC码为1111111
B：G(x)＝1101，f(x)＝1100，f(x)*x3÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101
得到的CRC码为1100101
C～E：
分别用G(x)＝1101对①～⑧ 作模2除:
① 0000000÷1101 余000     ② 1111101÷1101 余001
③ 0010111÷1101 余000     ④ 0011010÷1101 余000    
⑤ 1000110÷1101 余000 ⑥ 1001111÷1101 余100    
⑦ 1010001÷1101 余000     ⑧ 1011000÷1101 余100
所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧
【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始报文为11001010101，则编码后的报文为 _C_ 。CRC码 _D_ 的说法是正确的。
供选择的答案：
A：① 水平垂直奇偶校验                      ② 循环求和               
       ③ 循环冗余                           ④正比率
B：① 模2除法                        ②定点二进制除法                 
      ③二－十进制除法               ④循环移位法
C：① 1100101010111              ② 110010101010011        
③ 110010101011100          ④ 110010101010101
D：① 可纠正一位差错                 ②可检测所有偶数位错
③ 可检测所有小于校验位长度的突发错        
④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错

解：从前面有关CRC的论述中可得出：    
A：③ 循环冗余     B：① 模2除法
C：G(x)＝11011，f(x)＝11001010101，F(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011 余0011
得到的CRC码为 ② 110010101010011
D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错