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《数学分析(1,2,3)》复习题
第二章 极限与连续
§3 连续函数
一 连续的定义
1. 给出在点连续的定义:
2. 证明 在处连续。
3. 讨论函数在点x=0处连续性。
4.给出在点左(右)连续定义
5. 证明: 函数在点连续在点既是右连续,又是左连续。
6. 讨论函数在点的连续性。
二 证明连续函数的性质和运算性质
1. 证明:(四则运算)若和在点连续,则也都在点连续。
2. 讨论: 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续?
3. 证明:(复合函数的连续性)若在点连续,记,函数在连续,则复合函数在点连续。
三 初等函数的连续性
1. 证明: 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。
2. 证明: 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。
3.利用初等函数的连续性可计算极限讨论
(1)设,,证明:。
(2) 求。
四 不连续点的类型
不连续点分类
1) 可移不连续点 若,而在点无定义,或有定义但,则称为的可去间断点。
试举一例:
2) 第一类不连续点 若存在,但左右极限不相等,则称点为函数的第一类不连续点。
试举一例:
3) 第二类不连续点 左右极限至少有一不存在的点(即函数至少有一侧极限不存在的点)称为函数的第二类不连续点。
试举一例:
五 区间上连续函数的基本性质
性质1(最大、最小值定理)若在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值。
性质2(有界性定理)若在上连续,则在上有界。
注:上述性质成立的条件是充分的,而非必要的。
性质3(介值定理)设在上连续,且。若是介于和之间的任何实数,则至少存在一点,使得。
注 表明若在上连续,又的话,则在上可以取得和之间的一切值。
性质4(根存在定理) 若在上连续,且和异号(),则至少存在一点,使得。
几何意义 若点和分别在轴两侧,则连接A、B的曲线与轴至少有一个交点。
练习题:设在上连续,满足。证明:存在,使得.
六 一致连续性
1.一致连续的定义
定义3(一致连续) 设为定义在区间上的函数。若对任给的,存在一个,使得对任何,只要,就有,则称函数在区间上一致连续。
2. 函数在区间上连续与一致连续的比较
(1) 区别:
定义
函数在连续,,当时,
函数在上一致连续,,当,时,
对的要求
对于上的不同的点,相应的是不同的,换言之,的取值除依赖于外,还与有关,由此记为表示与和有关。
的取值只与有关,而与无关,或者说,存在适合于上所有点的公共的,记作,它对任意的都适用。
性质
与区间中每一点及其附近的情形有关,即只要在区间中每一点,连续就行。也即在每一点中可有适合定义中的,这是局部性质。
要知在整个区间的情形,在整个区间内来找适合定义中的,这种性质称为整体性质。
(2) 关系
若在上一致连续,则在上连续;反之不成立。
定理(康托Cantor定理) 若函数在闭区间上连续,则在上一致连续。
2. 证明 在上一致连续。
3. 叙述不一致连续的定义:
4. (1) 证明函数在内不一致连续。
(2) ,证明 在内是一致连续的。
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