连续函数的复习题.doc

《数学分析（1，2，3）》复习题
第二章 　极限与连续
§3　连续函数
一　连续的定义
1. 给出在点连续的定义：

2. 证明 在处连续。

3. 讨论函数在点x=0处连续性。

4．给出在点左（右）连续定义

5. 证明：　函数在点连续在点既是右连续，又是左连续。

6. 讨论函数在点的连续性。

二 证明连续函数的性质和运算性质
1. 证明：（四则运算）若和在点连续，则也都在点连续。

2. 讨论：　两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？

3. 证明：（复合函数的连续性）若在点连续，记，函数在连续，则复合函数在点连续。

三 初等函数的连续性
　　1. 证明：　任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

2. 证明： 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。

3．利用初等函数的连续性可计算极限讨论
（1）设，，证明：。

（2） 求。

四 不连续点的类型
不连续点分类
１） 可移不连续点　若，而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点。
试举一例：

２） 第一类不连续点　若存在，但左右极限不相等，则称点为函数的第一类不连续点。
　试举一例：

３） 第二类不连续点　左右极限至少有一不存在的点（即函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类不连续点。
试举一例：

五 区间上连续函数的基本性质
性质１（最大、最小值定理）若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。
性质２（有界性定理）若在上连续，则在上有界。
注：上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。
性质３（介值定理）设在上连续，且。若是介于和之间的任何实数，则至少存在一点，使得。
注　表明若在上连续，又的话，则在上可以取得和之间的一切值。
性质４（根存在定理）　若在上连续，且和异号（），则至少存在一点，使得。
几何意义　若点和分别在轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线与轴至少有一个交点。
　练习题：设在上连续，满足。证明：存在，使得.

六　一致连续性
１．一致连续的定义
　　　　定义3（一致连续）　　设为定义在区间上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续。
２． 函数在区间上连续与一致连续的比较
（１） 区别：

定义
函数在连续，，当时，
函数在上一致连续，，当，时，

对的要求
对于上的不同的点，相应的是不同的，换言之，的取值除依赖于外，还与有关，由此记为表示与和有关。
的取值只与有关，而与无关，或者说，存在适合于上所有点的公共的，记作，它对任意的都适用。

性质
与区间中每一点及其附近的情形有关，即只要在区间中每一点，连续就行。也即在每一点中可有适合定义中的，这是局部性质。
要知在整个区间的情形，在整个区间内来找适合定义中的，这种性质称为整体性质。
（２） 关系
若在上一致连续，则在上连续；反之不成立。
定理（康托Cantor定理）　若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。
2. 证明　在上一致连续。

3. 叙述不一致连续的定义：

4. (1) 证明函数在内不一致连续。
(2) ，证明　在内是一致连续的。

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