尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第19章信息经济学).doc

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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第19章 信息经济学
课后习题详解
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1．一位农夫所种植的西红柿正在枯萎，他决定是否浇水。如果他浇水，或者下雨，则西红柿种植将获利1000美元；但是如果西红柿缺水，则将获利500美元。灌溉系统运营的成本为100美元。该农民力图使西红柿销售的期望利润最大化。
（1）如果农民认为有50%的可能性会下雨，他应该浇水吗？
（2）为了从一个能百分之百精确预报天气的巡回天气预报员那里获得信息，此农民所愿意支付的最大金额是多少？
（3）如果该预报员的准确率为75%，则你对（2）的答案有何变化？
解：（1）如果不浇水，则此农民的期望收益为：
（美元）
如果浇水，则农民可以获得的确定性收益为：（美元）；
因而此农民将选择浇水。
（2）如果农民获得了精确的天气预报，则在下雨的情况下，其利润为1000美元；在不下雨的情况下，其利润为（美元）。
从而其期望利润为：（美元）；
此农民将愿意支付的最大金额为：（美元）。
（3）如果该预报员的准确率为75%，则此时有四种可能的结果，如表19-1所示。
表19-1 天气预报的四种结果

在这四种情况下，相应的利润如表19-2所示。
表19-2 各种情况下的利润

因而此时农民的期望利润为：
（美元）
因而该收益小于农民无论如何都浇水下的期望收益，此时农民愿意为天气预报支付的金额为0。

2．在问题18.5中，福格小姐相当愿意为了防止在她的环球旅行中有25%的概率把1000美元现金丢失而去买保险。假如买了这种保险的人在管理现金方面都趋向于变得更粗心，那么，他们丢失1000美元的概率就会上升到30%。在这种情况下，实际的公平保险费率是多少？福格小姐现在会买保险吗？（请注意：本问题与下一个问题都涉及道德风险）
解：在这种情况下，实际的公平保险费率是（美元）。
如果福格小姐购买保险，则她的期望效用为：

而她不购买保险时的效用为：

可见购买保险的期望效用要比不购买保险的期望效用低，所以福格小姐会选择不投保。

3．第18章第4题研究了费用分担的健康保险政策，并且表明风险厌恶者会愿意购买全额保险。然而，假定买了费用分担保险的人会更好地照顾他们自己的健康，这样，他们在生病时所遭受的损失就由10000美元下降到7000美元。现在，费用分担保险的公平价格实际上会是多少？与全额保险相比，一些人会偏爱费用分担保险，这是可能的吗？什么会决定个人是否会有这种偏好。（对于本题，只用图形来说明就可以了）
解：费用分担保险的公平价格此时将为（美元）。
当参加费用分担保险的某人得病时，他的财富为：（美元）；
当他身体健康时，他的财富为：（美元）。
如图19-2所示，购买费用分担保险的人有可能获得的期望效用高于购买全额保险下的效用。此时，与全额保险相比，一些人会偏爱费用分担保险。

图19-2 部分保险与全部保险下的效用比较
这个人的风险偏好（即效用函数）以及费用分担所带来的风险道德问题程度的减轻，决定了此人会有这种偏好。

4．蓝眼睛的人会比棕眼睛的人更容易丢失他们的贵重手表。具体地说，蓝眼睛的人在一年之内就会丢失他们1000美元的手表的概率为80%，而棕眼睛的人同样的概率却只有20%。蓝眼睛的人和棕眼睛的人在人口中有同样的代表性。
（1）如果保险公司假定蓝眼睛的人和棕眼睛的人具有同样的可能去买手表丢失保险，实际上公平的保险费率会是多少？
（2）如果蓝眼睛与棕眼睛的人有对数效用财富函数，并且每个人当前的财富都是10000美元，那么，这些人会不会以（1）中的保险费率购买手表保险？
（3）给定（2）的结果，能否正确计算保险费率？它应该等于什么？每一类型的人的效用会怎样？
（4）假定保险公司对蓝眼睛的人和棕眼睛的人要收不同的保险费率。这些人的最大化效用与（2）、（3）中所计算的效用相比会怎样？（该问题是保险业中的逆向选择的例子）
解：（1）公平的保险费为：（美元）。
（2）在对数效用函数下，对于蓝眼睛的人而言，他们不购买保险时的期望效用为：

他们购买保险时的效用为：

因而对于蓝眼睛的人而言，购买保险会带来更高的期望效用，他们将会选择购买保险。
对于棕眼睛的人而言，他们不购买保险时的期望效用为：

他们购买保险时的效用为：

因而对于棕眼睛的人而言，购买保险不会带来更高的期望效用，他们不会选择购买保险。
（3）因为仅有蓝眼睛的人购买保险，所以公平的保险费为（美元）。
蓝眼睛的人仍然会选择购买保险，因为此时保险带来的效用为：。而此时，棕眼睛的人仍然会选择不投保。
（4）对于蓝眼睛的人而言，其保险费为（美元）；购买保险后的相应的效用为：。
对于棕眼睛的人而言，其保险费为（美元），购买保险后的相应的效用为：，因而棕眼睛的人此时购买保险会使其效用提高。

5．假定有两类工人：高能力的工人和低能力的工人。工人的工资由他的能力决定——高能力的工人赚50000美元，低能力的赚30000美元。厂商不能度量工人的能力，但是它却可以了解到工人是否有高中文凭。工人的效用由他们在工资上与为获得文凭所支付的费用上的差异所决定。
（1）如果高能力工人与低能力工人在获取高中文凭中的花费是一样的，那么，在这种情况下，是否可以存在一种高能力工人拿高工资、低能力工人拿低工资的分离的均衡？
（2）高能力工人为了获得高中文凭所愿意支付的最大数量是多少？如果有一种文凭可以让雇主去识别高能力工人的话，为什么对于低能力的工人来说，这种文凭一定要使其花费更多？
解：（1）如果高能力的工人与低能力的工人在获取高中文凭时的花费是一样的，那么，在这种情况下，不可能存在一种高能力工人拿高工资、低能力工人拿低工资的分离的均衡。理由如下：假设两个人受教育的成本分别为和，那么分离均衡存在的条件是：
①高能力工人的参与相容约束，即高能力工人选择接受教育后获得的净收入要大于其他可能的工作机会带给他的净收入，如果再假设除了这份工作外，工人们不可能获得其他的工作机会，那么高能力工人的参与相容约束就是：
①
②低能力工人的参与相容约束，即低能力工人选择接受教育后获得的净收入要大于其他可能的工作机会带给他的净收入，如果再假设除了这份工作外，工人们不可能获得其他的工作机会，那么低能力工人的参与相容约束就是：
②
③高能力工人的激励相容约束，即高能力的工人伪装成低能力的工人不会带给他更高的效用：
③
④低能力工人的激励相容约束，即低能力的工人伪装成高能力的工人不会带给他更高的效用：
④
当时，③、④两式不能同时满足，所以如果高能力的工人与低能力的工人在获取高中文凭时的花费是一样的，不会存在分离均衡。
（2）在分离均衡中，高能力工人受教育的成本必须同时满足①、③两式，从中解得，所以高能力工人为获取文凭最多愿意花费20000。
此外，从③、④两式中解得，，因此如果存在分离均衡，那么必有，即低能力的工人为了获得文凭必须花费更多。

6．假定摩莉·乔克想买一台高清电视来观看奥运会希腊与罗马的摔跤大赛。她现在的收入是20000美元，她知道在哪里她可以根据愿意支付的2000美元买到电视机。她也听人说在“疯狂埃迪”（近期将破产）同样的电视机只卖1700美元，但不能确定谣传是否属实。假定摩莉的效用函数由下式给定：

其中，是她买了电视机之后的收入。
（1）如果她从她所知道的店买电视机，其效用如何？
（2）如果疯狂埃迪真的有低价的电视，摩莉的效用会如何？
（3）如果摩莉认为疯狂埃迪出售较低价格电视机的可能是50%，但是，驱车到那家打折的店去看个真假要花费100美元（该店很远、又没有电话可以打），对她来说，花钱亲自去一趟值吗？
解：（1）如果她从其所知道的商店购买电视机，则其效用为：

（2）如果疯狂埃迪真的有低价的电视，摩莉的效用为：

（3）花钱亲自去一趟值得。亲自去一趟的期望效用为：

高于从已知商店购买的效用9.7981，因而摩莉·乔克将亲自去一趟。

7．假定一个人知道某一种彩色电视机的价格服从在300美元与400美元之间的均匀分布。此人打算通过电话来获得价格信息。
（1）如果此人打了次电话询问价格的话，请计算出所要支付的预期最小价格。
（2）请证明所要支付的预期价格以一种递减的比率随下降。
（3）假定根据时间与努力，打一次电话要花2美元。为了通过搜索得到最大化，这个人应该打多少次电话？
解：（1）假设每次询问到的价格为，因为，，则询问到的最低价格为，由于的密度函数为：

所以。
（2）由于，所以最低价格的预期会随着询问的次数增加而递减。
（3）此人的成本函数为：

成本最小化的一阶条件为：，解得，即打6次电话时总成本达到最小。

8．假定第7题中的人采取“保留价格的战略”——也就是说，他会从第一个使保留价格最大化的那个店中购买在第7题的条件中，为了使从搜索中获益最大，价格应该如何设定？
解：根据本章课后的扩展部分可知，搜索者应该选择使得：。
又：，解得。
故为了使从搜索中获益最大，价格应为320美元。

9．考虑一个病人和医生之间的委托—代理关系。假定病人的效用函数为：，其中代表医疗服务（其数量由医生决定），代表其他消费品。病人的预算约束为：，其中为医疗服务的相对价格。医生的效用函数为：，即医生的效用来自他（或她）的收入以及病人的效用。医生的预算约束为：。证明：在这种情况下，医生所选择的的水平一般会高于具有完全信息的病人所选择的的水平。（提示：假定此问题涉及基数效用，并假定医生是“完全利他主义的”，即）。
解：病人效用最大化问题为：

即：，效用最大化的一阶条件为：
①
医生效用最大化问题为：

即：，效用最大化的一阶条件为：
②
如果（即，医生是完全利他主义的），则②式变为：
③
比较①、③两式可知，③式中的要小于①式中的，因而医生将比病人选择更高的医疗服务水平。

10．在某些情况中，人们可能会关心他们所面对的不确定性得以消除的时间。例如，假定一个人知道他今天的消费是10个单位，而明天的消费既可以是10个单位，也可以是2.5个单位。它取决于一枚硬币是正面、还是反面。同时假定个人的效用函数具有简单的柯布-道格拉斯函数的形式：

（1）如果一个人只关心效用的预期值，那么，硬币刚好在第1天之前，或刚好在第2天之前抛过，这是否是重要的？请解释。
（2）更为一般的，假定个人的预期效用取决于抛硬币的次数。具体地说，假定有：

其中，代表第一天开始时的预期，代表第二天开始时的预期，并且代表表示次数偏好的参数。请说明，如果，此人对硬币什么时候抛是否是无差异的？
（3）请问如果，此人是否愿意早消除不确定性——也就是说，在第一天就抛硬币。
（4）请表问如果，此人是否愿意迟一点消除不确定性——也就是说，在第二天开始抛硬币。
（5）根据直觉解释你的结果，并且说明它与信息理论的关系。
解：（1）这不是很重要，因为无论何时抛硬币，期望效用都为：。
（2）如果，此人对硬币什么时候抛是无差异的。理由如下：
如果第一天开始时抛硬币，则在第二天就没有不确定性。从第一天来看，效用为10或5，其概率各为0.5。因而有：。
如果第二天抛硬币，则，因为，所以哪天抛硬币无关紧要。
（3）如果，则第一天抛硬币的效用可能为100或25，其概率各为0.5，所以期望效用为：。
如果在第二天抛硬币，则期望效用为：，从而有：

因而此人将偏好于在第一天抛硬币。
（4）如果，则第一天抛硬币的效用可能为或，其概率各为0.5，所以期望效用为：。
如果在第二天抛硬币，则期望效用为：，从而有：

因而此人将偏好于在第二天抛硬币。
（5）效用关于是凹的，但是当时，期望效用是关于效用值是线性的，因而时间无关紧要。
当时，时间是重要的，因为在第一天抛时，效用值本身是指数型的，然而在第二天抛时，期望效用值是指数型的。当时，第一天抛有利；当时，第二天抛有利。

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