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第三讲 几何概型及随机模拟
教学目的：了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；
教学重点：几何概型的计算
教学难点：将实际问题转化为概率模型处理
【知识概要】
知识点1 随机数的概念
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
指出：随机数的产生方法
（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；
（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。
知识点2 几何概型的概念
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.
几何概型的基本特点：
试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等.
知识点3 几何概型的概率公式：
P（A）=。
指出：（1）几种常见的几何概型：
① 设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度
② 设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积
③ 设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积
（2）几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。
（3）学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。
（4）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；
几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决
【基础题典例解析】
例1 （事件区域的长度）
在区间上随机取一个数,求的值介于0到之间的概率。
解：在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.
例2 （事件区域的长度）
假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？
0← S →10
解：以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为
样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是
10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，p=== 0.3 。
例3 （事件区域的面积）
ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，求取到的点
到O的距离大于1的概率。
解：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为
例4 （事件区域的面积）
两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.
解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.
这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为P=.
例5 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.
分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.
解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b=RAND（）.
（2）进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2.
（3）数出落在阴影内（即满足0<b<1且b-a2>0）的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=698,所以S≈=1.396.（N代表落在矩形中的点（a,b）的个数）.
例6 （事件区域的体积）
在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。 z
解：设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的 1 B
右端点坐标为x,y,z，显然这三条线段构 C D
成三角形的充要条件是：
。 0 y
在线段[0，1]上任意投三点x,y,z。与立方体
x 1 A
，，中的点一一对应，
可见所求“构成三角形”的概率，等价于边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在
区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所围成的区域G中的概率。由于 ，
，由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。
【综合题典例解析】
例1 利用随机模拟方法计算曲线y=,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积.
分析：在直角坐标系中画出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1所围成的部分）,用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.
解：（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,a1=RAND,b=RAND；
（2）进行平移变换：a=a1+1；（其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标）
（3）数出落在阴影内的点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=689,所以=0.689,即S≈0.689.
指出：模拟计算的步骤：（1）构造图形（作图）； （2）模拟投点,计算落在阴影部分的点的频率；
（3）利用≈P(A)=算出相应的量.
例2 （CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是,则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足
不等式的数对组成，此不等式等价于
右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为，于是有。
例3 在一个意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：
（1）一张大馅饼， （2）一张中馅饼，
（3）一张小馅饼， （4）没得到馅饼的概率
解：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和
子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件
； ；
；
。
0yx
yx
a
x
例4 随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解：半圆域如图，设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率的定义，。
1y
y
1y
0.9
0.1
0y
A
S
y
例5 随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.
解：，不等式确定平面域。
‘’则发生的充要条件为不等式确定了的子域，
故：。
例6（蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.
解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：
针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交
角φ（见下图左）.样本空间为Ω:{(φ,x),0≤φ≤π,0≤x≤a/2},为
一矩形.针与平行线相交的充要条件是g：x≤sinφ（见下图右).所求概率是P=.
注：因为概率P可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N次,（或一次投针若干枚,总计N枚）,统计与平行线相交的次数n,则P≈n/N.又因a与l都可精确测量,故从2l/aπ≈n/N,可解得π≈2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.
例7 设有关于的一元二次方程．
（1）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
解：设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．构成事件的区域为．所以所求的概率为．
例8 已知关于的一元二次函数
（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.
解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1，若=2则=－1，1，若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分。
由 ∴所求事件的概率为
补充习题：
1. 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.
分析：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解：设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P（A）=（60-40）/60=1/3.即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.
2. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。
分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性
解：P（A）=（1/2）2/12=1/4。
3. 已知地铁列车每10 min一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.
解：由几何概型知,所求事件A的概率为P(A)=.
4. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.
解：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)==.
5. 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.
解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记Ag={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,
故P(Ag)=.
6. 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.
解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=.
7. 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？
解：设甲到的时间为（9+x）小时,乙到的时间为（9+y）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即小时,所以在|x-y|≤时,两人才能会面. 由于|x-y|≤是两条平行直线x-y=与y-x=之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-)×(1-)=()2. 从而带形区域在这个正方形内的面积为1-()2=,因此所求的概率为.
8. 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.
解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)==0.2. 从而所求的概率为0.2.（ 现在我们将这个问题拓展一下：见第9题）
9. 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为,含有病毒乙的概率也是,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉.
解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)==0.36.
10.（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。
（2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?
解：（1）由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。
（2）由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008。
11. 有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,试求硬币完全落入圆内的概率.
解：由题意,如右图,因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的,所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O内,且只有中心落入与圆O同心且半径为4的圆内时,硬币才完全落入圆内. 记“硬币完全落入圆内”为事件A,则P(A)=.即硬币完全落入圆内的概率为.
12．如右图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C, 试求：
（1）△AOC为钝角三角形的概率； （2）△AOC为锐角三角形的概率.
解：如右图,由平面几何知识：当AD⊥OB时,OD=1；当OA⊥AE
时,OE=4,BE=1.
（1）当且仅当点C在线段OD或BE上时,△AOC为钝角三角形,
记“△AOC为钝角三角形”为事件M,则P(M)==0.4,
即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
（2）当且仅当点C在线段DE上时,△AOC为锐角三角形,记“△AOC为锐角三角形”为事件N,
则P(N)==0.6, 即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
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第三讲 几何概型及随机模拟
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